第3章 流體動(dòng)力學(xué)理論基礎(chǔ)

1、tcbazztcbayytcbaxx,n （3-1）ttcbazuttcbayuttcbaxuzyx,222222tzatyatxazyx，拉格朗日法物理概念清晰，但由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)拉格朗日法物理概念清晰，但由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡非常復(fù)雜，應(yīng)用該法描述流動(dòng)，數(shù)學(xué)上存在困難，軌跡非常復(fù)雜，應(yīng)用該法描述流動(dòng)，數(shù)學(xué)上存在困難，而實(shí)用上也無(wú)須知道個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，所以除了而實(shí)用上也無(wú)須知道個(gè)別質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，所以除了少數(shù)情況（如波浪運(yùn)動(dòng)）外，在工程流體力學(xué)中很少少數(shù)情況（如波浪運(yùn)動(dòng)）外，在工程流體力學(xué)中很少采用，采用， 絕大部分流動(dòng)都用歐拉法進(jìn)行描述。絕大部分流動(dòng)都用歐拉法進(jìn)行描述。)(tzyxu

2、uxx、)(tzyxuuyy、)(tzyxuuzz、觀看錄像觀看錄像其中空間坐標(biāo)其中空間坐標(biāo)x、y、z和時(shí)間和時(shí)間t稱為稱為歐拉變量歐拉變量。使用歐拉變量。使用歐拉變量著眼于全場(chǎng)物理量的描述，而不去關(guān)注特定流體質(zhì)點(diǎn)的行為，著眼于全場(chǎng)物理量的描述，而不去關(guān)注特定流體質(zhì)點(diǎn)的行為，被稱為被稱為歐拉觀點(diǎn)歐拉觀點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)處理非常方便，因此歐拉觀點(diǎn)在。由于數(shù)學(xué)處理非常方便，因此歐拉觀點(diǎn)在流體力學(xué)研究中被廣泛使用。流體力學(xué)研究中被廣泛使用。)(tzyxpp、(3-2)同樣同樣（3-3）zuuyuuxuutuaxzxyxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzzu

3、uua)(tn寫成矢量形式：寫成矢量形式：xudtdxyudtdyzudtdz（3-4a）（3-4b）tuuu)(圖 3-10ttptu注意：嚴(yán)格的恒定流只可能發(fā)生在層流，在紊流中，由于注意：嚴(yán)格的恒定流只可能發(fā)生在層流，在紊流中，由于流動(dòng)的無(wú)序，其流速或壓強(qiáng)總有脈動(dòng)，但若取時(shí)間平均流流動(dòng)的無(wú)序，其流速或壓強(qiáng)總有脈動(dòng)，但若取時(shí)間平均流速（時(shí)均流速），若其不隨時(shí)間變化，則認(rèn)為該紊流為恒速（時(shí)均流速），若其不隨時(shí)間變化，則認(rèn)為該紊流為恒定流。定流。 非恒定流：非恒定流：又稱非定常流，是指流場(chǎng)中的流體流動(dòng)空間點(diǎn)上又稱非定常流，是指流場(chǎng)中的流體流動(dòng)空間點(diǎn)上各水力運(yùn)動(dòng)要素中，只要有任何一個(gè)隨時(shí)間的變化而

4、變化的各水力運(yùn)動(dòng)要素中，只要有任何一個(gè)隨時(shí)間的變化而變化的流動(dòng)。流動(dòng)。觀看錄像觀看錄像1 2 3 n二元流：二元流：流體主要表現(xiàn)在兩個(gè)方向的流動(dòng)，而第三個(gè)方向流體主要表現(xiàn)在兩個(gè)方向的流動(dòng)，而第三個(gè)方向的流動(dòng)可忽略不計(jì)，即的流動(dòng)可忽略不計(jì)，即流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是二個(gè)空間坐標(biāo)流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是二個(gè)空間坐標(biāo)（不限于直角坐標(biāo)）函數(shù)（不限于直角坐標(biāo)）函數(shù)。觀看錄像觀看錄像1 觀看錄像觀看錄像2 圖 3-2圖 3-3zyxudzudyudxn 寫成投影形式則為：寫成投影形式則為：kjisdzdydxdkjiuzuuuzyx0usd（3-5a）（3-5b）dtudzudyudxzyx【例例3 1】已知流速

