第2章控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述1MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真教學(xué)ppt課件

1、第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述第第2章章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描畫控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描畫 2.1 形狀方程與時(shí)域描畫形狀方程與時(shí)域描畫2.2 傳送函數(shù)與頻域描畫傳送函數(shù)與頻域描畫第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述2.1 形狀方程與時(shí)域描畫形狀方程與時(shí)域描畫 2.1.1 控制系統(tǒng)的形狀空間描畫 延續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)形狀空間的普通方式可以寫成 ( )( )(, )( )( )( )( )dX tAX tF X tG tdtY tCX tDU t(2.1) (2.2) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 其中,F(X,t)表示系統(tǒng)一切的可變系數(shù)和非線性項(xiàng)。普通而言,系統(tǒng)的輸入、輸出和形狀變量具有不同的維數(shù)。

2、為了得到系統(tǒng)的完好描畫,定義 G(t)=BU(t) (2.3) B、C、D矩陣普通為非方陣,式2.1可以寫成( )( )(, )( )NKMiijjikimmjkmdx ta x tfX tb utdt(2.4) 式2.2可以寫成( )( )( )NMiijjimmjmy tc x td ut(2.5)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 例2.1 將下面的二階系統(tǒng)表示成規(guī)范的形狀方程方式。11211213221222122( )7( )3( )4( )( )( )( )2( )( )9( )5( )3( )4( )( )( )( )2( )dx tx tx ttx tx t x tu tu td

3、tdx tx tx tx tu tdty tx tx tu t 解：寫成規(guī)范的形狀空間方式( )( )(, )( )TTdX tAX tF X tBU tdtyC XD U第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述11223( )( )( )( )( )( )( )u tx tX tU tu tx tu t121224( )( )( )73(, )953( )102040tx tx t x tAF X tx tB其中 式2.1可以寫成更普通的方式，即11020TTCD( )(, )dX tF X U tdt第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.1.2 形狀方程的創(chuàng)建 假設(shè)n維線性微分方程為1111101

4、11( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnndddy tay tay ta y tdtdtdtdddbu tbu tbu tb u tdtdtdt(2.6)定義 10201112230122222( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x ty tu tdddx ty ttu tx tu tdtdtdtddddx ty tu tu tu tx tu tdtdtdtdt第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 對(duì)于第j個(gè)形狀變量11201111211( )( )( )( )( )( )( )( )jjjjjjjjjj

5、jdddx ty tu tu tu tdtdtdtdx txtu tdt(2.7) 其中,j定義為 00111022112011110jjjjjbbabaabaaa(2.8) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 對(duì)于式2.7和2.8,可以得到式2.6描畫的SISO系統(tǒng)的矩陣表示 ( )( )( )( )( )( )TdX tAX tBu tdty tC X tdu t其中112200100TnnxxXBCdbx(2.11) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述(2.12) 121010000100001nnnAaaaa 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 例2.2 將下面的三階線性系統(tǒng)表示成規(guī)范的形狀

6、空間方式。3232( )6( )8( )4 ( )2( )7 ( )ddddy ty ty ty tu tu tdtdtdtdt解：按照前面引見(jiàn)的方法1110jjjdxxudtxyuy第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述定義 1020122230122222xyudydudyxudtdtdtdyd udud yxuudtdtdtdt001110222120331221300027625bbabaabaaa 其中 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 因此 112233123( )( )0100( )001( )2( )4865( )( )( )( )100( )0 ( )( )x tx tdx tx

7、tu tdtx tx tx ty tx tu tx t第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 例2.3 將下面的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成規(guī)范形狀空間方式。(留意到該系統(tǒng)方程右邊沒(méi)有輸入的導(dǎo)數(shù)項(xiàng),因此得到的系統(tǒng)矩陣的特征值與給定三階方程解的特征方程的特征根一樣。) 解：定義系統(tǒng)形狀1211322xydxyxxdtdxyxxdt第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 寫成矩陣方式 由 可得到33dyxxdt313223 1dxa xa xa xudt 112232133123( )( )0100( )001( )01( )( )( )( )100( )0( )x tx tdx tx tudtaaax tx tx ty tx

8、 tux t 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 下面我們來(lái)驗(yàn)證第二個(gè)問(wèn)題。系統(tǒng)方程的特征根可以寫成 3+a12+a2+a3=0 形狀矩陣的特征值為 32110det()001AIaaa沿矩陣的第一行展開(kāi)212332123det()()0AIaaaaaa 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 這里的det(A-I)稱為特征方程?？梢钥闯?形狀矩陣的特征值與特征方程的根一樣。 方程2.4的每一個(gè)方程中只含有一個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng),稱之為規(guī)范方式。然而對(duì)于普通的線性系統(tǒng),在一個(gè)方程中能夠會(huì)包含多個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。例如,下面的二階系統(tǒng)1212124( )340ddxxxu tdtdtdxxxdt寫成矩陣方式112211401

