梁的彎曲(應(yīng)力、變形)

1、12第九章第九章 梁的彎曲梁的彎曲9-39-3、用內(nèi)力方程法繪制剪力圖和彎矩圖、用內(nèi)力方程法繪制剪力圖和彎矩圖9-19-1、平面彎曲、平面彎曲9-49-4、用微分關(guān)系法繪制剪力圖和彎矩圖、用微分關(guān)系法繪制剪力圖和彎矩圖9-29-2、梁的彎曲內(nèi)力、梁的彎曲內(nèi)力-剪力和彎矩剪力和彎矩9-59-5、用疊加法畫彎矩圖、用疊加法畫彎矩圖9-69-6、梁彎曲時的應(yīng)力和強度計算、梁彎曲時的應(yīng)力和強度計算9-79-7、梁的變形、梁的變形9-89-8、梁的應(yīng)力狀態(tài)、梁的應(yīng)力狀態(tài)3回顧與比較內(nèi)力內(nèi)力AF應(yīng)力應(yīng)力PITFAyFSM?4梁段梁段CDCD上，只有彎矩，沒有剪力上，只有彎矩，沒有剪力純彎曲純彎曲Pure

2、bending 梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有彎矩，又有剪力上，既有彎矩，又有剪力剪力彎曲剪力彎曲Bending by transverse force 9-6 9-6 梁的彎曲時的應(yīng)力及強度計算梁的彎曲時的應(yīng)力及強度計算一、彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力 Normal stress in bending beam5研究對象：等截面直梁研究對象：等截面直梁研究方法：實驗研究方法：實驗觀察觀察假定假定6q 橫線仍是直線，但發(fā)生橫線仍是直線，但發(fā)生 相對轉(zhuǎn)動，仍與縱線正交相對轉(zhuǎn)動，仍與縱線正交q 縱線彎成曲線，且梁的縱線彎成曲線，且梁的 下側(cè)伸長，上側(cè)縮短下側(cè)伸長，上側(cè)縮短實驗觀察實驗觀察梁表面變形特

3、征梁表面變形特征以上是以上是外部外部的情況，的情況，內(nèi)部內(nèi)部如何？如何？ 想象想象 梁變形后，其橫截面仍為平面，且垂直梁變形后，其橫截面仍為平面，且垂直于變形后梁的軸線，只是繞梁上某一軸轉(zhuǎn)過一個角度于變形后梁的軸線，只是繞梁上某一軸轉(zhuǎn)過一個角度 透明的梁就好了，我們用計算機模擬透明的梁就好了，我們用計算機模擬 透明的梁透明的梁78 總之總之 ，由外部去，由外部去想象內(nèi)部想象內(nèi)部 得到得到 梁彎曲假設(shè)梁彎曲假設(shè)：q橫截面保持為平面橫截面保持為平面 變形后，仍為平面，且垂直變形后，仍為平面，且垂直 于變形后梁的軸線，只是繞于變形后梁的軸線，只是繞 梁上某一軸轉(zhuǎn)過一個角度梁上某一軸轉(zhuǎn)過一個角度q 縱

4、向各水平面間無擠壓縱向各水平面間無擠壓 均為單向拉、壓狀態(tài)均為單向拉、壓狀態(tài)9 彎曲中彎曲中梁的梁的中性層中性層neutral surface 既不伸長又不縮短的縱面既不伸長又不縮短的縱面 截面的截面的中性軸中性軸neutral axis 中性層與橫截面的交線中性層與橫截面的交線10純彎曲時正應(yīng)力公式純彎曲時正應(yīng)力公式變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系yEyE靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系Z1EIMZIMy為梁彎曲變形后的曲率為梁彎曲變形后的曲率1為曲率半徑為曲率半徑11 梁截面上正應(yīng)力梁截面上正應(yīng)力1、沿、沿 y 軸線性分布軸線性分布2、與、與 z 坐標無關(guān)坐標無關(guān)zymaxcminzminyI

