多邊形的密鋪

1、計算下列正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)并填空計算下列正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)并填空54054010810872072012012036036090901801806060900900900/7900/7108010801351351440144014414415015018001800地磚地磚美麗的圖案美麗的圖案請觀察請觀察,這些圖形在拼接時有什么特點這些圖形在拼接時有什么特點?如果你是設計師，如果你是設計師，讓你設計幾種地板讓你設計幾種地板圖案，你如何設計圖案，你如何設計呢？呢？基本概念基本概念平面圖形的密鋪平面圖形的密鋪: 用形狀和大小完全相同的一種或幾種用形狀和大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行

2、拼接，彼此之間不留空平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的圖形的鑲嵌鑲嵌，又稱平面圖形的，又稱平面圖形的密鋪密鋪.學一學學一學密鋪密鋪的兩個條件：的兩個條件：1、相相等的一種或幾種平面圖形；等的一種或幾種平面圖形；2、無空隙、不重疊鋪成一片。、無空隙、不重疊鋪成一片。能能密鋪密鋪的圖形在一個拼接的圖形在一個拼接點處的特點：點處的特點： 1. 1.各角之和等于各角之和等于360360, , 2. 2.相等的邊互相重合。相等的邊互相重合。結論結論 1如圖如圖,為什么有的形狀的地磚能鋪成為什么有的形狀的地磚能鋪成無縫隙的地板而有的卻不可

3、以呢無縫隙的地板而有的卻不可以呢?想想一一想想正方形正方形正三角形正三角形正六邊形正六邊形正五邊形正五邊形正八邊形正八邊形密鋪密鋪平面圖案需要的什么條件？平面圖案需要的什么條件？拼接在同一個點的各個角拼接在同一個點的各個角的和恰好等于的和恰好等于360360度度123想一想想一想（1） 正三角形的平面密鋪正三角形的平面密鋪606060606060（2） 正方形的平面密鋪正方形的平面密鋪909090 90（3） 正六邊形的平面密鋪正六邊形的平面密鋪120 120 120 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五邊形正五邊形正六邊形正六邊形6 64 43 3不能不能6 64 460606060

4、6060909090 90120 120 120 用同一種正多邊形能密鋪地面的有三種用同一種正多邊形能密鋪地面的有三種: :正三角形、正方形、正六邊形正三角形、正方形、正六邊形還能找到能密鋪的其他正多邊形嗎？還能找到能密鋪的其他正多邊形嗎？ 要用正多邊形鑲嵌成一個平面的關鍵是看：要用正多邊形鑲嵌成一個平面的關鍵是看：這種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否是這種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否是360，在正多邊形里，正三角形的每個在正多邊形里，正三角形的每個內(nèi)角都是內(nèi)角都是60，正四邊形的每個內(nèi)角都是，正四邊形的每個內(nèi)角都是90，正六邊形的每個內(nèi)角都是，正六邊形的每個內(nèi)角都是120，這三種多邊形的一個內(nèi)角

5、的倍數(shù)都是這三種多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)都是360，而其他的正多邊形的每個內(nèi)角的，而其他的正多邊形的每個內(nèi)角的倍數(shù)都不是倍數(shù)都不是360，所以說：，所以說：在正多邊形在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以密鋪，而其他的正多邊形不可密鋪以密鋪，而其他的正多邊形不可密鋪 解得解得僅用一個正多邊形進行鑲嵌，要嵌成一個平面，僅用一個正多邊形進行鑲嵌，要嵌成一個平面，必須要求必須要求在公共頂點上所有內(nèi)角和為在公共頂點上所有內(nèi)角和為360360度度。(2)180360nmn63mn44mn36mn24222nmnn3,nn m因為且都是正整數(shù)故n只能取3,4,6

6、能單獨鑲嵌平面的正多邊形只有三種：能單獨鑲嵌平面的正多邊形只有三種： 正三角形、正四邊形、正六邊形正三角形、正四邊形、正六邊形令正多邊形的邊數(shù)為令正多邊形的邊數(shù)為n,n,個數(shù)為個數(shù)為m,m,則有則有正多邊形可以鑲嵌的條件：正多邊形可以鑲嵌的條件：每個內(nèi)角都能被每個內(nèi)角都能被360360o o 整除。整除。 小博士的媽媽準備把一些形狀，大小相同的三角小博士的媽媽準備把一些形狀，大小相同的三角形花布丟掉，形花布丟掉，小博士：小博士：媽媽，這些花布很好看，您為什么要丟媽媽，這些花布很好看，您為什么要丟掉呢？掉呢？媽媽：媽媽：小聰，這些布是很漂亮，可是面積太小，小聰，這些布是很漂亮，可是面積太小，做不

