彈性力學復習題1

1、彈性力學復習題 2015年春一、 名詞解釋1. 彈性力學：研究彈性體由于受外力作用或者溫度改變等原因而發(fā)生的應力、應變和位移。2. 圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。3. 外力：其它物體對研究對象（彈性體）的作用力。外力可以分為體積力和面積力。4. 體力：分布在物體體積內的力，如重力和慣性力。5. 面力：分布在物體表面上的力，如流體壓力和接觸力。二、填空題1.彈性力學的基本假設為均勻性、各向同性、 連續(xù)性 、 完全彈性 和 小變形 。2.彈性力學正面是

2、指 外法線方向與坐標軸正向一致 的面，負面指 外法線方向與坐標軸負向一致 的面。3.彈性力學的應力邊界條件表示在邊界上 應力 與 面力 之間的關系式。除應力邊界條件外彈性力學中還有 位移 、 混合 邊界條件。4.在平面應力問題與平面應變問題中，除 物理 方程不同外，其它基本方程和邊界條件都相同。因此，若已知平面應力問題的解答，只需將其彈性模量換為 ，泊松比換為，即可得到平面應變問題的解答。5.平面應力問題的幾何形狀特征是 一個方向上的尺寸遠小于另外兩個方向上的尺寸；平面應變問題的幾何形狀特征是 一個方向上的尺寸遠大于另外兩個方向上的尺寸。三、單項選擇題1. 下列關于彈性力學問題中的正負號規(guī)定，

3、正確的是 D 。 (A) 應力分量是以沿坐標軸正方向為正，負方向為負(B) 體力分量是以正面正向為正，負面負向為正(C) 面力分量是以正面正向為正，負面負向為負(D) 位移分量是以沿坐標軸正方向為正，負方向為負2. 彈性力學平面應力問題中應力分量表達正確的是 A 。(A) (B) (C) (D) 3. 彈性力學中不屬于基本方程的是 A 。(A) 相容方程 (B) 平衡方程 (C) 幾何方程 (D) 物理方程4. 彈性力學平面問題中一點處的應力狀態(tài)由 A 個應力分量決定。 (A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 5四、 問答題1. 彈性力學的基本假定是什么，各有什么作用？答：彈性力學中主要引

4、用的五個基本假定及各假定用途為： 1）連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應力、應變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。2）完全彈性假定：這一假定包含應力與應變成正比的含義，亦即二者呈線性關系，復合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。3）均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內部各點的物理性質顯然都是相同的。因此，反應這些物理性質的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比等）就不隨位置坐標而變化。4）各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質在各個方向上都是相同的，也就是說，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。5）小變形假定：研究物體受力后

5、的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進行計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將它們的二次冪或乘積略去不計，使得彈性力學的微分方程都簡化為線性微分方程。2. 彈性力學平面問題包括哪兩類問題？分別對應哪類彈性體？兩類平面問題各有哪些特征？答：彈性力學平面問題包括平面應力問題和平面應變問題兩類，兩類問題分別對應的彈性體和特征分別為：（1）平面應力問題：所對應的彈性體主要為等厚薄板，其特征是：面力、體力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均勻分布，只有平面應力分量,存在，且僅為x,y的函數(shù)。（2）平面應變問題：所對應的彈性體主要為長截面柱體，其特征為：面力、體力的作用面

6、平行于xy平面，外力沿z軸無變化，只有平面應變分量,存在，且僅為x,y的函數(shù)。3. 常體力情況下，按應力求解平面問題可進一步簡化為按應力函數(shù)F求解，應力函數(shù)F必須滿足哪些條件？答：（1）相容方程：；（2）應力邊界條件；（3）若為多連體，還須滿足位移單值條件。4. 請說明應力和面力符號規(guī)定的區(qū)別；答：當作用面的外法線指向坐標軸的正方向時（即正面時），這個面上的應力（不論是正應力或切應力）以沿坐標軸的正方向為正，沿坐標軸的負方向為負。與此相反，當作用面的外法線指向坐標軸的負方向時（即負面時），這個面上的應力就以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸的正方向為負。5. 請說明彈性力學和材料力學中關于切應力符

7、號規(guī)定的區(qū)別。答：在彈性力學和材料力學中切應力的符號規(guī)定不盡相同：材料力學中規(guī)定，凡企圖使微段順時針轉動的切應力為正；在彈性力學中規(guī)定，作用于正坐標面上的切應力以沿坐標軸正方向為正，作用于負坐標面上的切應力以沿坐標軸負方向為正，相反的方向均為負。6. 平面問題的位移解法是如何推導出來的？請詳細推導。7. 平面問題的應力解法是如何推導出來的？請詳細推導。8. 求解彈性力學問題的三類基本方程是什么？僅由基本方程是否可以求得具體問題的解答？為什么？答：平衡方程，幾何方程和物理方程。僅由基本方程不可以求得具體解答，因為缺少邊界條件，只能得到問題的通解而不是特解。9. 簡述圣維南原理及其在彈性力學中的簡

