立體幾何大題練習(xí)(文科)61642

1、立體幾何大題練習(xí)(文科)：1.如圖，在四棱錐S - ABCD中，底面ABCD是梯形，ABDC, ZABC=90 , AD二SD, BC二CD二丄壯,側(cè)面SAD丄底面ABCD.2(1) 求證：平面SBD丄平面SAD；(2) 若ZSDA=120 ,且三棱錐S-BCD的體積為些，求側(cè)面ZXSAB的面積.【分析】(1)由梯形ABCD,設(shè)BC=a,則CD=a, AB=2a,運(yùn)用勾股定理和余弦定 理，可得AD,由線面垂直的判定定理可得BD丄平面SAD,運(yùn)用面面垂直的判定 定理即可得證；(2)運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理，以及三棱錐的體積公式，求得BC=1,運(yùn)用勾股 定理和余弦定理，可得SA, SB,運(yùn)用三角形的

2、面積公式，即可得到所求值.【解答】(1)證明：在梯形ABCD中，ABDC, ZABO90 , BOCD二寺犧，設(shè) BC=a,則 CD二a, AB二2a,在直角三角形 BCD 中，ZBCD二90 , 可得 BD=V2a, ZCBD二45 , ZABD=45 ,由余弦定理可得 AD=ab2+db2_2ABpDBpcos45. =V2a,則BD丄AD,由面SAD丄底面ABCD.可得BD丄平面SAD,又BDu平面SBD,可得平面SBD丄平面SAD；(2)解：ZSDA二120 ,且三棱錐S-BCD的體積為逅，12由 AD二在ZSAD 中，可得 SA=2SDsin60 二辰,ASAD的邊AD上的高SH二S

3、Dsin60二逅缶由SH丄平面BCD,可得32212解得a=l,由BD丄平面SAD,可得BD丄SD,SB=V S D2+BB 2 a2+2 a 2=23，又 AB二2a,在等腰三角形SBA中，邊SA上的高為看零a,則ASAB的面積為丄XSAX也二乞13.【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的判定定理的運(yùn)用，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查三棱錐 的體積公式的運(yùn)用，以及推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.2.如圖，在三棱錐A -BCD中，AB丄AD, BC丄BD,平面ABD丄平面BCD,點(diǎn)E、F （E與A、D不重合）分別在棱AD, BD ,且EF丄AD.求證：（1） EF平面ABC；（2） AD丄AC.【分析】（1）

4、利用ABEF及線面平行判定定理可得結(jié)論；（2）通過(guò)取線段CD上點(diǎn)G,連結(jié)FG、EG使得FGBC,則EG/7AC,利用線面垂 直的性質(zhì)定理可知FG丄AD,結(jié)合線面垂直的判定定理可知AD丄平面EFG,從而 可得結(jié)論.【解答】證明：（1）因?yàn)锳B丄AD, EF丄AD,且A、B、E、F四點(diǎn)共面，所以ABEF,第1頁(yè)（共1頁(yè)）又因?yàn)镋Fu平面ABC, ABc平面ABC,所以由線面平行判定定理可知：EF平面ABC；(2)在線段CD上取點(diǎn)G,連結(jié)FG、EG使得FGBC,則EGAC,因?yàn)?BC丄BD, FGBC,所以FG丄BD,又因?yàn)槠矫鍭BD丄平面BCD,所以FG丄平面ABD,所以FG丄AD,又因?yàn)锳D丄E

5、F,且EFAFG=F,所以AD丄平面EFG,所以AD丄EG,故AD丄AC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化思 想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累， 屬于中檔題.3.如圖，在三棱柱ABC - A,B,Ci中,CG丄底面ABC, AC丄CB,點(diǎn)M和N分別是BQ 和BC的中點(diǎn).(1) 求證：MB平面AGN;(2) 求證：AC丄MB.【分析】(1)證明MGNB為平行四邊形，所以C】NMB,即可證明MB平面AGN；(2)證明AC丄平面BCCb,即可證明AC丄MB.【解答】證明：(1)證明：在三棱柱ABC-.AbG中，因?yàn)辄c(diǎn)M, N分

6、別是B,C(,BC的中點(diǎn),所以 CNBN, C,M=BN.所以MGNB為平行四邊形.所以GNMB.因?yàn)镚Nu平面AGN, MBQ平面AGN,所以MB平面AC.N；(2)因?yàn)镃G丄底面ABC,所以AC丄CG.因?yàn)?AC丄BC, Bcnccpc,所以AC丄平面BCGBi.因?yàn)镸Bu平面BCGBi,所以AC丄MB.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.4.如圖，在四棱錐P - ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD|；BC, PD丄底面ABCD,ZADC二90 , AD二2BC, Q為AD的中點(diǎn)，M為棱PC的中點(diǎn).(I )證明：PA平面B