5、M maxtmaxzmaxyIM yIMz 12正應(yīng)力計算公式適用范圍正應(yīng)力計算公式適用范圍yIMzq剪力彎曲時，截面上有切應(yīng)力，平面假設(shè)不嚴格成立但當梁跨度剪力彎曲時，截面上有切應(yīng)力，平面假設(shè)不嚴格成立但當梁跨度 l 與高度與高度 h 之比大于之比大于5（即為細長梁）時，彈性力學(xué)指出：上述公式（即為細長梁）時，彈性力學(xué)指出：上述公式近似成立近似成立q截面慣性積截面慣性積 Iyz = 0 q推導(dǎo)時用到鄭玄推導(dǎo)時用到鄭玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面胡克定律，但可用于已屈服的梁截面P124例題9-1313BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.1.C 截面上截面上K

6、點正應(yīng)力點正應(yīng)力2.2.C 截面上截面上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力3.3.全梁全梁上上最大最大正應(yīng)力正應(yīng)力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑 Vx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM解：解：xm67.5kN8/2qlM14BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN2. C 截面最大正應(yīng)力C 截面彎矩m

7、kN60CMC 截面慣性矩45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2qlM15BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3. 全梁最大正應(yīng)力全梁最大正應(yīng)力最大彎矩最大彎矩mkN5 .67maxM截面慣性矩截面慣性矩45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2qlM16BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/

8、2ql 30zy180120K FSx90kN90kN4. C 截面曲率半徑截面曲率半徑C 截面彎矩截面彎矩mkN60CMC 截面慣性矩截面慣性矩45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM117二、彎曲剪應(yīng)力彎曲剪應(yīng)力 Shearing stress in bending beamV為橫截面上的剪力Sz*為面積A*對中性軸的靜矩A*VVVAFS23 V)4(2 )2(21)2(22*yhbyhybyhyAScz矩形梁截面上的切應(yīng)力分布矩形梁截面上的切應(yīng)力分布 bISFZZsmax,maxmax最大剪應(yīng)力18)41 (23 )4(2)(22

9、22hybhVyhIVyZ 討討 論論1、沿高度方向拋物線分布、沿高度方向拋物線分布2、y=0時，切應(yīng)力值最大時，切應(yīng)力值最大3、梁上下表面處切應(yīng)力為零、梁上下表面處切應(yīng)力為零123bhIz19腹板為矩形截面時腹板為矩形截面時 VbISyzz*)()yh(b)hH(B)yh(y)yh(b)hH(h)hH(B yAS*c*z222242822122221222yzBHhbtyA*腹板腹板翼板翼板工字形梁腹板上的切應(yīng)力分布工字形梁腹板上的切應(yīng)力分布20)4(2)(8)(2222yhbhHBbIVyzBh H 討討 論論1、沿腹板高度方向拋物線分布、沿腹板高度方向拋物線分布2、y=0時，切應(yīng)力值最大

10、時，切應(yīng)力值最大3、腹板上下邊處切應(yīng)力最小、腹板上下邊處切應(yīng)力最小8)(822maxhbBBHbIVz22min8hHBbIVz211 1、彎曲正應(yīng)力強度條件、彎曲正應(yīng)力強度條件 IyMzmaxmaxmax1.1.彎矩最大的截面上彎矩最大的截面上2.2.離中性軸最遠處離中性軸最遠處4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮抗拉和抗壓性能不同，二方面都要考慮ttmax,ccmax,3.3.變截面梁要綜合考慮變截面梁要綜合考慮 與與MzI目錄三、梁的強度條件三、梁的強度條件22P126 例題9-142 2、彎曲剪應(yīng)力強度條件、彎曲剪應(yīng)力強度條件 bISFZsZ*maxmax,max

11、23作彎矩圖，尋找需要校核的截面作彎矩圖，尋找需要校核的截面 ccttmax,max,要同時滿足要同時滿足分析：分析： 非對稱截面，要尋找中性軸位置非對稱截面，要尋找中性軸位置 T T型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。型截面鑄鐵梁，截面尺寸如圖示。試校核梁的強度。試校核梁的強度。 MPa,60,MPa30ct目錄例題9-124mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面對中性軸）求截面對中性軸z z的慣性矩的慣性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：目錄25（4 4）B

12、 B截面校核截面校核 ttMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖目錄kN.m5 .2kN.m426（5 5）C C截面要不要校核？截面要不要校核？ ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作彎矩圖）作彎矩圖 ttMPa2 .27max, ccMPa1 .46max,目錄kN.m5 .2kN.m427 懸臂梁由三塊木板粘接懸臂梁由三塊木板粘接而成?？缍葹槎?/p>

