第4章 剛體力學

1、115 ,25,28,29,32,38,43,44P 一一 理解理解描寫剛體定軸轉動的物理量，并掌握角量描寫剛體定軸轉動的物理量，并掌握角量 與線量的關系與線量的關系. 二二 理解理解力矩和轉動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉力矩和轉動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉 動的轉動定理動的轉動定理. 三三 理解理解角動量概念，掌握質點在平面內運動以及角動量概念，掌握質點在平面內運動以及 剛體繞定軸轉動情況下的角動量守恒問題剛體繞定軸轉動情況下的角動量守恒問題. 能運用以上規(guī)律分析和解決包括質點和剛體的簡單能運用以上規(guī)律分析和解決包括質點和剛體的簡單 系統(tǒng)的力學問題系統(tǒng)的力學問題. 四四 理解理解剛體定軸轉動的

2、轉動動能概念，能在有剛體剛體定軸轉動的轉動動能概念，能在有剛體 繞定軸轉動的問題中正確地應用機械能守恒定律繞定軸轉動的問題中正確地應用機械能守恒定律 剛體剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化 的物體的物體 . （任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組） 剛體的運動形式：平動、轉動剛體的運動形式：平動、轉動 . 剛體平動剛體平動 質點運動質點運動 若剛體中所有點的運動若剛體中所有點的運動 軌跡都保持完全相同，或者軌跡都保持完全相同，或者 說剛體內任意兩點間的連線說剛體內任意兩點間的連線 總是平行于它們的初始位置總是

3、平行于它們的初始位置 間的連線間的連線 . 4.1 剛體的基本運動剛體的基本運動 4.1.1 平動平動 4.1.2 轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周 運動運動. 轉動又分定軸轉動和非定軸轉動轉動又分定軸轉動和非定軸轉動 . 剛體的平面運動剛體的平面運動 :剛體上任一質元都在平行于一固剛體上任一質元都在平行于一固 定參考平面的平面內運動定參考平面的平面內運動. 剛體的一般運動剛體的一般運動 質心的平動質心的平動繞質心的轉動繞質心的轉動+ x 一一 剛體轉動的角速度和角加速度剛體轉動的角速度和角加速度 z 參考平面參考平面 )(t )()(ttt 角位移

4、角位移 )(t 角坐標角坐標 約定約定 r 沿逆時針方向轉動沿逆時針方向轉動 r 沿順時針方向轉動沿順時針方向轉動 tt t d d lim 0 角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向 參考軸參考軸 4.2 剛體定軸轉動的描述剛體定軸轉動的描述 角加速度角加速度 t d d 1） 每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面；每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面； 2） 任一質點運動任一質點運動 均相同，但均相同，但 不同；不同； 3） 運動描述僅需一個坐標運動描述僅需一個坐標 . ,a , v 定軸轉動的定軸轉動的特點特點 剛體剛體定軸定軸轉動（一轉動（一 維轉動）的轉動方向可維

5、轉動）的轉動方向可 以用角速度的正負來表以用角速度的正負來表 示示 . 00 在在沖擊沖擊等問題中等問題中 L 常量常量 1 I 2 I 1 r 2 r 100 20 0 例例:如圖所示，兩圓柱體可繞各自的質心水平軸自由轉動，它們如圖所示，兩圓柱體可繞各自的質心水平軸自由轉動，它們 的轉動慣量分別為的轉動慣量分別為 和和 ，半徑分別為半徑分別為 和和 ，初角速度分別為，初角速度分別為 和和 ;現(xiàn)使兩者側面接觸，因現(xiàn)使兩者側面接觸，因 摩擦兩圓柱體最終以相同的線速度轉動，試求：摩擦兩圓柱體最終以相同的線速度轉動，試求： (1)穩(wěn)定后最終兩者的角速度；穩(wěn)定后最終兩者的角速度； (2)在該過程中在該

6、過程中A圓柱對圓柱對B圓柱的沖量矩。圓柱的沖量矩。 1 C 2 C解解 在該過程中，受力分析如圖所示，兩轉軸在該過程中，受力分析如圖所示，兩轉軸 、 12 F 21 F A對對B及及B對對A的摩擦力分別為的摩擦力分別為 和和 1 F 2 F 對圓柱對圓柱A、B間的支持力間的支持力 和和 及兩圓柱體間的正壓力對各自轉軸無力矩及兩圓柱體間的正壓力對各自轉軸無力矩 對對A、B分別應用角動量定理分別應用角動量定理 A： 112110 0 () t rFdtI 1 B： 22122 0 0 t r FdtI 2 2 r 1 r 將將(1 )式兩邊乘上式兩邊乘上, (2)式兩邊乘上式兩邊乘上相加可得相加可