7、MQ；【分析】(1)連結(jié)AC交BQ于N,連結(jié)MN,只要證明MN卩A,利用線面平行的 判定定理可證；(2)由(1)可知，PA平面BMQ,所以點(diǎn)P到平面BMQ的距離等于點(diǎn)A到平面 BMQ的距離.第1頁(yè)(共1頁(yè))【解答】解：（1）連結(jié)AC交BQ于N,連結(jié)MN,因?yàn)閆ADC=90 , Q為AD的中 點(diǎn)，所以N為AC的中點(diǎn).（2分）當(dāng)M為PC的中點(diǎn)，即PM二MC時(shí)，MN為APAC的中位線，故MNPA,又MNu平面BMQ,所以PA平面BMQ.（5分）（2）由（1）可知，PA平面BMQ,所以點(diǎn)P到平面BMQ的距離等于點(diǎn)A到平面 BMQ的距離，所以尸V產(chǎn)訶，取CD的中點(diǎn)K,連結(jié)MK,所以MKPD,驅(qū)=丄刊二1

8、，（7分）2又PD丄底面ABCD,所以MK丄底面ABCD.又 BCADh，PD二CD二2,所以 AQ二 1, BQ二2,W二 1,（10 分）2所以 VP-hq=Va-bwq=Vu-.M5Q=y 寺AQ BQ MK=y-，（11 分）則點(diǎn)P到平面BMQ的距離異嚴(yán)恥二呼（12分）A pirn Z【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定定理的運(yùn)用以及利用三棱錐的體積求點(diǎn)到直 線的距離.5.如圖，在直三棱柱ABC-ARG中，BC丄AC, D, E分別是AB, AC的中點(diǎn).（1）求證：BC平面A.DE；（2）求證:平面AQE丄平面A CCA.【分析】（1）證明BCDE,即可證明BC平面AQE；（2）證明DE丄

9、平面ACC.A,即可證明平面AQE丄平面ACCA.【解答】證明：（1）因?yàn)镈, E分別是AB, AC的中點(diǎn)，所以DEBC,（2分）又因?yàn)樵谌庵鵄BC-AbG中，BQBC,所以BQDE（4分）又BQQ平面A.DE, DEu平面A】DE,所以B】G平面A.DE- （6分）（2）在直三棱柱ABC-Ab G中,CG丄底面ABC,又DEu底面ABC,所以CG丄DE（8分）又BC丄AC, DEBC,所以DE丄AC,（10分）又CG, ACu平面ACCA,且CC,nAC=C,所以DE丄平面ACCA（12分）又DEu平面A】DE,所以平面A】DE丄平面ACCA（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線面垂直、面

10、面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn) 題的能力，屬于中檔題.6.在四棱錐P - ABCD中，PC丄底面ABCD, M, N分別是PD, PA的中點(diǎn)，AC丄AD, ZACD=ZACB=60 , PC=AC.（1）求證：PA丄平面CM；A【分析】（1）推導(dǎo)出MNAD, PC丄AD, AD丄AC,從而AD丄平面PAC,進(jìn)而AD丄 PA, MN丄PA,再由CM丄PA,能證明PA丄平面CM.（2）取CD的中點(diǎn)為Q,連結(jié)MQ、AQ,推導(dǎo)出IQPC,從而MQ平面PBC,再求 出AQ平面，從而平面AMQ平面PCB,由此能證明AM平面PBC.【解答】證明：（1） TM, N分別為PD、PA的中點(diǎn)，二 MN 為 Zi

11、PAD 的中位線，MN / AD,TPC丄底面 ABCD, ADu 平面 ABCD,.PCIAD,又TAD丄AC, PCAAC=C,.AD丄平面 PAC,.AD丄PA,.MN丄PA,第1頁(yè)（共1頁(yè)）又VPC=AC, N為PA的中點(diǎn),丄PA,VMNnCN=N, MNu 平面 CMN, CMu 平面 CMN,.PA丄平面CMN.解（2）取CD的中點(diǎn)為Q,連結(jié)MQ、AQ,VMQ 是 ZkPCD 的中位線，MQ / PC,又 TPCu 平面 PBC, MQQ 平面 PBC,.MQ平面 PBC,TAD丄AC, ZACD=60 , ZADC=30 .ZDAQ=ZADC=30 , ZQAC=ZACQ=60

12、,ZACB=60 ,AQBC,TAQQ 平面 PBC, BCu 平面 PBC,.AQ平面 PBC,VMQ A AQ-Q,平面AMQ 平面PCB,T AMc 平面 AMQ, AM 平面 PBC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間 的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn) 化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題.7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD丄底 面ABCD,且PA二PD建AD, E、F分別為PC、BD的中點(diǎn).2(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：面PAB丄平面PDC.P.【