9、( )01340 xxdu txxdt 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 更為普通的方式是 ( )( )( )dEX tAX tBU tdt兩邊同乘以E-1,有 11()()dXE A XE B Udt(2.13) (2.14) (E-1A)稱為系統(tǒng)矩陣。 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 對(duì)于方程中含有代數(shù)方程的情況,可以經(jīng)過(guò)一系列的代數(shù)運(yùn)算來(lái)降低系統(tǒng)的維數(shù)。根本步驟包括： 1重新將方程排序,使得前n1個(gè)方程包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng),后n2個(gè)方程僅包含代數(shù)項(xiàng)。 2運(yùn)用矩陣重寫原始方程G=BU1112112122000dddaaaXXGCCEdCCXXGdt 其中,Xd為包含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的形狀向量,Xa為沒(méi)有導(dǎo)數(shù)

10、項(xiàng)的形狀向量。 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 3將上一步的矩陣展開(kāi)，有11111221220ddaddaadEXC XC XGdtC XC XG4得到Xa關(guān)于Xd的解,將它代入到微分方程中,可得122211111111222211222()adadddadXCC XGdEXC XC C C XC C CGdt 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 5將新的系統(tǒng)寫成規(guī)范方式 11111112222111111222()(dddadXAXWdtAECC C CWEGC C G(2.15) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 例2.4 將下面的系統(tǒng)表示成規(guī)范的形狀方程方式。 1214522334123

11、125( )( )4( )( )( )( )( )( )5( )3 ( )0( )( )0( )3( )( )7 ( )0( )( )( )ddx tx tx tx tx tu tdtdtdx tx tx tu tdtx tx tx tx tx tu tx tx tx t 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 解：將系統(tǒng)方程寫成矩陣方式112234511000410110100001500000000011000000131000000011001xxxxdxdtxx34513070uxxx 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 上式具有以下方式1112112122000dddaaaXXBCCEduC

12、CXXBdt方程的解為 ( )( )( )dddXtAXtWu tdt其中 111111122211111222()()daAECC CWEBC C B第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.1.3 非線性系統(tǒng)的線性化 實(shí)踐上我們接觸到的系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng),然而在某個(gè)參考形狀的某個(gè)有限范圍內(nèi)可以采用近似線性化的分析方法。下面將引見(jiàn)如何對(duì)普通的非線性形狀方程進(jìn)展線性化。 假設(shè)非線性系統(tǒng)的普通方式為 ( )( )(, )( )dX tAX tF X U tBU tdt(2.16) F(X,U,t)包括系統(tǒng)一切的非線性項(xiàng)。系統(tǒng)的形狀變量和輸入可以表示成第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 X0為非線性系統(tǒng)

13、的參考點(diǎn)處的形狀和輸入。將式2.17代入式2.16,得到00( )( )( )( )( )( )X tXtX tU tU tU t(2.17) 00000( )( )( )( )(, )( )9 )ddXtX tAXtA X tF XdtdtX UU tBU tB U t(2.18)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 將上式在參考點(diǎn)附近進(jìn)展一階Taylor展開(kāi),對(duì)于其中第i個(gè)等式,其一階近似為000000000(, )(, )(, )(,)( )(,)( )xuF X U tF XX UU tF X U tJX UX tJX UU t000000,11(, )(, )NMiiiiX UjX Uk

14、jkjkfff X U tf X U txuxu(2.19) 寫成矩陣方式 (2.20) 其中,Jx(X0,U0)和Ju(X0,U0)是系統(tǒng)在參考點(diǎn)處的Jacobian矩陣，即iixujkffJJxu(2.21) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 系統(tǒng)在參考點(diǎn)附近同樣有 00000(, )dXAXF X U tBUdt(2.22) 將式2.20和式2.22代入式2.18,得到 0000( )(,)( )(,)( )xudX tAJX UX tBJX UU tdt(2.23) 式2.23表示的是原非線性系統(tǒng)的線性化模型系統(tǒng)。新系統(tǒng)的形狀矩陣為A+Jx(X0,U0),同時(shí)新的輸入矩陣為B+Ju(X

15、0,U0)。第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 例2.5 計(jì)算以下矩陣表示的非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)( )處的線性化模型。000,0dXUdt221211300 xAFBuu 解：首先計(jì)算系統(tǒng)的參考形狀。在平衡點(diǎn)處00000(,)0dXAXF X Udt從而 210202010200203xxxxx 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 得到兩個(gè)平衡點(diǎn)的形狀為102001505XX 計(jì)算系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣 00001121200,221202(,)|00 xX UX UffxxxJX Uffxx第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述在參考形狀XT0=0 0處,線性化系統(tǒng)為 121130dXXu

16、dt 而在參考形狀XT0=15 -5處,線性化系統(tǒng)為181130dXXudt 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.1.4 線性系統(tǒng)的解析解 下面將討論如何計(jì)算一個(gè)形狀方程描畫的線性系統(tǒng)的時(shí)域解。在討論過(guò)程中,讀者可以看到,矩陣的指數(shù)函數(shù)在系統(tǒng)解的計(jì)算中發(fā)揚(yáng)了重要的作用。 1.無(wú)輸入的情況 首先思索一個(gè)沒(méi)有獨(dú)立輸入變量并且只需一個(gè)形狀變量的最簡(jiǎn)單情況。系統(tǒng)描畫0( )( )(0)dx tax txxdt(2.24)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 假定解的方式為 ( )tx tbe(2.25)將其代入原方程ttb eabea方程的最終解為00( )(0)atx tx exbx(2.26) 對(duì)于