7、得 12 vv 1 12 2 rr 1221 FF 由由 即即 且且 3 4 2 1101 22 ()0r IrI 5 由由(3)、（）兩式，得、（）兩式，得 2 1 20 1 22 1 22 1 I r I rI r 1 1 20 2 22 1 22 1 I rr I rI r 6 7 將將(7)式代人式代人(2)式可得式可得A圓柱對圓柱對B圓柱的沖量矩為圓柱的沖量矩為 1 2 1 20 221 22 1 22 10 t I I rr r Fdt I rI r 有許多現(xiàn)象都可以有許多現(xiàn)象都可以 用角動量守恒來說明用角動量守恒來說明. 自然界中存在多種守恒定律自然界中存在多種守恒定律 2 動量

8、守恒定律動量守恒定律 2能量守恒定律能量守恒定律 2角動量守恒定律角動量守恒定律 2電荷守恒定律電荷守恒定律 2質量守恒定律質量守恒定律 2宇稱守恒定律等宇稱守恒定律等 花樣滑冰花樣滑冰 跳水運動員跳水跳水運動員跳水 高臺跳水 角動量守恒的另一類現(xiàn)象 角動量守恒的另一類現(xiàn)象 變小則變大，乘積保持不變，變大則 變小。 收臂 大 小 用外力矩用外力矩 啟動轉盤后啟動轉盤后 撤除外力矩撤除外力矩 張臂 大 小 花樣滑冰中常見的例子 角動量守恒的另一類現(xiàn)象 變小則變大，乘積保持不變，變大則 變小。 收臂 大 小 用外力矩用外力矩 啟動轉盤后啟動轉盤后 撤除外力矩撤除外力矩 張臂 大 小 花 樣 滑 冰

9、 收臂 大 小 張臂 大 小 先使自己 轉動起來 收臂 大 小 共軸系統(tǒng)的角動量守恒 共軸系統(tǒng)若外則恒矢量 輪、轉臺與人系統(tǒng) 輪 人臺 初態(tài)全靜 初 人沿某一轉 向撥動輪子 輪 末態(tài) 人臺 輪輪 末 人臺人臺 初 得 人臺人臺 輪輪 導致人臺導致人臺 反向轉動反向轉動 轉動與碰撞 續(xù)上 例例 質量很小長度為質量很小長度為l 的均勻細桿的均勻細桿,可繞過其中心可繞過其中心 O并并 與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動.當細桿靜止于水平位當細桿靜止于水平位 置時置時, 有一只小蟲以速率有一只小蟲以速率 垂直落在距點垂直落在距點O為 l/4 處處, 并背并背 離點離點O 向細

10、桿的端點向細桿的端點A 爬行爬行.設小蟲與細桿的質量均為設小蟲與細桿的質量均為m. 問問:欲使細桿以恒定的角速度轉動欲使細桿以恒定的角速度轉動, 小蟲應以多大速率向小蟲應以多大速率向 細桿端點爬行細桿端點爬行? 0 v 22 0 ) 4 ( 12 1 4 l mml l mv l 0 7 12 v 解解 小蟲與細桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞小蟲與細桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞 前后系統(tǒng)角動量守恒前后系統(tǒng)角動量守恒 l 0 7 12 v 由角動量定理由角動量定理 dd()dI ddd LI M ttt t r mrmrml t mgr d d 2) 12 1 ( d d cos 22 即

11、即 考慮到考慮到 t ) 7 12 cos( 24 7 cos 2d d 0 0 t l t g t rv v lg 例例 一雜技演員一雜技演員 M 由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為 h 處自由下落處自由下落 到蹺板的一端到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員并把蹺板另一端的演員N 彈了起來彈了起來.設蹺設蹺 板是勻質的板是勻質的,長度為長度為l,質量為質量為 ,蹺板可繞中部支撐點蹺板可繞中部支撐點C 在在 豎直平面內轉動豎直平面內轉動,演員的質量均為演員的質量均為m.假定演員假定演員M落在蹺板落在蹺板 上上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員問演員N可彈起多高可彈