5、場(chǎng)已知流速場(chǎng)ux =kx，uy = - ky , uz = 0，其中，其中y0，k 為常數(shù)，試求為常數(shù)，試求(1)流線方程流線方程; (2) 跡線方程。跡線方程?！窘饨狻繐?jù)據(jù)uz = 0和和y0可知，流體運(yùn)動(dòng)僅限于可知，流體運(yùn)動(dòng)僅限于xoy 的半平面內(nèi)。的半平面內(nèi)。（1）由）由流線微分方程流線微分方程(3 5b) 有有kydykxdx積分上式得積分上式得 xy=C該流線為一族等角雙曲線，如圖該流線為一族等角雙曲線，如圖 3 4 所示。所示。圖 3-4dtkydykxdx積分上式得跡線方程積分上式得跡線方程x=C1ekt，y=C2e-kt改寫上式得改寫上式得 xy=C1 C2ekt e-kt=C

6、1C2=C與流線方程相同，表明恒定流動(dòng)時(shí)流線和跡線在幾何上完與流線方程相同，表明恒定流動(dòng)時(shí)流線和跡線在幾何上完全重合。全重合。思考一下：在一流場(chǎng)中同一時(shí)刻不同思考一下：在一流場(chǎng)中同一時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)組成的曲線是否都是流線？同流體質(zhì)點(diǎn)組成的曲線是否都是流線？同一流體質(zhì)點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的位置連成的曲一流體質(zhì)點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的位置連成的曲線是否是跡線？線是否是跡線？觀看錄像一觀看錄像一 錄像二錄像二 觀看動(dòng)畫觀看動(dòng)畫 否；是否；是n流束：流束：流管內(nèi)所有流線的總和稱為流束流管內(nèi)所有流線的總和稱為流束(圖圖 3 5b)。(圖圖 3 5a)圖3-5圖3-6n流量：流量：?jiǎn)挝粫r(shí)間通過(guò)某一過(guò)流斷面的流體量。有體積流

7、量單位時(shí)間通過(guò)某一過(guò)流斷面的流體量。有體積流量和質(zhì)量流量。和質(zhì)量流量。觀看錄像觀看錄像n元流流量：元流流量：dQ=udA （3-6）n總流流量：總流流量： （3-7）AudAAQAAudAQ 斷面平均流速：斷面平均流速：總流過(guò)流斷面上各點(diǎn)的流速是不相同的，所以總流過(guò)流斷面上各點(diǎn)的流速是不相同的，所以常采用一個(gè)平均值來(lái)代替各點(diǎn)的實(shí)際流速，稱斷面平均流速常采用一個(gè)平均值來(lái)代替各點(diǎn)的實(shí)際流速，稱斷面平均流速v。 （3-8）圖 3-7n觀看錄像觀看錄像n非均勻流：反之。非均勻流：反之。非均勻流中流場(chǎng)中相應(yīng)點(diǎn)的非均勻流中流場(chǎng)中相應(yīng)點(diǎn)的流速大小或方向或同時(shí)二流速大小或方向或同時(shí)二者沿程改變者沿程改變，即沿

8、流程方向速度分布不均。例：流體在收縮管、擴(kuò)散管，即沿流程方向速度分布不均。例：流體在收縮管、擴(kuò)散管或彎管中的流動(dòng)。（非均勻流又可分為急變流和漸變流）或彎管中的流動(dòng)。（非均勻流又可分為急變流和漸變流）n 觀看錄像觀看錄像 漸變流漸變流特征：特征：(1)漸變流過(guò)流斷面近似為平面漸變流過(guò)流斷面近似為平面;(2) 恒定漸變流過(guò)流斷面上流體動(dòng)壓強(qiáng)近似地按靜壓強(qiáng)分布，恒定漸變流過(guò)流斷面上流體動(dòng)壓強(qiáng)近似地按靜壓強(qiáng)分布，即同一過(guò)流斷面上即同一過(guò)流斷面上 觀看錄像觀看錄像1 2急變流特征：急變流特征：流線間夾角很大或曲率半徑較小或二者兼而有之，流線間夾角很大或曲率半徑較小或二者兼而有之，流線是曲線，過(guò)流斷面不是