13、成?？缍葹?m1m。膠合面。膠合面的許可切應(yīng)力為的許可切應(yīng)力為0.34MPa0.34MPa，木材的木材的= 10 MPa= 10 MPa，=1MPa=1MPa，求許可載荷。，求許可載荷。 21maxmax6bhlFWMz1.1.畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖2.2.按正應(yīng)力強度條件計算許可載荷按正應(yīng)力強度條件計算許可載荷 V FM Fl 3.75kNN375061015010010692721 lbhF bhFAV2/32/32max3.3.按切應(yīng)力強度條件計算許可載荷按切應(yīng)力強度條件計算許可載荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhF Fl1005050

14、50z解：解：例題9228 gZZbhFbbhhbFbIVS341233323*g4.4.按膠合面強度條件按膠合面強度條件計算許可載荷計算許可載荷 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhF 5.5.梁的許可載荷為梁的許可載荷為 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505050M FlzV F29ZmaxmaxWM1. 1. 降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置載荷合理布置載荷提高梁強度的主要措施提高梁強度的主要措施30合理布置支座合理布置支座FFF31合理布置載荷合理布置載荷F322.

15、2. 增大增大 W WZ Z 合理設(shè)計截面合理設(shè)計截面合理放置截面合理放置截面ZmaxmaxWM33合理設(shè)計截面合理設(shè)計截面3462bhWZ左62hbWZ右合理放置截面合理放置截面353、等強度梁、等強度梁 b xh3637一一. .基本概念基本概念撓曲線方程：撓曲線方程：)(xyy 由于小變形，截面形心在由于小變形，截面形心在x x方向的位移忽略不計方向的位移忽略不計撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：dxdy tan撓曲線撓曲線yxxy撓度撓度轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角撓度撓度y y：截面形心：截面形心在在y y方向的位移方向的位移y向下為正向下為正轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。順

16、時針為正順時針為正9-7梁的變形梁的變形 Beam deformation38 變形后梁軸變形后梁軸 線撓曲線線撓曲線 撓度：撓度：y y 變形后梁截面：仍為平面變形后梁截面：仍為平面 梁截面轉(zhuǎn)角：梁截面轉(zhuǎn)角： PxyC C1f變形前梁截面：平面變形前梁截面：平面39疊加原理：疊加原理： 承受復(fù)雜載荷時，可承受復(fù)雜載荷時，可分解分解成幾種成幾種簡單載荷簡單載荷，利用利用簡單載荷作用下的簡單載荷作用下的位位移計算結(jié)果移計算結(jié)果，疊加后得在復(fù)雜載荷作疊加后得在復(fù)雜載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角用下的撓度和轉(zhuǎn)角條件：條件： 材料服從材料服從胡克定律胡克定律和和小變形小變形 撓度和轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系撓度和

17、轉(zhuǎn)角均與載荷成線性關(guān)系二二. .用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形例例 按疊加原理按疊加原理 求求 A A點轉(zhuǎn)角點轉(zhuǎn)角 和和 C C點撓度點撓度解：解：載荷分解如圖載荷分解如圖查梁的簡單載荷變形表，查梁的簡單載荷變形表， 得到變形得到變形EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33AqPBCaa=+PABqAB例題例題9-3EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33疊加疊加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534AqPBCaa=+PABqAB42三、剛度條件三、剛度條件,maxmax yy一般鋼筋混凝土梁的

18、許可撓度：一般鋼筋混凝土梁的許可撓度：200300ll鋼筋混凝土吊車梁的許可撓度：鋼筋混凝土吊車梁的許可撓度：500600ll43四、提高彎曲剛度的一些措施四、提高彎曲剛度的一些措施1 1、減小梁的跨度、減小梁的跨度2 2、選擇合理截面形狀，提高抗彎剛度、選擇合理截面形狀，提高抗彎剛度EIEI3 3、改善梁的受力和支座位置、改善梁的受力和支座位置4 4、預(yù)加反彎度、預(yù)加反彎度5 5、增加支座、增加支座44選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀45改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改改變變支支座座形形式式46改改變變載載荷荷類類型型%5 .6212CCww改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)

