線性約束問題研究與例題分析

1、線性約束問題研究與例題分析線性約束問題研究與例題分析 主講人：江先麗主講人：江先麗 組員：韋小娜組員：韋小娜 韋小云韋小云 韋景育韋景育 黃保電黃保電 譚期勤譚期勤 受約束回歸受約束回歸 在建立回歸模型時(shí)，有時(shí)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論 需對(duì)模型中變量的參數(shù)施加一定的約束條件。 如： 0階齊次性階齊次性 條件的消費(fèi)需求函數(shù) 1階齊次性階齊次性 條件的C-D生產(chǎn)函數(shù) P92 模型施加約束條件后進(jìn)行回歸模型施加約束條件后進(jìn)行回歸，稱為受約束受約束 回歸回歸（restricted regression）; 不加任何約束的回歸稱不加任何約束的回歸稱為無約束回歸無約束回歸 （unrestricted regressi

2、on）。）。 受約束回歸受約束回歸 一、模型參數(shù)的線性約束一、模型參數(shù)的線性約束 二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量 三、非線性約束三、非線性約束 一、模型參數(shù)的線性約束一、模型參數(shù)的線性約束 對(duì)模型 kk XXXY 22110 施加約束 1 21 kk 1 得 * 11121110 )1 ( kkkk XXXXY 或 * 1133 * 110 * kk XXXY (1) (2) 如果運(yùn)用普通最小二乘法得到對(duì)參數(shù)的估計(jì)結(jié)果 1310 , , , k 則由上述約束條件可得： 12 1 1 kk 然而，對(duì)所考查的具體問題能否施加約束能否施加約束？ 需進(jìn)一步進(jìn)行相應(yīng)的檢

3、驗(yàn)。常用的檢驗(yàn)有常用的檢驗(yàn)有： F檢驗(yàn)、x2檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)， 這里主要介紹主要介紹F檢驗(yàn)檢驗(yàn) 在同一樣本下，記無約束無約束樣本回歸模型的矩陣式為 eXY 受約束受約束樣本回歸模型為 * eXY 于是，受約束樣本回歸模型的殘差項(xiàng)可寫為 )X(eXeXXYe * 得到受約束得到受約束樣本回歸模型的殘差平方和殘差平方和RSSR )X(X)(eeee * 式中第二項(xiàng)于是一個(gè)非負(fù)標(biāo)量，于是有 eeee * ee為無約束無約束樣本回歸模型的殘差平方殘差平方和RSSU (1) 受約束受約束與無約束無約束模型都有相同的被解釋變量相同的被解釋變量 與樣本，于是總離差和與樣本，于是總離差和TSS也相同也相同 由（1

4、）式 RSSR RSSU 從而 ESSR ESSU 這意味著這意味著，通常情況下，對(duì)模型施加約束通常情況下，對(duì)模型施加約束 條件會(huì)降低模型的解釋能力條件會(huì)降低模型的解釋能力。 但是但是，如果如果約束條件約束條件為為真真，則，則受約束受約束回歸回歸 模型與模型與無約束無約束回歸模型具有相同的解釋能力回歸模型具有相同的解釋能力， 從而使RSSR 與 RSSU的差異變小。 可用可用RSSR - RSSU的大小來檢驗(yàn)約束的真實(shí)性的大小來檢驗(yàn)約束的真實(shí)性 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)： ) 1(/ 22 UU knRSS ) 1(/ 22 RR knRSS )(/ )( 22 RUUR kkRSSRSS 于是：

5、 ) 1,( ) 1/( )/()( URU UU RUUR knkkF knRSS kkRSSRSS F 討論：討論： 如果約束條件無效，則 RSSR 與 RSSU的差異較 大，計(jì)算的F值也較大。 于是，可用計(jì)算的F統(tǒng)計(jì)量的值與所給定的顯著 性水平下的臨界值作比較，對(duì)約束條件的真實(shí)性進(jìn) 行檢驗(yàn)。 注意，kU - kR恰為約束條件的個(gè)數(shù)。 例例P P9494、P P8383 中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi) 需求實(shí)例中需求實(shí)例中，無約束回歸模型（3.5.18）式中 RSSU=0.017748，kU=3。受約束回歸模型（3.5.19） 式RSSR=0.017787，KR=

6、2。約束條件個(gè)數(shù)kU - kR=3- 2=1。樣本n=22，于是由 取=0.05，查得臨界值臨界值F0.05(1,18)=4.41 判斷：不能拒絕中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人不能拒絕中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人 均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)。 ) 1,( ) 1/( )/()( URU UU RUUR knkkF knRSS kkRSSRSS F 0395.0 18/017787.0 1/)017748.0017787.0( F 這里的這里的F F檢驗(yàn)適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)檢驗(yàn)適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗(yàn) 如：多元回歸中對(duì)方程總體線性性方程總體線性

7、性的F檢驗(yàn)： H0： j=0 j=1,2,k 這里：受約束回歸模型為 *0 Y ) 1/( / ) 1/( / )( ) 1/( / )( ) 1/( )/()( knRSS kESS knRSS kRSSTSS knRSS kRSSESSTSS knRSS kkRSSRSS F U U U U U UR UU RUUR 這里，運(yùn)用了ESSR 0。 二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量 考慮如下兩個(gè)回歸模型 kk XXY 110 qkqkkkkk XXXXY 11110 (1) (2) (1)式可看成是（2）式的受約束回歸：受約束回歸： H0： 0 21 qkkk

8、相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為： )1(,( )1(/( / )( )1(/( / )( qknqF qknRSS qESSESS qknRSS qRSSRSS F U RU U UR 如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1, , Xk+q 對(duì)沒有解釋能力，則統(tǒng)計(jì)量較??； 否則，約束條件為假，意味著額外的變量對(duì) 有較強(qiáng)的解釋能力，則統(tǒng)計(jì)量較大。 因此，可通過F的計(jì)算值計(jì)算值與臨界值臨界值的比較，來判 斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。 討論：討論： 統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式 )1(/()1 ( / )( 2 22 qknR qRR F U RU 三、三、非線性約束非線性約束 也可對(duì)模型參數(shù)施加非線性約束非線性約束,如對(duì)模型 kk XXXY 22110 施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型受約束回歸模型: * 2 1 110 1 kk XXXY 該 模 型 必 需 采 用 非 線 性 最 小 二 乘 法非