第一章 第1講 線性空間

1、返回矩陣?yán)碚摾詈駥W(xué)科學(xué)學(xué)院返回一. 引言1.1.方程組求解方程組求解, Axb111101 2, , niinnnaaAainaaA A 非奇異非奇異1 xA b1100, nnaADa121211100000000, nnnnnn naaaLUaaa返回, ADLU1( ),Jacobi iterative method MD NLUAxb 0AMN(det M)MxNxbMxNxb 11xMNxM b111( k)( k )( k )xMNxM bMxb 2( ),Gauss-Seidel iterative method MDL NU1131( )(),() S

2、uccessive Overrelaxation Iterative mathods MDLNDU返回第一章線性代數(shù)基礎(chǔ)返回1. 1. 線線 性性 空空 間間中定義加法：中定義加法：在在是一個(gè)數(shù)域是一個(gè)數(shù)域是一非空集合，是一非空集合，設(shè)設(shè)VPV.1、什么是線性空間？、什么是線性空間？如果如果之間定義數(shù)量乘法：之間定義數(shù)量乘法：與與在在.;kPVv加法與數(shù)量乘法滿足：加法與數(shù)量乘法滿足：1)2) ()()3)0,0VV有有4), .0VV s t 1)5 )()()6kllk lklk )()7kkk)()8性空間.則V稱為數(shù)域P上的線返回.2線性空間判斷下列集合是否構(gòu)成的全體向量所構(gòu)的全體向量

3、所構(gòu)向量向量空間中不平行于一已知空間中不平行于一已知 )1成的集合，成的集合，的多項(xiàng)式全體所的多項(xiàng)式全體所上次數(shù)等于定數(shù)上次數(shù)等于定數(shù)數(shù)域數(shù)域)1()2 nnP構(gòu)成的集合，構(gòu)成的集合，?性空間性空間是否構(gòu)成復(fù)數(shù)域上的線是否構(gòu)成復(fù)數(shù)域上的線返回3. 與矩陣相關(guān)的四個(gè)基本子空間與矩陣相關(guān)的四個(gè)基本子空間（1 1）值域空間）值域空間（2 2）行向量空間）行向量空間（3 3）核）核（4 4）左核）左核這里討論長(zhǎng)方陣這里討論長(zhǎng)方陣A,A,m-m-byby-n-n列向量空間列向量空間返回. 4線線性性空空間間的的基基和和維維數(shù)數(shù) 在 中有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量在 中有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量而 中任意個(gè)向量都線性相

4、關(guān)而 中任意個(gè)向量都線性相關(guān)則稱是則稱是定定的的就就義義一組基一組基維維間間數(shù)數(shù)是線性空的是線性空的:,.nnVnVnVn111線性空間的維數(shù)與所考慮的數(shù)域有關(guān)線性空間的維數(shù)與所考慮的數(shù)域有關(guān)如： 復(fù)數(shù)域 看作自身上的線性空間為的；如： 復(fù)數(shù)域 看作自身上的線性空間為的；若看作實(shí)數(shù)域上的線性空若看作實(shí)數(shù)域上的線性空注意注意1 1間為間為維維維維的.的.2 2:.C返回. 4與一組基與一組基求下列線性空間的維數(shù)求下列線性空間的維數(shù)，階方陣構(gòu)成的空間階方陣構(gòu)成的空間上全體上全體數(shù)域數(shù)域nnPnP )1.)2上的空間上的空間域域中全體對(duì)稱矩陣構(gòu)成數(shù)中全體對(duì)稱矩陣構(gòu)成數(shù) PPnn 解：解：njiEPi

5、jnn, 2 , 1,)1 基為基為2)dim(nPnn njiEEEFiijiijij 1)2令令.2)1( nn維數(shù)為維數(shù)為返回可交換的矩陣組可交換的矩陣組，證明：全體與，證明：全體與設(shè)設(shè)APAnn 5).(AC成的一個(gè)子空間，記為成的一個(gè)子空間，記為證EAAE ).(ACE )(,21ACAA 2211,AAAAAAAA AAA)()121 AAAA21 21AAAA )(21AAA PVWVWV:,.如果數(shù)域 上的線性空間 的一非空子集如果數(shù)域 上的線性空間 的一非空子集對(duì)于 的兩種運(yùn)算也構(gòu)成線性空間 則稱是 的對(duì)于 的兩種運(yùn)算也構(gòu)成線性空間 則稱是 的線性線性定定子空間子空間義義返回

6、AkA )()21)(1AAk )(1AAk )(1kAA .)(的子空間的子空間是是nnPAC 則則的兩個(gè)非平凡子空間，的兩個(gè)非平凡子空間，是線性空間是線性空間、設(shè)設(shè)VVV21. 6.21同時(shí)成立同時(shí)成立、，使，使中存在向量中存在向量VVV 是非平凡子空間是非平凡子空間1V證：證：1V 存在向量存在向量，則結(jié)論成立，則結(jié)論成立如果如果2V V2, 如果:如果:是非平凡子空間是非平凡子空間2V返回2V 存在向量存在向量，則結(jié)論成立，則結(jié)論成立如果如果1V ，就有，就有如果如果1V 2211,;,VVVV21,VV 返回2 2 空間分解與維數(shù)定理空間分解與維數(shù)定理 設(shè)是線性空間 的子空間設(shè)是線性