9、一個(gè)平面。急變流的加速度較大，流線是曲線，過(guò)流斷面不是一個(gè)平面。急變流的加速度較大，因而慣性力不可忽略。因而慣性力不可忽略。 觀看錄像觀看錄像1 2圖 3-8Cpzdxxuuxx21dxx21流速：密度：dxxuuxx21dxx21N點(diǎn)：流速：密度：n所以所以 單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)x方向流出流進(jìn)的質(zhì)量流量差：方向流出流進(jìn)的質(zhì)量流量差：dxdydzxudydzdxxuudxxdydzdxxuudxxmxxxxxx)()21)(21()21)(21(n同理，單位時(shí)間內(nèi)在y ， z 方向流進(jìn)、流出控制體的流體質(zhì)量差分別為：dxdydzyumyy)(dxdydzzumzz)(n因流體是連續(xù)介質(zhì)，根據(jù)質(zhì)

10、量守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)流進(jìn)、流出控制體的流體質(zhì)量差應(yīng)等于控制體內(nèi)流體因密度變化所引起的質(zhì)量增量，即dxdydztmmmzyx0)()()(zuyuxutzyx（3-9a）0)(ut（3-9b）矢量形式：矢量形式： 對(duì)于恒定流：對(duì)于恒定流：（3-10a）0)(u（3-10b）矢量形式：矢量形式：0)()()(zuyuxuzyx0t對(duì)于均質(zhì)不可壓縮流，密度為常數(shù)，則上式可化簡(jiǎn)為對(duì)于均質(zhì)不可壓縮流，密度為常數(shù)，則上式可化簡(jiǎn)為0zuyuxuzyxn物理意義：不可壓縮流體單位時(shí)間內(nèi)流入單位空間的流體物理意義：不可壓縮流體單位時(shí)間內(nèi)流入單位空間的流體體積（質(zhì)量）與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。體積（質(zhì)

11、量）與流出的流體體積（質(zhì)量）之差等于零。0 u（3-11b）矢量形式：矢量形式：（3-11a）【例例3-2】假設(shè)不可壓縮流體的流速場(chǎng)為假設(shè)不可壓縮流體的流速場(chǎng)為ux=f(y,z)，uy=uz=0。試判斷分析該流動(dòng)是否存在？若存在，則屬于何種流動(dòng)？試判斷分析該流動(dòng)是否存在？若存在，則屬于何種流動(dòng)？解解 判斷流動(dòng)是否存在，主要看其是否滿足連續(xù)性微分方程。判斷流動(dòng)是否存在，主要看其是否滿足連續(xù)性微分方程。0zuyuxuzyx0zuyuxuzyx所以：所以：故流動(dòng)存在故流動(dòng)存在因流體的當(dāng)?shù)丶铀俣纫蛄黧w的當(dāng)?shù)丶铀俣?tu，故該流動(dòng)為恒定流，故該流動(dòng)為恒定流因流速因流速u=f(y,z)與與x坐標(biāo)無(wú)關(guān)，故該

12、流動(dòng)為二元流坐標(biāo)無(wú)關(guān)，故該流動(dòng)為二元流因流體的遷移加速度因流體的遷移加速度0)(uu，故該流動(dòng)為均勻流，故該流動(dòng)為均勻流解解 將將axxux2)(ezdxyuy代入代入不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程 ezxadzuz)2(得得積分上式，得積分上式，得uz = (d - 2a )xz + ez2/2 + f(x ,y)式中式中f ( x,y) 是是x 、y 的任意函數(shù)。由題中已知條件有的任意函數(shù)。由題中已知條件有f ( x,y) =0 ， 故坐標(biāo)故坐標(biāo)z 方向的分速度為方向的分速度為uz = (d - 2a )xz + ez2/2 圖3-100)(VVdVdVtu由于控