13、分析】(1)連接AC,則F是AC的中點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，證明EFPA,利用 直線與平面平行的判定定理證明EF平面PAD；(2)先證明CD丄PA,然后證明PA丄PD.利用直線與平面垂直的判定定理證明PA 丄平面PCD,最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到面PAB丄面PDC.【解答】證明：(1)連接AC,由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于BD的中點(diǎn)F,F也為AC中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn).所以在ZXCPA中，EFPA,又PAc平面PAD, EFQ平面PAD,所以EF平面PAD；(2)平面PAD丄平面ABCD平面 PADQ 面 ABCD=AD=CD丄平面 PAD=CD丄PA正方形ABCD中CD丄ADPAc平面

14、PADCDc平面ABCD又 P2PD二甞 AD，所以 PA+PD -AD乙所以APAD是等腰直角三角形，且ZAPD二三，即PA丄PD.2因?yàn)?CDAPD=D,且 CD、PDu 面 PDC所以PA丄面PDC又 PAc 面 PAB,【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定的應(yīng)用，考查邏輯推理能力8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA丄平面ABCD,底面ABCD為菱形，且PA二AD二2, BD-22, E、F 分別為 AD、PC 中點(diǎn).(1) 求點(diǎn)F到平面PAB的距離；(2) 求證：平面PCE丄平面PBC.第1貞(共1頁(yè))【分析】(1)取PB的中點(diǎn)G,連接FG、AG,證得底面ABC

15、D為正方形.再由中位 線定理可得FGAE且FG二AE,四邊形AEFG是平行四邊形，則AGFE,運(yùn)用線面 平行的判定定理可得EF平面PAB,點(diǎn)F與點(diǎn)E到平面PAB的距離相等，運(yùn)用線 面垂直的判定和性質(zhì)，證得AD丄平面PAB,即可得到所求距離；(2)運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得BC丄平面PAB, EF丄平面PBC,再由面面 垂直的判定定理，即可得證.【解答】(1)解：如圖，取PB的中點(diǎn)G,連接FG、AG,因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且PArAD二2, 50=22,所以底面ABCD為正方形.TE、F分別為AD、PC中點(diǎn),.FGBC, AEBC, FG#BC，F(xiàn)GAE且FG=AE,二四邊形AEFG是平行

16、四邊形，.AGFE,TAGu 平面 PAB, EFG 平面 PAB,.EF平面 PAB,.點(diǎn)F與點(diǎn)E到平面PAB的距離相等，由PA丄平面ABCD,可得PA丄AD,又 AD丄AB, PAQAB二A,AD丄平面PAB,則點(diǎn)F到平面PAB的距離為EA=1.(2)證明：由(1)知 AG丄PB, AGEF,TPA丄平面 ABCD,.BC丄PA,TBC丄AB, ABQBOB,.BC丄平面 PAB,由AGc平面PAB,.BC丄AG,又VPBABC=B,AG丄平面PBC, .EF丄平面PBC,VEFc 平面 PCE,平面PCE丄平面PBC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)到平面的距離，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查線面平行和垂

17、 直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定，熟練掌握定理的條件和結(jié)論是解題的關(guān) 鍵，屬于中檔題.9 在四棱錐 P - ABCD 中，底面 ABCD 為直角梯形，Z BAD二 ZADC二90 , DC=2AB=2AD, BC丄PD, E, F分別是PB, BC的中點(diǎn).求證：（1） PC平面DEF；（2）平面PBC丄平面PBD.【分析】（1）由中位線定理可得PCEF,故而PC平面DEF；（2）由直角梯形可得BC丄BD,結(jié)合BC丄PD得出BC丄平面PBD,于是平面PBC丄 平面PBD.【解答】證明：（1） TE, F分別是PB, BC的中點(diǎn)，.PCEF,又PCQ平面DEF, EFu平面DEF,PC平面 D

18、EF.(2)取CD的中點(diǎn)M,連結(jié)BM, 則 AbXdM,又 AD丄AB, AB二AD, 二四邊形ABMD是正方形，BM丄CD, BM=CM=DM=1, BD=V2,.BC-V2,.*.bd2+bc2=cd2,.BC丄BD,又 BC丄PD, BDQPD二D,BC丄平面PBD,又BCc平面PBC,.平面PBC丄平面PBD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題.10.如圖，在三棱錐A - BCD中，E, F分別為BC, CD上的點(diǎn)，且BD平面AEF.(1) 求證：EF平ABD面；(2) 若AE丄平面BCD, BD丄CD,求證：平面AEF丄平面ACD.【分析】(1)利用線面平行的性質(zhì)可得BDEF,從而得出EF平面ABD；第1頁(yè)(共1頁(yè))(2)由AE丄平面BCD可得AE丄CD,由BDCD, BD