12、起多高? l l/2 CA B M N h 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A點的速度點的速度 21 M )2( ghv 碰撞后的瞬間碰撞后的瞬間, M、 N具有相同的線速度具有相同的線速度 2 l u m 把把M、N和蹺板作為和蹺板作為 一個系統(tǒng)一個系統(tǒng), 角動量守恒角動量守恒 21 M )(2gh v 2 l u 22 M 11 2 22122 ll mImum lmlv lmm ghm mllm lm )6( )2(6 212 2 21 22 M v 解得解得 演員演員 N 以以 u 起起 跳跳, 達到的高度達到的高度 h mm m g l g u h 2 222 ) 6 3 ( 82

13、 l l/2 CA B M N h . 力矩的功力矩的功 力的空間累積效應力的空間累積效應 力的功力的功,動能動能,動能定理動能定理. 力矩的空間累積效應力矩的空間累積效應 力矩的功力矩的功,轉動動能轉動動能,動能定理動能定理. .剛體定軸轉動動能定理剛體定軸轉動動能定理 力力 的元功的元功 力矩的功 力對轉動剛體所作的功用力矩的功來計算力對轉動剛體所作的功用力矩的功來計算 若在某變力矩若在某變力矩 的作用下，剛體由的作用下，剛體由 轉到轉到 作的總功為作的總功為 力矩的瞬時功率力矩的瞬時功率 如果剛體同時受到幾個外力的作用，則各外力矩對剛體所如果剛體同時受到幾個外力的作用，則各外力矩對剛體所

14、 做的總功為做的總功為 0 WMd 外 i i MM 式中式中 力矩的功算例 撥動圓盤轉一周，摩擦阻力矩的功的大小 總摩擦力矩 是 各微環(huán)帶摩擦元力矩 的積分 環(huán)帶面積 環(huán)帶質量 環(huán)帶受摩擦力 環(huán)帶受摩擦力矩 圓盤受總摩擦力矩 轉一周摩擦力矩的總功 得 粗 糙 水 平 面 轉軸 平放一圓盤 2 1 22 21 11 d 22 WMII . 轉動動能轉動動能 2 2 1 ii i k mEv .剛體繞定軸轉動的動能定理剛體繞定軸轉動的動能定理 2 1 d MW 合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體 轉動動能的增量轉動動能的增量 . 222 11 (

15、) 22 ii i mRI 22 11 d dd d II t 剛體的機械能剛體的機械能KPEEE 剛體重力勢能剛體重力勢能 2 1 2 C EImgh pii Emgh i i C mh mgmgh m 剛體的剛體的 機械能機械能 質心的勢能質心的勢能 剛體的機械能守恒剛體的機械能守恒 對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機械能守恒定律仍成立對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機械能守恒定律仍成立 c h 0 P E C i m i h 機械能守恒與轉換定律機械能守恒與轉換定律 守恒與轉換條件 1122 kpkp EEEE 恒量 功能原理（剛體+地球為系統(tǒng)） () kp WWEE 外力矩非 0WW 外力

16、矩非 從從而而 k WWWE 外力矩非保守力矩 O 例例 如圖所示，一圓輪可繞過其中心如圖所示，一圓輪可繞過其中心的水平軸自由轉動的水平軸自由轉動 達到最低位時，輪軸所受的支撐力達到最低位時，輪軸所受的支撐力N是多少是多少? m ，輪的邊緣處鑲有一與輪等質量的小球。在，輪的邊緣處鑲有一與輪等質量的小球。在輪的質量為輪的質量為 1 初始時刻輪處于靜止，小球處的半徑與豎直向上的方向成初始時刻輪處于靜止，小球處的半徑與豎直向上的方向成 角。求釋放后，圓輪角速度角。求釋放后，圓輪角速度的大小如何變化的大小如何變化? 當小球達當小球達 1 1 sin(coscos )WmgRdmgR 解解 如圖建立坐標

17、系，如圖建立坐標系，X軸沿水平方向，軸沿水平方向，Y軸沿豎直方向，軸沿豎直方向，Z軸軸 沿轉動軸垂直紙面向外。重力矩對輪球系統(tǒng)作的功為：沿轉動軸垂直紙面向外。重力矩對輪球系統(tǒng)作的功為： 22 1 1 ()0(coscos ) 2 WImRmgR 2 1 , 2 IImR式中： 為輪的轉動慣量，所以有 1 4 (coscos ) 3 g R 根據(jù)定軸轉動動能定理，重力矩所作的功等于根據(jù)定軸轉動動能定理，重力矩所作的功等于 輪球系統(tǒng)轉動輪球系統(tǒng)轉動動能的增量，即動能的增量，即 1 42 sinsin 233 dgdg dtRdtR 2 1 4 (coscos ) 3 cncc g arr R 2