13、制體不隨時(shí)間變化，上式中第一項(xiàng)可改寫成由于控制體不隨時(shí)間變化，上式中第一項(xiàng)可改寫成VdVt根據(jù)數(shù)學(xué)分析中的高斯（根據(jù)數(shù)學(xué)分析中的高斯（C.F.Gauss）定理，第二項(xiàng)的體積分）定理，第二項(xiàng)的體積分可改寫成面積分，即可改寫成面積分，即 dAudVAnV)( u0dAudVtAnV流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性積分方程的一般形式流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性積分方程的一般形式 :其中其中A為控制體的封閉曲面，為控制體的封閉曲面，un為速度在為速度在dA外表面的投影，外表面的投影，由于流速與流線壁面不相交，只有在過(guò)流斷面上由于流速與流線壁面不相交，只有在過(guò)流斷面上 un0，上式就，上式就可化簡(jiǎn)為：可化簡(jiǎn)為：0dAuAn式中式中

14、A1、A2分別為總流進(jìn)、出口過(guò)流斷面面積。第一項(xiàng)取分別為總流進(jìn)、出口過(guò)流斷面面積。第一項(xiàng)取負(fù)號(hào)是因?yàn)榱魉儇?fù)號(hào)是因?yàn)榱魉賣1與與dA1的外法線方向相反。應(yīng)用積分中值的外法線方向相反。應(yīng)用積分中值定理，可得定理，可得對(duì)于恒定對(duì)于恒定 流流0VdVt不可壓縮不可壓縮(=常數(shù)常數(shù)) 所以有：所以有： 0212211AAdAudAuQAA2211（3-12）圖3-10物理意義：物理意義：對(duì)于不可壓縮流體，斷面平均流速與過(guò)流斷面對(duì)于不可壓縮流體，斷面平均流速與過(guò)流斷面面積成反比，即流線密集的地方流速大面積成反比，即流線密集的地方流速大 ，而流線疏展的地方，而流線疏展的地方流速小。流速小。若沿程有流量流進(jìn)或

15、流出，則總流的連續(xù)性方程在形式上若沿程有流量流進(jìn)或流出，則總流的連續(xù)性方程在形式上需作相應(yīng)的修正。需作相應(yīng)的修正。 231QQQ（3-13）【例例3-3】圖圖3-12為一三通管。已為一三通管。已知流量知流量Q=140L/s，兩支管直徑分，兩支管直徑分別為別為d2=150mm和和d3=200mm，且，且兩者斷面平均流速相等。試求兩兩者斷面平均流速相等。試求兩支管流量支管流量Q2和和Q3。解解 由由式（式（3-13），），得得23322232144ddQQQ因因2=3，故，故smddQ/85. 2)20. 015. 0(414. 310140)(42232322132兩支管流量：兩支管流量：sLQ

16、/3 .5015. 0414. 385. 222Q3=Q1-Q2=140-50.3=89.7 L/sdtduxpfxx1dtduypfyy1dtduzpfzz1（3-14a）dtdpfu1（3-14b）zuuyuuxuutuxpfxzxyxxxx1zuuyuuxuutuypfyzyyyxyy1zuuyuuxuutuzpfzzzyzxzz1（3-15a）uu)(1tupf（3-15b）或或dtduuvxpfxxx21dtduuvypfyyy21dtduuvzpfzzz21uuu)(12tuvpf（3-16a）（3-16b）或或式中，式中，2222222zyx稱為拉普拉斯（稱為拉普拉斯（Lapla

17、ce）算子，）算子，為流體的運(yùn)動(dòng)粘度。為流體的運(yùn)動(dòng)粘度。（1）恒定流，此時(shí)）恒定流，此時(shí)0tptututuzyxdpdzzpdyypdxxp故有故有（2）流體為不可壓縮的，即）流體為不可壓縮的，即= 常數(shù)。常數(shù)。（3）質(zhì)量力有勢(shì)。設(shè)）質(zhì)量力有勢(shì)。設(shè)W 為質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)，由為質(zhì)量力勢(shì)函數(shù)，由式式(2 - 6) 知，對(duì)知，對(duì)于恒定的有勢(shì)質(zhì)量力于恒定的有勢(shì)質(zhì)量力 fxdx + fydy+ fzdz=dW xudtdxyudtdyzudtdzdzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)()2(12udduuduuduudpdWzzyyxx0)2(2u