7、空間 的子空間和和則 與 的則 與 的定定為為義1:義1:1212,V VVVV12VV121122|,VV返回1l2l 2 1 1V2V返回定理定理1 1：設(shè)：設(shè)1V2V和和是線性空間是線性空間V的子空間，則的子空間，則dim() dim() dim() dim()121212VVVVVV(,)121122有有VV且是唯一的，這個(gè)和12VV就稱為直和,記為21VV 定義定義2: 2: 設(shè)設(shè)1V2V和和 是線性空間是線性空間V的子空間的子空間,若對(duì)若對(duì) ,12VV返回定理定理 2 2：設(shè)：設(shè),1V2V是線性空間是線性空間V的子空間的子空間,則下列命題等價(jià)則下列命題等價(jià)（1）21VV 是直和：是

8、直和： （2） 零向量表示法唯一；零向量表示法唯一；（3）.021VV 例例 1：,( )( ),LL 設(shè)線性無(wú)關(guān) 則是直和設(shè)線性無(wú)關(guān) 則是直和.()( )LL而，不是直和而，不是直和返回定義定義3 3：設(shè)：設(shè)sVVV,21是線性空間是線性空間V的子空間，如果和的子空間，如果和sVVV21,(1,2, )12V issiisVVV21中的每個(gè)向量中的每個(gè)向量的分解式的分解式是唯一的，這個(gè)和是唯一的，這個(gè)和就稱為直和，記為就稱為直和，記為V +V+V12s相互等價(jià)：相互等價(jià)：（2） 零向量表示法唯一；零向量表示法唯一；定理定理 3 3：設(shè)：設(shè)是線性空間是線性空間V的子空間，則下列命題的子空間，則

9、下列命題sVVV,21（1）是直和：是直和：sVVVW21（3）.0)(ijjiVV （4）. )dim()dim(iVW返回3 商商 空空 間間定義定義1：MMVV模與則稱滿足如果設(shè),同余).(modM記為性質(zhì)性質(zhì) 1 反身律：反身律：性質(zhì)性質(zhì) 2 對(duì)稱律：對(duì)稱律：性質(zhì)性質(zhì) 3 傳遞律：傳遞律：。)(mod M。則若)(mod),(modMM。則若)(mod),(modMM。則)(mod M返回定義定義 2：設(shè)設(shè),V 則則 V 的子集的子集|Mm mM內(nèi)的任一向量必與內(nèi)的任一向量必與;M模同余模同余反之，反之，M與模同余的向量與模同余的向量必屬于必屬于.MM則則為模為模M 的一個(gè)的一個(gè)同余類

10、，同余類， 稱為這稱為這 個(gè)同余類的個(gè)同余類的代表代表.性質(zhì)性質(zhì) 4： .,MMM 若則若則.)()(,MMMM則若性質(zhì)性質(zhì) 5： 定義定義 3： V 的所有模的所有模M 的同余類的全體組成的集合稱為的同余類的全體組成的集合稱為V的的商集商集，記為，記為.V給商集定義如下的加法和數(shù)乘運(yùn)算：給商集定義如下的加法和數(shù)乘運(yùn)算：()()()()()()MMMMMM（2） ()()kMkMkMkM（1） 返回下面證明如上定義的運(yùn)算的合理性。下面證明如上定義的運(yùn)算的合理性。(mod)M)(modM（1)：)(11Mmm)(22MmmMmm)()(21()()MM )()()()(MMMM（2)：)(mod

11、M)(MmmMkkmkkMkMk)()(MkMk返回 定理定理 1 商集關(guān)于上面定義的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算為數(shù)域商集關(guān)于上面定義的加法和數(shù)量乘法運(yùn)算為數(shù)域上的一個(gè)線性空間，這個(gè)線性空間稱為上的一個(gè)線性空間，這個(gè)線性空間稱為V 對(duì)于子空間對(duì)于子空間M的的商空間，記為商空間，記為V / M . 定理定理 2 設(shè)設(shè) M 是是 V 的子空間，則的子空間，則 dim (V / M)=dim (V) - dim (M). 證明證明：,12MVs 將的一組基擴(kuò)充為 的基為將的一組基擴(kuò)充為 的基為nss,121下面證明下面證明12,(2 1) ssnMMM是商空間是商空間 V / M 的一組基的一組基.返回(1

12、): 先證（先證（2-1）式在）式在V / M 內(nèi)線性無(wú)關(guān)。內(nèi)線性無(wú)關(guān)。MMkMknnss0)()(11MMkknnss0)(11ssnnsskkkk111101111ssnnsskkkk021nsskkk(2): 再證任一再證任一M都可由（都可由（2-1）式線性表出。）式線性表出。1 111kkkks sssn n()111 1kkkkMssn ns s返回(mod)11kkMssn n()11MkkMssn n()()11MkMkMssn n()()11MkMkMssnn由（由（1 1）和（）和（2 2）知（）知（2-12-1）式是商空間）式是商空間V/M V/M 的一組基，故的一組基，故