18、sin 3 ctcc g arr R 1 2 (cos1) 3 cn g a 0 ct a 系統(tǒng)質心加速度的法向分量及切向分量分別為系統(tǒng)質心加速度的法向分量及切向分量分別為 , 2 c R r 當小球運動到最低位時當小球運動到最低位時 質心加速度為：質心加速度為： 0 x N 22 ycn Nmgma 1 25 222( cos) 33 ycn Nmgmamg 1 25 2(cos) 33 mg因此，得出輪軸受力大小為因此，得出輪軸受力大小為 1 25 (cos)0 33 而且而且 表明輪軸所受支撐力的方向向上。表明輪軸所受支撐力的方向向上。 由質心運動定理可知由質心運動定理可知, 在小球處于

19、最低位時，輪軸所受支撐力在小球處于最低位時，輪軸所受支撐力 N滿足下面的條件：滿足下面的條件： 動能定理例題三 段，外力矩作正功 段，外力矩作負功 合外力矩的功 從水平擺至垂直 由 得 轉軸對質心軸的位移 代入得 擺至垂直位置時桿的 水平位置靜止釋放 例例 一長為一長為 l , 質量為質量為 的竿可繞支點的竿可繞支點O自由自由 轉動轉動 . 一質量為一質量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內距支的子彈射入竿內距支 點為點為 處，使竿的偏轉角為處，使竿的偏轉角為30 . 問子彈的初速率為問子彈的初速率為 多少多少 ? v a m m 解解 把子彈和竿看作一個系統(tǒng)把子彈和竿看作一個系統(tǒng) . 子彈射

20、入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒 ) 3 1 ( 22 malmamv o a m v 30 22 3 3 malm am v o a m v 30 mamalmmalmg6)3)(2)(32( 22 v 222 ) 3 1 ( 2 1 malm )30cos1 ( 2 l gm)30cos1 (mga 射入竿后，以子彈、細桿和射入竿后，以子彈、細桿和 地球為系統(tǒng)地球為系統(tǒng) ，機械能守恒，機械能守恒 . 22 3 3 malm am v 4.6.1 剛體平面平行運動的描述 1.基面與基點基面與基點 基面基面:選擇一個平行于參考平面的平面 特征特征:剛體內垂直于參考平面的直

21、線上的各質元的運 動狀態(tài)完全相同。 基點基點：在基面上選擇一個點 2.研究方法 剛體的平面平行運動可分解為平動和定軸轉動剛體的平面平行運動可分解為平動和定軸轉動 ()AB( )A B剛體由1運動到2的過程可看作是: 2 A j B2 剛體自位置剛體自位置1 1隨基點隨基點平動到位置平動到位置，然后再令剛體繞過基點，然后再令剛體繞過基點 B B j 的軸轉動的軸轉動達到位置達到位置2; 2; 或者，剛體自位置或者，剛體自位置1 1隨基點隨基點A A平動至平動至 , , 然后再令剛體繞過基點然后再令剛體繞過基點位置位置 A 的軸轉動的軸轉動達到位置達到位置2 2 AB jj 但是在同樣的時間內剛體

22、平動的距離并不相同 在這兩種過程中，剛體所轉過的 角度是相同的，即 平動速度依賴于基點的選擇，而轉動角速度平動速度依賴于基點的選擇，而轉動角速度與基點的選擇無關與基點的選擇無關 4.6.2 轉動瞬心 純滾動 1.轉動瞬心 選定基點A點后，基面上任一質元B的運動速度可寫為 BA BA vvR 在任一時刻, 基面上恒有一點的速度為零, 這點叫做轉動瞬心轉動瞬心。 即剛體上任意質元在該瞬時的運動僅僅是繞瞬心的轉動 BABARRR 是從A指向B的位矢, BAR 轉動的速度 是B點繞A點 (2).判別式 , ccc xRvRaR 111 ; PcPcc rrrvvvvr 0 2 BcB AcAc vvR