17、矩陣的情況,即系統(tǒng)含有一個(gè)以上的形狀變量 0( )( )(0)dX tAX tXXdt(2.27) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 與標(biāo)量情況類似,假設(shè)解的方式為( )tX te B(2.28) 代入式2.27，得tte BAe BA由初始條件X(0)=B=X0得0( )AtX te X(2.29) 以上結(jié)果也可以表示成不同的方式。例如,可以以t=t0為初始條件重新計(jì)算,那么式2.29變?yōu)?()0( )( )A t tX teX t(2.30) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 假設(shè)采用t=t-t0,有00()( )A tX tteX t (2.31) 綜上所述,無(wú)輸入線性形狀方程的解為(

18、)( )(0)X tt X (2.32) 其中,(t)稱為形狀轉(zhuǎn)移矩陣,它是下面方程的獨(dú)一解 ( )( )(0)dtAtIdt(2.33) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 為了驗(yàn)證式2.23確實(shí)是原系統(tǒng)方程的解,思索(0)(0)(0)(0)(0)( )( )(0)( )(0)( )XXIXXddX tt XAt XAX tdtdt (2.34) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2. 有輸入的情況 首先思索標(biāo)量只需一個(gè)形狀變量的情況。系統(tǒng)的形狀方程為( )( )( )dx tax tbu tdt(2.35) 方程兩邊同時(shí)乘以積分因子 ,得到adtatee( )( )( )( )atatatd

19、dex tax tex tebu tdtdt第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 將方程在t0與t的區(qū)間內(nèi)進(jìn)展積分,有0000( )( )( )( )( )ttaatttaaatd exebudex tex tebud最后,兩邊乘以eat,重新整理方程得00()()0( )( )( )ta t ta ttx tex tebud(2.36) 假設(shè)t0=0,那么 0()( )(0)( )tata ttx te xebud(2.37) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 驗(yàn)證上述解的正確性的方法是將其代入微分方程中去。例如,將式2.37代入方程2.35中,并根據(jù)Leibnitz法那么,得到 ()()00(

20、 )( )( )( )( )tata ta tdx tae xaebudebu tax tbu tdt(2.38) 對(duì)于矩陣情況,系統(tǒng)描畫為 ( )( )( )dX tAX tBU tdt(2.39)與標(biāo)量的情況類似,方程兩邊同時(shí)乘以積分因子e-At,得到 ( )( )( )( )AtAtAtddeX tAX teX teBU tdtdt第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 在t0與t時(shí)間區(qū)間內(nèi)進(jìn)展積分,從而有00( )( )ttAAttd eXeBUd000( )( )( )tAtAtAtteX teX teBUd最后,兩邊同時(shí)乘以eAt,得到 00()()0( )( )( )tA t tA t

21、tX teX teBUd(2.40) 假設(shè)t0=0,那么 ()0( )(0)( )tAtA tX te XeBUd(2.41) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 同樣,為了驗(yàn)證上述解的正確性,將它代入原系統(tǒng)方程()00( )( )( )( )( )tAtA tdX tAe XAeBUdBu tAX tBU tdt上述解也可以用形狀轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)表示 ()( )()AtA ttete例如,方程2.41采用轉(zhuǎn)移矩陣表示為 00( )( )()( )tX tt XtBUd 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.1.5 線性系統(tǒng)的離散化 正如上面討論的那樣,在對(duì)實(shí)踐系統(tǒng)進(jìn)展分析和仿真之前,往往需求首先采用

22、計(jì)算機(jī)計(jì)算出系統(tǒng)的解的情況。在高維動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真中普通采用兩種方法,包括線性系統(tǒng)解析解的離散化和適用于任何系統(tǒng)的數(shù)值積分技術(shù)。 系統(tǒng)離散化的目的是將線性系統(tǒng)的延續(xù)形狀方程描畫轉(zhuǎn)化成離散方式。假設(shè)系統(tǒng)形狀方程為( )( )( )dX tAX tBU tdt(2.43)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 將其轉(zhuǎn)化成離散形狀方程方式X(k+1)T=G(T)X(kT)+H(T)U(kT) (2.44) 其中,T是采樣周期,G和H是常值矩陣。為了方便,方程2.44經(jīng)常寫成下面的方式 Xk+1=GXk+Huk (2.45) 上述方程表示了系統(tǒng)形狀隨離散時(shí)間的迭代關(guān)系,假設(shè)G和H矩陣都知,就很容易經(jīng)過(guò)計(jì)

23、算機(jī)迭代計(jì)算系統(tǒng)在各個(gè)時(shí)辰的形狀值。因此,下面的目的就是如何計(jì)算離散形狀矩陣的值。 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 為此,首先假設(shè)輸入U(xiǎn)(t)為分段常值的函數(shù),即U(t) Uk。為了推導(dǎo)系統(tǒng)的離散表示,引出前面講述的延續(xù)線性系統(tǒng)的解析解，即00()0( )( )( )tA t tAtAtX teX teeBUd定義t=(k+1)T,并且t0=kT,有(1) (1)1( )kTATA kTkkkTXeXeBUd引進(jìn)新的變量,使得=+kT或者=-kT,從而 d=d (k+1)T-kT=T- U(+kT)=U(kT)=Uk第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 可以得到()10TATA TkkkXeXe