7、了什么東西只好丟掉！做不了什么東西只好丟掉！小博士：小博士：別扔，讓我想想辦法，把這些布頭拼成別扔，讓我想想辦法，把這些布頭拼成一塊漂亮的桌布吧一塊漂亮的桌布吧.結論：結論：形狀、大小完全相同的任意三角形能密鋪形狀、大小完全相同的任意三角形能密鋪成平面圖形成平面圖形. .在一個車間的角落里，正堆放著大量的四邊在一個車間的角落里，正堆放著大量的四邊形木塊，這些廢木塊的大小、形狀是一樣的，它形木塊，這些廢木塊的大小、形狀是一樣的，它們既不是正方形，也不是長方形，都是不規(guī)則的們既不是正方形，也不是長方形，都是不規(guī)則的四邊形，如果把它們做成比較規(guī)則的形狀，必須四邊形，如果把它們做成比較規(guī)則的形狀，必須

8、劇掉一些邊角，就要浪費很多木料，有人建議用劇掉一些邊角，就要浪費很多木料，有人建議用這些木料來鋪地板！同學們說說行嗎？這些木料來鋪地板！同學們說說行嗎？結論：結論：形狀、大小相同的任意四邊形能密鋪成形狀、大小相同的任意四邊形能密鋪成平面圖形平面圖形（2 2）用一種）用一種形狀、大小完全相同形狀、大小完全相同的的三角三角形形，四邊形四邊形也能密鋪地面也能密鋪地面（1 1）同）同一種正多邊形一種正多邊形能密鋪地面的有三種能密鋪地面的有三種: : 正三角形、正方形、正六邊形正三角形、正方形、正六邊形結論一：結論一：是不是密鋪只能用一種多邊形呢？用兩種是不是密鋪只能用一種多邊形呢？用兩種正多邊形可以嗎

9、？觀察這些密鋪圖案，總正多邊形可以嗎？觀察這些密鋪圖案，總結一下哪兩種正多邊形可以密鋪？結一下哪兩種正多邊形可以密鋪？二、用兩種正多邊形進行平面鑲嵌二、用兩種正多邊形進行平面鑲嵌1、正三角形與正方形、正三角形與正方形設在一個頂點周圍有設在一個頂點周圍有m個正三角形的角，個正三角形的角，n個正個正方形的角，那么這些角的和應該滿足方程：方形的角，那么這些角的和應該滿足方程：m.60+ n.90= 360即即 2m+ 3n= 12這個方程的正整數(shù)解為這個方程的正整數(shù)解為m=3,n=2則記作（則記作（3，3，3，4，4）3 3個個正三角形正三角形+2+2個個正方形正方形二、用兩種正多邊形進行平面鑲嵌二

10、、用兩種正多邊形進行平面鑲嵌1、正三角形與正六邊形、正三角形與正六邊形設在一個頂點周圍有設在一個頂點周圍有m個正三角形的角，個正三角形的角，n個正個正六邊形的角，那么這些角的和應該滿足方程：六邊形的角，那么這些角的和應該滿足方程：m.60+ n.120= 360即即 m+ 2n= 6這個方程的正整數(shù)解為這個方程的正整數(shù)解為m=4,n=1或者或者m=2,n=21201206060圖案圖案（）（3，3，6，6）2 2個個正三角形正三角形+2+2個個正六邊形正六邊形圖案圖案（）60601206060每個頂點處正六邊形每個頂點處正六邊形1 1個，正三角形個，正三角形4 4個個. .（3，3， 3， 3

11、，6）4 4個個正三角形正三角形+1+1個個正六邊形正六邊形1、如果用正四邊形與正八邊形，如何、如果用正四邊形與正八邊形，如何密鋪密鋪？2、如果用正三角形與、如果用正三角形與正十二邊形，如何正十二邊形，如何密鋪密鋪？正八邊形與正方正八邊形與正方形的平面鑲嵌形的平面鑲嵌正十二邊形與正三角形正十二邊形與正三角形的平面鑲嵌的平面鑲嵌1 1個個正三角形正三角形+2+2個個正十二邊形正十二邊形1 1個個正方形正方形+2+2個個正八邊形正八邊形2 2個個正五邊形正五邊形+1+1個個正十邊形正十邊形正三角形、正方形、正六邊形的鑲嵌正三角形、正方形、正六邊形的鑲嵌用用兩種正多邊形兩種正多邊形進行密鋪時，一般有