23、 vvRv P r 1 r c r P v c P x y o 1 v c v 2.純滾動 (1).基面上任一質元P的速度 接觸點B就是瞬心 (選定基點A點為圓柱體的質心C) 1.隨質心軸的平動遵從質心運動定理隨質心軸的平動遵從質心運動定理 2.隨質心軸的轉動遵從轉動定律隨質心軸的轉動遵從轉動定律 圓柱體的滾動規(guī)律可由上述兩個基本方程聯(lián)立求解。圓柱體的滾動規(guī)律可由上述兩個基本方程聯(lián)立求解。 ic Fma cc MI 4.6.4 功能原理 22 11 , 22 ccp WWEEmvIE 非外 式中 4.6.3 剛體平面平行運動的動力學方程 例4.14 設半徑為R,質量為m的均勻圓 柱體,沿著傾角

24、為 的斜面無滑動的滾下， 方法1: 用動力學方程討論解: 試求圓柱體質心的加速度。 1 .2 ., ; 3 . 4 .sin cos0 , c cc mN mg f Rf oxy mgfma Nmg fRIaR 2 sin 3 c ag x y o f gm N c x sin c x 0 0 c v A 0 0 方法2: 用功能原理討論 22 3 .,0 11 4 .0(sin) 22 c p cccc oxyEx Emg xE xmvI 令 22 2 11 sin 22 4 sin 3 cccc cc mg xmvIvR vgx 可得取微分整理有 1 . 2 .,0. m NfE 地球 不

25、做功做功之總和為守恒 2 sin 3 c ag 的物理意義； ,0 , , cfc vRdWf Rvdt 純滾動時 前項：摩擦力矩對轉動作正功 轉動動能 后項：摩擦力對平動作負功 使平動動能 ddd ddd d fAA crrc c Wfrf vt fvvtfvtfvt fRvt x y o f gm N c x sin c x 0 0 c v A 0 0 結果：把一部分平動動能轉換為轉動動能 在受力點A的位移元 上, 的元功為 d A r f 0 f W 總和為零 例例 一質量為一質量為m、半徑為、半徑為R的勻質圓柱，在水平外力的勻質圓柱，在水平外力F作用下作用下 l，求質心的加速度和圓柱所

26、受的靜摩擦力，求質心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力 在粗糙的水平面上作純滾動，力的作用線與圓柱中心軸線的垂在粗糙的水平面上作純滾動，力的作用線與圓柱中心軸線的垂 直距離為直距離為 c Ffma c FlfRI 解解 設靜摩擦力設靜摩擦力f的方向如圖所示，則由的方向如圖所示，則由 質心運動方程質心運動方程(在水平方向在水平方向) 及圓柱對質心及圓柱對質心 的轉動定律的轉動定律,可得：可得： 并考慮純滾動的條件并考慮純滾動的條件 c aR 2 () 3 c F lR a mR 2 3 Rl fF R 2 1 2 c ImR以及以及，可解得，可解得 討論：討論： ,0 2 R lf靜摩擦力向后靜摩擦力

27、向后 ,0 2 R lf 靜摩擦力向前靜摩擦力向前,0 2 R lf 2 2 1 mR 例例. .一繩繞在一個質量為一繩繞在一個質量為 m，半徑為，半徑為 R的圓柱體上，現(xiàn)將繩鉛直的圓柱體上，現(xiàn)將繩鉛直 地向上拉，以使自圓柱體放開時其質心不致下落地向上拉，以使自圓柱體放開時其質心不致下落(圓柱體繞通過圓柱體繞通過 C的豎直軸的轉動慣量為的豎直軸的轉動慣量為 )，試問： (1) 繩中張力為多大繩中張力為多大? （2）當圓柱體達到角速度為）當圓柱體達到角速度為 時，張力對圓柱體做了多少功？時，張力對圓柱體做了多少功？ (3) 在此時間內，共放開的繩子長度為多少？在此時間內，共放開的繩子長度為多少？ mg c mamgT 0 c a mgT 解：（1）設繩的張力為T ，對于圓柱體受到張力T和重力 作用，根據(jù)質心運動定理有 依題意 0 0 222 11 24 T WImR （2）設t=0時，t時，圓柱體的角速度為 由于圓柱體所受重力的力矩為零，根據(jù)轉動動能定理， 張力作功為 T WTRmgR 2 4 T WR Rmgg R （3）設圓柱體總共轉過的角度為，則繩子長度為 ，由張力作功可得 22 4 R LR