24、dBU由于 ()100011TTA TATAATATATATATedee deA eA eeIAeI 得到最后的解11ATATkkkXeXAeI BU(2.46) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 將它與式2.45進(jìn)展比較,最后得到G和H矩陣的計(jì)算公式1ATATGeHAeI B假設(shè)將G按照指數(shù)公式展開(kāi),有2311()()2!3!ATGeIATATAT那么可以得到H的展開(kāi)方式1232311()()2!3!11()()2!3!HAIATATATI BT IATATATBTQB第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.1.6 形狀方程的數(shù)值積分 在對(duì)系統(tǒng)形狀方程進(jìn)展仿真中除了運(yùn)用上面講述的矩陣指數(shù)函數(shù)方

25、法外,還可以采用直接對(duì)形狀方程進(jìn)展積分的方法。采用直接積分方法的優(yōu)點(diǎn)在于它可以很容易地處置時(shí)變和相對(duì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。 1Euler方法標(biāo)量情況 思索普通的一階微分方程 ( )( ) ( )( ) ( )( , , )dx ta t x tb t u tf x u tdt(2.51)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 在Euler方法中,我們假定方程2.51的右邊在某個(gè)時(shí)間段t=tk+1-tk堅(jiān)持常值。這樣,方程2.51的積分方程可以寫成 11( )(, )kkkkttkkkttdx t dtf x u tdtdt或者 1 (, )kkkkkxxt f x u t(2.52) 第2章 控制系統(tǒng)的

26、時(shí)域和頻域描述 2改良的Euler方法標(biāo)量情況 對(duì)積分方程更好的近似方法是假定方程在t時(shí)間段內(nèi)是線性而不是常值的,這樣得到下面的迭代關(guān)系1111 (, )(,)2kkkkkkkktxxf x u tf xut(2.53) 式2.53的問(wèn)題在于計(jì)算xk+1時(shí)需求計(jì)算fk+1,一種能夠的處理方法是首先得到xk+1和fk+1的預(yù)測(cè)值,然后根據(jù)情況對(duì)xk+1進(jìn)展修正,以改良第一次得到的預(yù)測(cè)值。這種方法也稱為預(yù)測(cè)-修正方法。計(jì)算步驟為先進(jìn)展預(yù)測(cè)計(jì)算1kkkxxtf (2.54) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 再進(jìn)展修正計(jì)算 11()2kkkktxxff其中 1111(, )(,)kkkkkkkkff

27、 x u tff xut xk+1代表tk+1時(shí)辰第一次的預(yù)測(cè)值, tk+1代表修正后的最優(yōu)值。 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 改良的Euler方法雖然算法簡(jiǎn)單,卻展現(xiàn)了預(yù)測(cè)-修正數(shù)值積分方法的主要思想。我們還可以在計(jì)算過(guò)程中自順應(yīng)地調(diào)整t的大小,來(lái)同時(shí)滿足計(jì)算精度和計(jì)算速度的要求。在最新的算法中,只需輸入數(shù)值積分的允許誤差,積分算法將會(huì)自動(dòng)調(diào)整計(jì)算的步長(zhǎng),以滿足計(jì)算精度的要求。MATLAB/Simulink中采用的變步長(zhǎng)ODE求解算法普遍采用的就是這類算法。 以上關(guān)于標(biāo)量情況的討論可以很容易地推行到矩陣方式。假設(shè)一維微分方程的普通方式是( )( )( )( ) ( )(, )dX tA

28、t X tB t U tF X U tdt(2.55) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 Euler方法矩陣情況1(, )kkkkkkkXXtFFF X U t 其中 改良的Euler方法矩陣情況 預(yù)測(cè)計(jì)算 1kkkXXtF (2.56) (2.57) 修正計(jì)算 11()2kkkktXXFF(2.58) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述其中 1111(, )(,)kkkkkkkkFF X U tFF XUt(2.59) (2.60) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述2.1.7 實(shí)例最后經(jīng)過(guò)一個(gè)詳細(xì)的例子來(lái)演示前述內(nèi)容。例2.6 二階線性系統(tǒng)的普通方式為221201222d ydyd udyaa

29、 ybbb udtdtdtdt將它寫成形狀方程方式,有111212221020110 xxduaaxxdtxyux第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 其中 0=b0 1=b1-a1b0 2=b2-a1b1+a21b0-a2b010211dxyuxxudtx1(0)和x2(0)為系統(tǒng)的初始條件。作為一個(gè)特殊的例子,圖2.1顯示的是一個(gè)簡(jiǎn)單的RLC電路。 電路的電壓滿足平衡方程 ea=eL+eR+eC其中 1LRCdieLeRieidtdtC第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述圖2.1 簡(jiǎn)單的RLC電路圖 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 i(t)代表電路中的電流。將這些關(guān)系代入平衡方程，得0221(