13、 dim (V / M)=dim (V) - dim (M) 返回oyx那么，取),1, 0(則M就是商空間V / M 的基，由MkMk)(就得到商空間V / M 的所有元素。 例例 1 1 xoyxoy平面向量的線性空間平面向量的線性空間V V 的維數(shù)是的維數(shù)是dim(dim(V V )=2)=2，而而oxox軸上所有向量形成軸上所有向量形成V V的一維子空間的一維子空間M M，且有，且有dim(dim(M M)=1,)=1,故，故，dim(dim(V / M V / M )=2 - 1=1)=2 - 1=1因子空間因子空間M M，可取基，可取基),0, 1 (返回例 2 設(shè),3RV 取M是

14、ox軸的一維子空間，則dim(V/M)=3-1=2oxyz取),0, 1, 0() 1, 0, 0(,MM 基，由就是商空間的)()(MlMk就得到商空間 的所有元素。返回4 4 線性流形與凸閉包線性流形與凸閉包定義定義 1 1： 所謂線性空間的所謂線性空間的線性流形線性流形，即為，即為|1010VrVrP其中，其中，1V是是V V 的子空間的子空間, ,0r是是V V 的固定向量，的固定向量，1V的維數(shù)的維數(shù)稱為線性流形稱為線性流形 P P 的維數(shù)。的維數(shù)。 注注：一維線性流形稱為：一維線性流形稱為直線直線，二維線性流形稱為，二維線性流形稱為平面平面，更高維的線性流形稱為更高維的線性流形稱為

15、超平面超平面. .返回證明：證明：例例 1 任一秩為任一秩為 r 的的 n 元線性方程組元線性方程組Ax=b 的解集合是的解集合是組，使其解集合為組，使其解集合為P . n 維向量空間的維向量空間的 維線性流形維線性流形. 反之反之, 對(duì)對(duì)nR任一任一dd n r 維線性流形維線性流形P ,存在一系數(shù)矩陣秩為存在一系數(shù)矩陣秩為 的的n元線性方程元線性方程dnrAxb解解Ax=b 的解集的解集01P rV是是n 維向量空間的線性流形。維向量空間的線性流形。反之，設(shè)反之，設(shè)10VrP是是nR的的d 維性流形維性流形, 取取一組基為一組基為(,)111 121(,)12aaanaaaddddn1V返

16、回(,)111 121(,)222 222(,)12bbbnbbbnbbbrrrrn作齊次方程組, 01xA其中，(,) ,112TTT TAd的一組基為 故此方程組的解空間 是 維子空間.2Vrdn設(shè) 2V記. 0,),(121TTrAAA則 作Ax=0 , 故此方程組的解空間即為 ,1V于是令,0Arb 則Ax=b 即為所求方程組.返回定理 1：設(shè),10s是 的任意s+1 個(gè)向量，且nR,110skkk則形如)11(1100sskkkx的所有向量構(gòu)成一個(gè)維數(shù)等于向量組,02010s的秩的線性流形P .證明:將（1-1）式改寫(xiě)為)()()(00220110sskkkx)( ,),(),()(

17、)()(002010022011sssLkkk則有1V10Vx返回222VrP相等充要條件是.,12121VrrVV定理 2： ,1V是V 的子空間,而2V則,21Vrr,111VrP證明：必要性，1220PPr)(111VPr120rr112Vrr222,PrV（1）（2）)(111VPr12rr121)(Vrr12VV 同理，21VV 21VV 返回充分性充分性：21VV 122111;VrPVrP121Vrr21PP 定理 3： 中任意兩條直線包含在某個(gè)三維線性流形中。 )3( nRn證：102101;trtr:1l:2l0 x)(0031211ttt10VP即,031時(shí)當(dāng) ttPt12

18、0,1,032時(shí)當(dāng)ttPt110時(shí)，當(dāng)3)dim(1VP就是三維線性流形，時(shí)，當(dāng)3)dim(1V返回.,1是三維線性流形而包含這兩條直線則擴(kuò)展成三維子空間中將在PVPVVRn定理 4： 中兩條直線 ) 1( nRn1010txtx和位于一個(gè)平面內(nèi)的充要條件是 線性相關(guān).)( ,0011證 必要性： 位于平面 P 內(nèi)，1010txtx和設(shè)P 平行于 二維子空間),(111LV 100V)( ,0011線性相關(guān).返回充分性：)( ,0011線性相關(guān)線性相關(guān)11,)1線性無(wú)關(guān)11,)2線性相關(guān)11,)1平行和直線1010txtx必在同一平面內(nèi)和1010txtx11,)2線性無(wú)關(guān)1100lkPL),(1100內(nèi)必在平面和Ptxtx1010返回 定理5 空間的兩個(gè)維數(shù)分別為 k 和 h 的線性流形 P 和 Q 包含在一個(gè)維數(shù) 的線性流形中。nR1hk證：設(shè),2010VQVP,121kVV的基底分別為.,1h和令),(00113kkLV. 1)dim(3hkV則作線性流形的向