19、值改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值Lq0MABAq0LRBABxEIq0LABf或或用變形比較法解簡單超靜定用變形比較法解簡單超靜定梁梁(補充補充)處理方法：處理方法：3 3種方程（變形協(xié)調(diào)、物理、平衡）相結(jié)合，種方程（變形協(xié)調(diào)、物理、平衡）相結(jié)合， 求全部未知力求全部未知力解：解：建立靜定基建立靜定基 確定超靜定次數(shù)確定超靜定次數(shù) 用反力代替多余約束用反力代替多余約束 得新結(jié)構(gòu)得新結(jié)構(gòu) 靜定基靜定基等價等價幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程0BBRBqBfffq0LRBAB=+RBABq0AB物理方程物理方程補充方程補充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqL

20、B83qLRB求解其它問題求解其它問題 （反力、應(yīng)力、變形等）（反力、應(yīng)力、變形等）499-8 梁的應(yīng)力狀態(tài)梁的應(yīng)力狀態(tài)脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿4545螺旋面斷開？螺旋面斷開？低碳鋼低碳鋼鑄鑄 鐵鐵50123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 單元體上沒有切應(yīng)力的面稱為單元體上沒有切應(yīng)力的面稱為主平面主平面；主平面上的正應(yīng)力；主平面上的正應(yīng)力稱為稱為主應(yīng)力，主應(yīng)力，分別用分別用 表示，并且表示，并且該單元體稱為該單元體稱為主應(yīng)力單元。主應(yīng)力單元。321,321 通過受力構(gòu)件的一點的各個截面上的應(yīng)力情況的集合，稱為該該點的應(yīng)力狀態(tài)。點的應(yīng)力狀態(tài)。 51空間

21、（三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：一個主應(yīng)力為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：一個主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個主應(yīng)力為零應(yīng)力狀態(tài)分類52x xy yx y yx xya a 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力 y a a xyd dA Axyx平面應(yīng)力狀態(tài)分析平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法解析法53 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAd

22、Ayyxxxy y a a xyd dA Axyx54利用三角函數(shù)公式利用三角函數(shù)公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化簡得化簡得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx55x xy yx y yx xya a使微元順時針方向使微元順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。轉(zhuǎn)動為正；反之為負。角：角：由由x x 軸正向逆時針轉(zhuǎn)軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反到斜截面外法線時為正；反之為負。之為負。 y a a xyntxyxxP136例題9-22562sin2cos)(21)(21xyyx

23、yx確定正應(yīng)力極值確定正應(yīng)力極值2cos22sin)(xyyxdd設(shè)設(shè)0 0 時，上式值為零，即時，上式值為零，即02cos22sin)(00 xyyx正正應(yīng)力極值和方向應(yīng)力極值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 時，切應(yīng)力為零時，切應(yīng)力為零主應(yīng)力、主平面、主切應(yīng)力主應(yīng)力、主平面、主切應(yīng)力57yxxy 22tan0 由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。 所以，最大和最小正應(yīng)力

24、分別為：所以，最大和最小正應(yīng)力分別為： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主應(yīng)力主應(yīng)力按代數(shù)值按代數(shù)值排序：排序：1 1 2 2 3 358yxminmax22max421xyyx22min421xyyx對于同一個點，所截取的不同方位的單元體，其相互垂直面對于同一個點，所截取的不同方位的單元體，其相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個不變量上的正應(yīng)力之和是一個不變量。最大切應(yīng)力、最小切應(yīng)力最大切應(yīng)力、最小切應(yīng)力：最大切應(yīng)力等于兩個主應(yīng)力之差的一半。592sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應(yīng)力圓或莫爾圓圖解法圖解法-應(yīng)力圓應(yīng)力圓60 xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx1. 1. 應(yīng)力圓：應(yīng)力圓： 10-4 10-4 圖解法圖解法-應(yīng)力圓應(yīng)力圓612.2.應(yīng)力圓的畫法應(yīng)力圓的畫法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( y yx xyDDx 10-4 10-4 圖解法圖解法-應(yīng)力圓應(yīng)力圓62點面對應(yīng)點面對應(yīng)應(yīng)力圓上某一點的坐標值對應(yīng)著應(yīng)力圓上某一點的坐標值對應(yīng)著微元某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力微元某一截