30、)( )( )( )1( )( )( )( )taade tLi tRi tiddtCdddLi tRi ti te tdtdtCdt將方程兩邊進(jìn)展微分 將上式與二階系統(tǒng)的普通方式進(jìn)展比較,可以看出 120121100RaabbbLLCL第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 這樣,可以得到規(guī)范的形狀方程方式 112221212110011001xxdLuRxxRdtLCLLxyuxxydxxudtL 其中 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 為了得到系統(tǒng)的解析解,假定R=100,L=0.1H,C=0.001F。ea(t)是10V的階躍信號(hào)。下面我們采用三種不同的方法進(jìn)展時(shí)域仿真： 1用形狀轉(zhuǎn)移矩陣表

31、示的系統(tǒng)解析解 對(duì)于階躍輸入,LTI系統(tǒng)的解析解可以寫成00( )tAtAtAtX te XeedBu上式可以寫成簡(jiǎn)化方式 1001100( )( )()()AtAtAt tAtAtAtAtAtX te XeA eBuX te XeAIeBue X AeI Bu第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 最后一步,我們利用了A-1和eAt可交換的現(xiàn)實(shí)。 為了得到最后的表達(dá)式,我們運(yùn)用Sylvester定理來(lái)計(jì)算形狀轉(zhuǎn)移矩陣eAt,首先計(jì)算形狀矩陣的特征值：111100( )()AtAtAtX te XA e BuA BueXA BuA Bu或者 2111RAIRLLCLCL第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描

32、述 2LTI系統(tǒng)的離散化 LTI形狀方程的離散化方法包含在MATLAB中的控制工具箱ControlToolbox中。這個(gè)工具箱還包括一整套用于線性系統(tǒng)分析的函數(shù)。MATLAB是經(jīng)過(guò)定義規(guī)范形狀方程中的A、B、C和D矩陣的方法來(lái)定義一個(gè)LTI形狀空間對(duì)象： sys=ss(A,B,C,D) 上式將創(chuàng)建一個(gè)名為sys的LTI系統(tǒng)對(duì)象,接下來(lái)可以運(yùn)用其它函數(shù)對(duì)其進(jìn)展各種操作。 例如,對(duì)階躍信號(hào)的呼應(yīng)可以經(jīng)過(guò)下式進(jìn)展計(jì)算: Y,T,X=step(sys)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 或 Y,T,X=step(sys,T) 其中,Y和X分別包含輸出和形狀向量的時(shí)域仿真數(shù)據(jù),它是一個(gè)三維數(shù)組,其第3維對(duì)

33、應(yīng)于輸入的維數(shù)。 對(duì)于第一種用法,T向量中的采樣時(shí)間數(shù)與采樣周期是由MATLAB自動(dòng)確定的。而在第二種用法中,它們是由用戶本人定義的。除了運(yùn)用step函數(shù),MATLAB中具有類似功能的函數(shù)還有impulse和lsim,它們分別完成系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)和普通輸入信號(hào)的仿真。對(duì)于本例中的RLC電路,調(diào)用的格式為第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 sys=ss(A,10*B,C,D); Y,T,X=step(sys,T); 3形狀方程的數(shù)值積分 本例中演示的最后一種方法是經(jīng)過(guò)MATLAB的ode23函數(shù)完成的數(shù)值積分方法。該函數(shù)運(yùn)用了前面講述的自順應(yīng)步長(zhǎng)控制算法,采用不同階的RungeKuttaRK積分

34、算法來(lái)進(jìn)展誤差估計(jì)。詳細(xì)來(lái)說(shuō),ode23采用二階和三階RK算法來(lái)對(duì)微分方程進(jìn)展積分。 讀者可以經(jīng)過(guò)helpode23來(lái)詳細(xì)了解該函數(shù)的用法。在本例中,ode23的調(diào)用格式為T,X=ode23(sseqn1,to,tf,xo,options)；第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 其中,to和tf是初始和最終的仿真時(shí)間,xo代表形狀向量的初始條件。options參數(shù)允許用戶指定數(shù)值積分的某些選項(xiàng)詳細(xì)選項(xiàng)可以參考o(jì)deset函數(shù)。函數(shù)輸出包括記錄采樣時(shí)辰的時(shí)間向量T和形狀矩陣,其中的每一列對(duì)應(yīng)于每個(gè)時(shí)辰的形狀值。函數(shù)名sseqn1代表將要計(jì)算的方程稱號(hào)?？梢灶A(yù)見(jiàn),采用方法3所得到的仿真曲線與其它方法是

35、一致的如圖2.2、圖2.3所示。第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述圖2.2 采用不同時(shí)域仿真方法的RLC 電路階躍呼應(yīng)曲線(R=100)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述圖2.3 采用不同時(shí)域仿真方法的RLC 電路階躍呼應(yīng)曲線(R=10)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述以下是本例中運(yùn)用的仿真源程序： % LTIDEMO1.M 演示計(jì)算LTI系統(tǒng)方程解的各種方法 clearall, closeall, nfig=0; globalABU L=0.1; %電感參數(shù)(henry) Ca=0.001; %電容參數(shù)(farad) RR=100100; %可變電阻(ohms) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述

36、 ir=menu(ChooseRvalueinRLCcircuit, . R=100ohms(overdampedresponse), . R=10ohms(underdampedresponse), . R=0ohms (undampedresponse); R=RR(ir); % 建立RLC電路的形狀方程 A=01;-1/(L*Ca)-R/L; B=1/L-R/L2; C=10; D=0;第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 % 設(shè)置積分時(shí)間,時(shí)間向量和系統(tǒng)初始條件 to=0; tf=0.25; nt=251; t=linspace(to,tf,nt); xo=00;% 設(shè)置階躍信號(hào)的幅值 u