12、進行密鋪時，一般有五種組合：五種組合：正三角形和正三角形和正方形正方形正六邊形正六邊形正十二邊形正十二邊形正方形和正八邊形正方形和正八邊形正五邊形和正十邊形正五邊形和正十邊形結論二：結論二：用三種多邊形可以密鋪嗎？看看這些密鋪用三種多邊形可以密鋪嗎？看看這些密鋪的圖案。總結一下，哪三種正多邊形可以的圖案?？偨Y一下，哪三種正多邊形可以密鋪？密鋪？用三種正多邊形進行密鋪時，一般有兩用三種正多邊形進行密鋪時，一般有兩種組合：種組合：正三角形、正方形和正六邊形正三角形、正方形和正六邊形正方形、正六邊形和正十二邊形正方形、正六邊形和正十二邊形結論三：結論三：發(fā)現(xiàn)二發(fā)現(xiàn)二:用一種用一種形狀、大小完全相同的

13、三角形，形狀、大小完全相同的三角形，四邊形四邊形也能進行平面鑲嵌也能進行平面鑲嵌發(fā)現(xiàn)一發(fā)現(xiàn)一:同一種正多邊形進行平面鑲嵌的圖形同一種正多邊形進行平面鑲嵌的圖形只有三種只有三種:正三角形、正方形、正六邊形正三角形、正方形、正六邊形發(fā)現(xiàn)三發(fā)現(xiàn)三:正多邊形鑲嵌的條件：正多邊形鑲嵌的條件：（1）同一頂點的各角度數(shù)和為）同一頂點的各角度數(shù)和為360度；度；（2）各個正多邊形的邊長要相等。）各個正多邊形的邊長要相等。1 1、用同一種多邊形密鋪：、用同一種多邊形密鋪：（1 1）正多邊形：）正多邊形：正三、正四、正六正三、正四、正六（2 2）非正多邊形：）非正多邊形：三角形、四邊形三角形、四邊形2 2、用兩種

14、正多邊形密鋪：、用兩種正多邊形密鋪：正三、正六正三、正六 正三、正四正三、正四正三、正十二正三、正十二 正四、正八正四、正八正五、正十正五、正十3 3、用三種多邊形密鋪：、用三種多邊形密鋪：正三、正四、正六正三、正四、正六或或正四、正六、正十二正四、正六、正十二1 1用邊長相等的正多邊形進行密鋪，下列正多用邊長相等的正多邊形進行密鋪，下列正多邊形能和正八邊形密鋪的是邊形能和正八邊形密鋪的是( )( )(A)(A)正三角形正三角形 (B) (B)正六邊形正六邊形 (C)(C)正五邊形正五邊形 (D) (D)正四邊形正四邊形 2 2下列多邊形的組合中，能夠鋪滿地面的是（下列多邊形的組合中，能夠鋪滿

15、地面的是（ ) )A A 正三角形和正五邊形正三角形和正五邊形 B B 正六邊形和正三角形正六邊形和正三角形 C C 正五邊形和正八邊形正五邊形和正八邊形 D D 正八邊形和正三角形正八邊形和正三角形課堂檢測課堂檢測3 3用若干同樣大小的正三角形能拼成的圖形是用若干同樣大小的正三角形能拼成的圖形是（ ）A A 正八邊形正八邊形 B B 正六邊形正六邊形 C C 正五邊形正五邊形 D D 正方形正方形4 4、下列多邊形一定不能進行密鋪的是（、下列多邊形一定不能進行密鋪的是（ ）A A三角形三角形 B B正方形正方形 C C任意四邊形任意四邊形 D D正八邊形正八邊形5 5、用正方形一種圖形進行密鋪時，在它的一個、用正方形一種圖形進行密鋪時，在它的一個頂點周圍的正方形的個數(shù)是（頂點周圍的正方形的個數(shù)是（ ） A A、 3 B 3 B 、4 C4 C、5 D 5 D 、6 6 6 6、如果只用一種正多邊形進行密鋪，而且在、如果只用一種正多邊形進行密鋪，而且在每一個正多邊形的每一個頂點周圍都有每一個正多邊形的每一個頂點周圍都有6 6個正個正多邊形，則該正多邊形的邊數(shù)為（多邊形，則該正多邊形的邊數(shù)為（ ）A A、3 B