8、化作用。答：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢和主矩相同），則近處的應力分布將有顯著的改變，但遠處的應力所受影響可以忽略不計。作用： (1)將次要邊界上復雜的面力做分布的面力替代；(2) 將次要的位移邊界條件轉化為應力邊界條件處理。10. 如何正確寫出彈性力學平面問題的應力邊界條件？請寫出具體步驟。答：(1) 找出邊界的外法線方向，求出和；(2) 寫出邊界上的應力的x分量以及y分量的表達式；(3) 按如下公式寫出邊界條件下標s表示在邊界上取值。11. 什么是半逆解法？請寫出半逆解法求解彈性力學平面問題的步驟。12. 闡述你對有限元方法的認識。五、 計算題1.試考

9、慮下列平面問題的應變分量是否有可能存在(1) ，；(2) ，；(3) ，解：應變分量存在的必要條件是應變分量滿足變形協(xié)調條件，即因此，(1)相容；(2)須滿足；(3)不相容。只有，則。2.在無體力的情況下，試考慮下列應力分量是否可能在單連通彈性體中存在(1) ，；(2) ，解：彈性體中的應力，在單連體中必須滿足平衡微分方程、相容方程和邊界條件，即 和 因此，(1)該組應力滿足相容方程，為了滿足平衡微分方程，必須滿足和；(2)為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足，為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足。這只能是，即彈性體內無應力，無意義。3.已知平面應力問題的應力，其他應力分量為零，求位移場。 解：由

10、平面應力問題的物理方程可以得到 (1)(1)式代入幾何方程得到 (2)(2)式的前兩式分別對 x、y積分，得 (3)將(3)式代入(2)式的第三個方程中，可得 (4)此方程的左邊的自變量為x，右邊的自變量為y，等式要恒成立則要求兩邊等于同一個常數(shù)c，故可以令： (5)將這兩個方程分別對x和y積分就得到 (6)(6)式代入(3)式得到 (7)4. 如圖所示三角形柱體，下部受均勻載荷，斜面自由，不計體力，試檢驗應力分量是否滿足應力表示的全部方程，并求常數(shù)，使其滿足給定的邊界條件。解：(1) 驗證（略）應力分量滿足如下平衡方程和相容方程(2) 對有邊界條件 (1)將和代入(1)式得到 (2)對OB邊

11、有如下邊界條件 (3)將代入(3)式得到 (4)OB邊的方程為 (5)將(5)式代入應力分量并利用(2)式得到 (6)將(6)式代入(4)式有解得 (7)(7)式代入(2)式得到 (8)5. 如圖所示，設單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力忽略不計，。試用應力函數(shù)求解應力分量。解：(I) 顯然，應力函數(shù) (1)滿足雙調和方程。(II) 寫出應力的表達式（不計體力） (2) (3) (4)(III) 通過邊界條件確定待定系數(shù)邊界條件為：邊界上： (5) (6)邊界上： (7) (8)由(2)(4)(5)(6)式有 (9)由(2)(4)(7)(8)式也可得到(9)式。在邊界上，用圣維南

12、原理提出如下邊界條件 (10) (11) (12)將(2)代入(10)得到 (13)將(4)代入(11)得到 (14)聯(lián)立(9)(14)得到 (15) (16)將(2)代入(12)得到 (17)由(13)(15)(16)(17)及(2)(3)(4)得到 (18) (19) (20)6. 如圖所示的墻，高度為h，寬度為b，hb，在兩側面上受到均布剪力q的作用，試用應力函數(shù)求解應力分量。解：(I) 顯然，應力函數(shù) (1)滿足雙調和方程。(II) 寫出應力的表達式（不計體力） (2) (3) (4)(III) 通過邊界條件確定待定系數(shù)邊界條件為：邊界上： (5) (6)邊界上： (7) (8)由(2

13、)(4)(5)(6)式有 (9)由(2)(4)(7)(8)式也可得到(9)式。在邊界上，有 (10) (11)條件(10)自動滿足，然而，條件(11)會導致，這說明問題原應力函數(shù)取得不合適。因為，可以用圣維南原理，在邊界處提出如下邊界條件 (12)由 (4)(12)有 (13)由 (9)(13)有 (14) (15)(IV) 將(14)(15)代入(2)(3)(4)有 (13) (14) (15)7. 設圖中的三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純三次多項式為應力函數(shù)求解應力分量。解：(I) 取應力函數(shù)為 (1)顯然應力函數(shù)滿足雙調和方程。(II) 寫出應力的表達式 (2) (3) (4)(III) 通過邊界條件確定待定系數(shù)邊界上： (5) (6)邊界上： 即 (7) (8)由(3)(5)式有 (9)由(4)(6)式有 (10)由(2)(3)(4)(7)(8)及(9)(10)有 (11) (12)(IV)將(9)(10)(11)(12)代入(2)(3)(4)有 (13) (14) (15)8. 固定端為無限遠的