37、s=10; % PartA 延續(xù)解析解 pp=1R/L1/(L*Ca); rr=roots(pp);第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述% 確定方程中的矩陣或向量常數(shù) aibu=inv(A)*B*us; xxo=xo+aibu; AA1=(A-rr(2)*eye(size(A)/(rr(1)-rr(2); AA2=(A-rr(1)*eye(size(A)/(rr(2)-rr(1);% 確定時(shí)間的相關(guān)量 tb1=exp(rr(1)*t); tb2=exp(rr(2)*t);% 構(gòu)造形狀變量隨時(shí)間的變化 xa=zeros(2,nt); xa(:,1)=xo; ya=zeros(1,nt); ya(:,

38、1)=C*xo+D*us; fork=2:nt第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述xa(:,k)=(AA1*tb1(k)+AA2*tb2(k)*xxo-aibu; ya(:,k)=C*xa(:,k)+D*us; end xa=xa; ya=ya; % PartB LTI系統(tǒng)的離散解% 對(duì)系統(tǒng)時(shí)域呼應(yīng)進(jìn)展仿真 sys=ss(A,B*us,C,D); yb,t,xb=step(sys,t); 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述% PartC 形狀方程的數(shù)值解 U=us; options=odeset(RelTol,1.0e-6); tn,xc=ode23(sseqn1,to,tf,xo,options)

39、; xct=xc; ntn=length(tn); yc=zeros(1,ntn); fork=1:ntn yc(:,k)=C*xct(:,k)+D*U; end yc=yc; 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述% 繪制上述三部分的結(jié)果曲線 nfig=nfig+1; figure(nfig) subplot(3,1,1),plot(t,1000*ya,r),grid title(Fig3.3 VariousSolutionsforaStepInputtoRLCCircuit. (R=, num2str(R),ohms) range=axis; xt=range(1)+0.55*(range(2)

40、-range(1); yt=range(3)+0.85*(range(4)-range(3); text(xt,yt,ContinuousAnalyticalSolution) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 ylabel(ia(t)(ma) subplot(3,1,2),plot(t,1000*yb,g),grid text(xt,yt,DiscreteSolutionforLTISystem) ylabel(ib(t)(ma) subplot(3,1,3),plot(tn,1000*yc,b),grid text(xt,yt,NumericalSolution) ylabel(ic(t)

41、(ma), xlabel(Time(sec)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述% SSEQN1.M 常系數(shù)形狀方程的建立 functionxp=sseqn1(t,x) globalABU xp=A*x+B*U;第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述2.2 傳送函數(shù)與頻域描畫傳送函數(shù)與頻域描畫 2.2.1 線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系 我們知道,線性系統(tǒng)的形狀方程可以表示為dXAXBUdtYCXDU(2.61) (2.62) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 其中,Y=Y(t)表示系統(tǒng)的輸出向量,U=U(t)為系統(tǒng)的輸入向量。假設(shè)系統(tǒng)只需一個(gè)輸入變量和輸出變量SISO,那么該系統(tǒng)可以由輸入函數(shù)到輸出呼應(yīng)的傳送

42、函數(shù)來(lái)表示。例如,圖2.4中的系統(tǒng)可以由圖2.5所示的籠統(tǒng)系統(tǒng)簡(jiǎn)單地表示。第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述圖2.4 SISO線性系統(tǒng)的方框圖 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述圖2.5 SISO系統(tǒng)的籠統(tǒng)表示第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 圖2.5中系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以表示為 0( )( )( )( )( )( )tx taxbudy tcx tdu t 對(duì)于多輸入多輸出MIMO系統(tǒng),那么該系統(tǒng)可以分成多個(gè)互連的SISO子系統(tǒng)。例如,圖2.6所示的系統(tǒng)具有兩個(gè)輸入、三個(gè)輸出,它可以分解成六個(gè)SISO子系統(tǒng)。 這可以器具有多個(gè)輸入和輸出的單個(gè)模塊來(lái)表示，如圖2.7所示。 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域

43、和頻域描述圖2.6 MIMO系統(tǒng)框圖 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述圖2.7 MIMO系統(tǒng)的籠統(tǒng)表示 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.2.2 Laplace變換 定義：Laplace變換定義為下面的線性變換0 ( )( )( )stL f tF sf t edt其中,s=+j為恣意的復(fù)數(shù),f(t)e-st是有界的。定義：Laplace反變換由下式確定11 ( )( )( )2cjstcjLF sf sF s e dsj 以上定義在很多情況下并不適用,實(shí)踐上我們通常經(jīng)過(guò)查表來(lái)計(jì)算Laplace變換和Laplace反變換。下面列舉一些常見(jiàn)的Laplace變換： 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域

44、描述 1單位脈沖 0( )( )( )1( )( )1stf ttF sF st edt其中 (2.65) 2單位階躍 0(0)1( )( )( )1(0)tf tu tF sts(2.66) 其中 00111( )(1)(01)ststF sedtesss 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 3指數(shù)信號(hào)1( )( )stf teF ssa(2.67) 其中 ()()00011( )atsts a ts a tF seedtedtesasa 4斜坡信號(hào)2( )( )af tatF ss(2.68) 其中 0220( )(1)ststeaF satedtastss第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述