18、pWd常數(shù)22upW（3-17）常數(shù)22upgz常數(shù)gupz22或或（3-18）對(duì)于同一流線上的任意兩點(diǎn)來(lái)說(shuō)：對(duì)于同一流線上的任意兩點(diǎn)來(lái)說(shuō)：gupzgupz2222222111（3-19）應(yīng)用條件：理想不可壓縮流體；恒定流動(dòng)；只受重力；沿流線。應(yīng)用條件：理想不可壓縮流體；恒定流動(dòng)；只受重力；沿流線。ppz gu22gupz22ppz gu22gupz222222211122whgupzgupz注意：元流列方程，流速是瞬時(shí)流速注意：元流列方程，流速是瞬時(shí)流速u，而不是平均流速，而不是平均流速 hw為由過(guò)流斷面為由過(guò)流斷面11運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到22的機(jī)械能損失，稱為水頭損失的機(jī)械能損失，稱為水頭損失（3

19、-20）圖 3-13dlgupzddldhJw)2(2（3-21）dspzdJp)(3-22)()2(2pzdgupzd)()(AABBppzpzhz1,p1z2,p202BB2AApzgupzpghpzpzgu2)()(2AABB（3-23）考慮到實(shí)際流體黏性作用引起的水頭損失和測(cè)速管對(duì)流動(dòng)的考慮到實(shí)際流體黏性作用引起的水頭損失和測(cè)速管對(duì)流動(dòng)的影響，用式（影響，用式（3-23）計(jì)算）計(jì)算A點(diǎn)流速時(shí)尚需進(jìn)行修正，即點(diǎn)流速時(shí)尚需進(jìn)行修正，即pghu2（3-24）若皮托管采用液體差壓計(jì)量測(cè)測(cè)壓管水頭差若皮托管采用液體差壓計(jì)量測(cè)測(cè)壓管水頭差pphgu)1(2（3-25）dQhdQgupzdQgupz

20、w22222111)2()2(dQ=u1dA1=u2dA2，所以通過(guò)總流兩過(guò)流斷面的總能量之間的關(guān)系：，所以通過(guò)總流兩過(guò)流斷面的總能量之間的關(guān)系：QwAAdQhdAugupzdAugupz22222211211121)2()2(或或QwAAAAdQhdAgudAupzdAgudAupz2322222131111122112)(2)(AudApz)(-單位時(shí)間過(guò)流斷面流體勢(shì)能總和單位時(shí)間過(guò)流斷面流體勢(shì)能總和QpzpzudApzudApzAA)(A)()()(3-27)AdAgu23-單位時(shí)間過(guò)流斷面流體動(dòng)能總和單位時(shí)間過(guò)流斷面流體動(dòng)能總和QgaAgadAguA222233(3-28)AgAgud

21、AvuAQdAa322)(123(3-29)QwdQh-過(guò)流斷面之間機(jī)械能損失過(guò)流斷面之間機(jī)械能損失QhdQhwQw(3-30)whgapzgapz222222221111（3-31）whgvapzHgvapz222222221111（3-32）（3）應(yīng)用恒定總流的伯努利方程解題的幾點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明）應(yīng)用恒定總流的伯努利方程解題的幾點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明 pg22gpz22pz gpzH22dldhdldHJwpzHpdldHJpp水流由等徑斜管的高處水流由等徑斜管的高處A流向低處流向低處B（不考慮水頭損（不考慮水頭損失）。選擇：失）。選擇： 1 pApB； 2 pA=pB；3 pA觀看動(dòng)畫觀看動(dòng)畫注意：無(wú)旋流和有旋流決定于流體質(zhì)點(diǎn)注意：無(wú)旋流和有旋流決定于流體質(zhì)點(diǎn)本身是否旋轉(zhuǎn)，而與是否恒定流或均勻本身是否旋轉(zhuǎn)，而與是否恒定流或均勻流無(wú)關(guān)，也不涉及微團(tuán)的軌跡形狀流無(wú)關(guān)，也不涉及微團(tuán)的軌跡形狀。 0)(21zuyuyzx0)(21xuzuzxy0)(21yuxuxyzzuyuyzxuzuzxyuxuxy觀看錄像觀看錄像