45、5重疊信號(hào)1212( )( )( )( )( )( )f taf tbftF saF sbF s(2.69) 下面利用式2.69來(lái)計(jì)算Lsin0t：0000220( )sin( )2jtjteef ttF sjs(2.70) 其中, 0012( )( )( )22jtjteef tf tf tjj由式2.67、2.69,有12001111( )()( )()22F sF sj sjj sj第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 6時(shí)間延遲 或者 000222200001111( )22sjsjF sj sjsjjss01001( )() ()( )( )stf tf tt u ttF sF s e(

46、2.71) 其中 0100100( )() ()()ststtF sf tt u tt ef tt edt定義=t-t0和d=dt,有第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 7微分信號(hào) 000()11100( )( )( )( )s t tstststF sfedefedF s e11110( )( )( )( )(0)( )( )stdf tf tF ssF sfdtdf tF sedtdt(2.72) 利用上面的關(guān)系可以得到 1101110( )( )( )()( )(0)( )ststststdf tueddtdusedtdtF sf t esef t dtfsF s 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和

47、頻域描述 對(duì)于二階導(dǎo)數(shù),有 221111002( )( )( )( )( )d fdf tf tF ss F ssf tdtdt121110101101( )( )( )( )( )( )nnnnnnnd ff tF ss F ssf tsf tdtdf tdt(2.73)普通而言,對(duì)于n階導(dǎo)數(shù),有 (2.74) 8積分信號(hào) 1101( )( )( )( )tf tfdF sF ss(2.75) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.2.3 Laplace反變換 n階LTI系統(tǒng)的Laplace變換具有如下的普通表示：1212()()()( )( )()()()( )mnsasasaZ sF s

48、sbsbsbP s(2.76) 這里的a1,a2,a3，am為F(s)的零點(diǎn),而b1,b2,b3,，bn是F(s)的極點(diǎn)。第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 1. 部分分式展開(kāi)的計(jì)算方法 1) 非反復(fù)線性因子的情況22121211( )(1)(3)(4)13411(3)(4)315(1)(4)117(1)(3)3111171( )()5()()31334ssssABCF ssssssssAsssBsssCssF ssss 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述得到 34117( )533tttf teee 2)反復(fù)線性因子的情況2222122221( )(1) (2)(1)(1)(1)124(1)1(

49、1)(2)00ssssAAAF sssssssBssCssBAss(無(wú)法計(jì)算) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述為此,將F(s)乘以(s+1)2,有 222(1)(1)( )(1)22sssF sA sBCss計(jì)算s=-1時(shí)的值，即 221122122(1)( )2(2)2(1)(1)2(2)sssdsssF sdsssssACss或者 2211222 (2)43(2)(2)sss ssssAss 2( )34tttf tetee 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 3) 復(fù)數(shù)根和二次因子情況222266( )(2)(22)222ssABsCF sssssss求解A得 222266122sssA

50、ss剩下的未知因子滿足 2222266(22)()(2)4422ssssBsCsssBsBsCsC第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述計(jì)算得到 B=1 C=2重寫二次項(xiàng)得到 2222222()()2211sssss或者得到 22222212111( )2(1)12(1)1(1)1ssF ssssss2( )cos( )sin( )tttf teetet第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.留數(shù)方法 留數(shù)定理：假設(shè)F(s)是關(guān)于s的多項(xiàng)式,那么 1 ( )( ( )stLF sF s e一切的根 的留數(shù) (2.77)其中,一個(gè)n階極點(diǎn)在s=s1處的留數(shù)為 11111(1)( )(1)!nnstss

51、sndRssF s ends(2.78) 對(duì)于一階極點(diǎn) 11211(1) ( )(1)( )stss sstss sRss F s edRssF s eds對(duì)于二階極點(diǎn) (2.79) (2.80)第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 1)非反復(fù)線性因子情況2222134341( )(1)(2)(4)111( )(3)(4)(1)(4)(1)(3)117( )533stststssstttsF sssssssf teeessssssf teee 2)反復(fù)線性因子情況2222212222122( )(1) (2)( )(1)2242(2)2ststsstststssF ssssdsf teesds s

52、ssseetesss第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述22466( )(2)(22)tesF ssss2222212222122( )(1) (2)( )(1)2242(2)2ststsstststssF ssssdsf teesds sssseetesss 3) 復(fù)數(shù)根和二次因子情況第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述計(jì)算F(s)的根為s=-1j,將F(s)寫成線性因子方式22221221266( )(2)( 1)( 1)266266( )()22(2)( 1)266(2)( 1)ststssjstsjssF sssjsjssssf teessssjssessj 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述將

53、各項(xiàng)展開(kāi),經(jīng)過(guò)計(jì)算得到2( 1)( 1)2211( )(1)(1)221()()22cossintj tj tttjtjttjtjttttf tej ej ejeeeeeeeeetet 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.2.4 微分方程的解 Laplace變換的一個(gè)重要運(yùn)用是計(jì)算微分方程的解。根本步驟包括： 1對(duì)微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)展Laplace變換,從而將微分方程簡(jiǎn)化成代數(shù)方程。 2計(jì)算代數(shù)方程中的未知獨(dú)立變量。 3利用Laplace反變換計(jì)算出微分方程的時(shí)域解。第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 例2.7 利用Laplace變換計(jì)算二階線性系統(tǒng)的解。假定有如下的二階微分方程2002( )

54、( )( )0d xdx tmkxf tx tdtdt計(jì)算f(t)作用下的x(t)。 解：對(duì)微分方程進(jìn)展Laplace變換20( )(0)( )( )dxm s X ssxkX sF sdt或者 022(0)( )( )dxmsxmF sxtX smskmsk第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 在零初始條件下,有 21( )( ) ( )( )X sG s F sG smsk 對(duì)于任何輸入的驅(qū)動(dòng)信號(hào)f(t),都可以計(jì)算F(s)和X(s),然后經(jīng)過(guò)Laplace反變換計(jì)算出x(t)。 情況1：?jiǎn)挝幻}沖輸入 假定f(t)=(t),于是F(s)=1,x(t)可以這樣計(jì)算得到： 1( )sinmmx t

55、tmkk第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述我們知道 2222222111( )2()1mG smskssksmkkmmmkm 經(jīng)過(guò)計(jì)算Laplace反變換,得到脈沖輸入下的微分方程的解為 1( )sinmmx ttmkk第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 情況2：?jiǎn)挝浑A躍輸入 對(duì)于單位階躍輸入信號(hào),F(s)=1/s,微分方程的時(shí)域解為111( )( ) ( ) x tLX sLG ss對(duì)于 222111( )()sX ss mskkskksm 經(jīng)過(guò)計(jì)算Laplace反變換,可得到脈沖輸入下的微分方程的解為1( )1 mx tkk第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.2.5 卷積 對(duì)于LTI系統(tǒng),其

56、時(shí)域解可以是由多個(gè)Laplace變換式乘積的Laplace反變換給出的： X(s)=G(s)F(s) (2.81) x(t)=L-1X(s)=L-1G(s)F(s) (2.82) 我們可以采用卷積的概念來(lái)計(jì)算式2.82，即112120( )( )( )()tLX s Xsxx td(2.83) 這里的x1(t)和x2(t)是因果時(shí)間函數(shù)即滿足關(guān)系f(t)=0,t0。式(2.83的證明是構(gòu)造性的。假定f(t)的表達(dá)式為第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 進(jìn)展Laplace變換,得 120( )( )()f txx td12001200 ( )( )( )()( )()ststL f tF sex

57、t x tddtxx tedt d但是,對(duì)于t,有x2(t-)=0。因此,有 120( )( )()strF sxx tedt d第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述如今假定p=t-,dp=dt,得到()12001200121200( )( )( )( )( )( )( )( )( )s p rstspstspF sxxp edp dxexp edp dxedxp edpX s Xs這樣 1112120( ) ( )( )( )( )()f tLF sLX s Xsxx td(證畢) 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 假設(shè)我們假定X2(s)G(s),X1(s)F(s),那么x2(t)稱為系統(tǒng)的脈沖

58、呼應(yīng)(F(s)=1,f(t)=(t)。脈沖呼應(yīng)函數(shù)經(jīng)常用h(t)表示。如今對(duì)于任何的輸入函數(shù)f(t),期望的系統(tǒng)呼應(yīng)為0( )() ( )ty th tfd其中,h(t)=L-1G(s)。 第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.2.6 Laplace變換與形狀方程 下面我們將Laplace變換擴(kuò)展到矩陣方式。既然Laplace變換是一個(gè)線性算子,因此對(duì)一個(gè)向量和矩陣進(jìn)展Laplace變換,只需對(duì)其中每一個(gè)元素進(jìn)展相應(yīng)的Laplace變換即可。并且一些根本的運(yùn)算如 /nnL d x dt和0( )tLx t等依然有效。 因此,對(duì)于規(guī)范的LTI形狀方程模型,可以對(duì)其中的每一項(xiàng)進(jìn)展Laplace變換

59、。( )( )( )( )(0)( )( )dLX tAX tBU tdtsX sXAX sBU s第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述或者 1()( )(0)( )( )() (0)( )sIA X sXBU sX ssIAXBU s形狀方程的最終方式可以寫成 下面的關(guān)系是顯然的 11110) ( )()()( )AtLsIAeX ssIAXsIABU s為了證明上面的式子,重寫式2.85為 (2.85) (2.86) (2.87) 進(jìn)展Laplace反變換，有1()00( )( )( )tAtA tX tLX se XeBUd第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 例2.8 利用Laplace變換計(jì)

60、算eAt,其中6142A 解：我們知道L-1(sI-A)-1=eAt, 因此首先計(jì)算(sI-A)-1。6142ssIAs22det()(6)(2)4816(4)sIAsssss2212222124(4)(4)1()1646(4)(4)(4)TsssssIAsssss第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述因此 222111222421(4)(4)(4) 442(4)(4)(4)AtsssseLsIALssss由于 11211()atatLeLtesasa矩陣指數(shù)的最終方式為444444412241242tttAttttttteteteeettteete第2章 控制系統(tǒng)的時(shí)域和頻域描述 2.2.7 系統(tǒng)