相平面法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 相平面法相平面法 2 設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程來(lái)描述： 0),(),( 01 2 2 x dt dx xa dt dx dt dx xa dt xd ),(xxfx ),( 21 2 2 1 xxf dt dx x dt dx 2 21 1 2 ),( x xxf dx dx 令x = x1， dx/dt = x2 以x1為自變量，以x2為因變量的一階微分方程。二階系統(tǒng)常微分方程方程的解既可用x與t的關(guān)系來(lái)表示，也可用x2與x1的關(guān)系來(lái)表示。實(shí)際上，看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，則x1(t)代表質(zhì)點(diǎn)的位置，x2(t)代表質(zhì)點(diǎn)的速度。 第1頁(yè)/共24頁(yè) 3 用x1、x2描述二階系統(tǒng)

2、常微分方程方程的解，也就是用質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)來(lái)表示該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 在物理學(xué)中，狀態(tài)又稱為相。 把由x1x2所組成的平面坐標(biāo)系稱為相平面，系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)則對(duì)應(yīng)于相平面上的一個(gè)點(diǎn)。 當(dāng)t變化時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)在相平面上移動(dòng)的軌跡稱為相軌跡。x x 0 t1 t2 t3 t4 x 0 t t1 t2 t4 t3 (x, x0) 第2頁(yè)/共24頁(yè) 4 而與不同初始狀態(tài)對(duì)應(yīng)的一簇相軌跡所組成的圖叫做相平面圖。 利用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法稱為相平面法。 第3頁(yè)/共24頁(yè) 5 例7-5 二階線性系統(tǒng)當(dāng) = 0時(shí)的微分方程式為 0 2 xx n x x dx xd n 2 2 2 2 2 A x x n 對(duì)上式積分，

3、便得相軌跡方程 繪制相平面圖。 解： 2 0 22 0 /xxA n x x 0 x t0 第4頁(yè)/共24頁(yè) 6 2. 圖解法 目前比較常用的圖解法有兩種：等傾線法和 法。下面介紹等傾線法。等傾線法的基本思想是采用直線近似。如果我們能用簡(jiǎn)便的方法確定出相平面中任意一點(diǎn)相軌跡的斜率，則該點(diǎn)附近的相軌跡便可用過(guò)這點(diǎn)的相軌跡切線來(lái)近似。 設(shè)系統(tǒng)的微分方程式為 式中dx/dx表示相平面上相軌跡的斜率。若取斜率為常數(shù)，則上式可改寫成 x xxf dx xd ),( x xxf ) ,( -等傾線方程 第5頁(yè)/共24頁(yè) 7 對(duì)于相平面上滿足上式的各點(diǎn)，經(jīng)過(guò)它們的相軌跡的斜率都等于a。若將這些具有相同斜率的

4、點(diǎn)連成一線，則此線稱為相軌跡的等傾線。給定不同的a值，則可在相平面上畫出相應(yīng)的等傾線。 x xxf ) ,( 第6頁(yè)/共24頁(yè) 8 利用等傾線法繪制相軌跡的一般步驟是： (1) 先求系統(tǒng)的等傾線方程； (2) 根據(jù)等傾線方程在相平面上畫出等傾線分布圖；在等傾線上各點(diǎn)處作斜率為a的短直線，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場(chǎng)。 (3) 利用等傾線分布圖繪制相軌跡。即從由初始條件確定的點(diǎn)出發(fā)，近似地用直線段畫出到相鄰一條等傾線之間的相軌跡。該直線段的斜率為相鄰兩條等傾線斜率的平均值。這條直線段與相鄰等傾線的交點(diǎn)，就是畫下一段相軌跡的起始點(diǎn)。如此繼續(xù)做下去，即可繪出整個(gè)相軌跡曲線。 第7頁(yè)/共24頁(yè) 9 例7-

5、6 二階線性系統(tǒng)的微分方程式為 試用等傾線法繪制其相軌跡。 02 2 xxx nn xxxxfx nn 2 2),( x xx nn 2 2 n n x x 2 2 故等傾線方程為 解：由微分方程式可得 或 等傾線是過(guò)相平面原點(diǎn)的一些直線。當(dāng) = 0.5、n = 1時(shí)的等傾線分布圖 : 第8頁(yè)/共24頁(yè) 10 假設(shè)由初始條件確定的點(diǎn)為圖中的A點(diǎn)。則過(guò)A點(diǎn)作斜率為 (1) + (1.2) / 2 = 1.1的直線，與a = 1.2的等傾線交于B點(diǎn)。再過(guò) B點(diǎn)作斜率為的 (1.2 ) + (1.4) / 2 = 1.3 直線，與a = 1.4的 等傾線交于C點(diǎn)。如此依次作出各等傾線間的相軌跡線段，

6、最后 即得系統(tǒng)近似的相軌跡。 n n x x 2 2 = 1/(a +1) x x a= 1，k = a= 2，k = 1 a= 3，k = 1/2 a= 1 2 3 1.2 1.4 6 2 1 0 0.4 0.8 A B C 第9頁(yè)/共24頁(yè) 11 1）橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)軸應(yīng)選相同的比例尺，以便于根據(jù)等傾線斜率準(zhǔn)確繪制等傾線上一點(diǎn)的相軌跡切線； 2）在相平面的上半平面，由于x 0，則x隨t增大而增加，相軌跡的走向應(yīng)是由左向右；在相平面的下半平面，由于x 0時(shí)，相軌跡沿該直線收斂于原點(diǎn)；當(dāng)T 0時(shí)，上述微分方程又可以表示為 x cxxb dx xd 第14頁(yè)/共24頁(yè) 16 其中k為等傾線的斜率。

7、當(dāng)b2 4c 0，且c 0時(shí)，可得滿足k = a的兩條特殊的等傾線，其斜率為 令 ，可得等傾線方程為 a x cxxb kxx ba c x 2 4 2 2, 12, 12, 1 cbb sak 該式表明，特殊的等傾線的斜率等于該等傾線上相軌跡任一點(diǎn)的切線斜率，即當(dāng)相軌跡運(yùn)動(dòng)至特殊的等傾線上時(shí)，將沿著等傾線收斂或發(fā)散，而不可能脫離該等傾線。 第15頁(yè)/共24頁(yè) 17 1）c 0，s2 0，系統(tǒng)相平面圖： 由圖可見，圖中兩條特殊的等傾線是相軌跡，也是其它相軌跡的漸近線，此外作為相平面的分隔線，還將相平面劃分為四個(gè)具有不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的區(qū)域。因此，c 0時(shí)，相軌跡收斂并最終停止在軸上；當(dāng)b 0。并分以

8、下幾種情況加以討論： 0 1。系統(tǒng)特征根為兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為單調(diào)形式，存在兩條特殊的等傾線，其斜率分別為 1 2 1 nn s 1 2 2 nn s 當(dāng)初始點(diǎn)落在 = s1x或 = s2x直線上時(shí)，相軌跡沿著該直線趨于原點(diǎn)； 除此之外，相軌跡最終沿著 = s1x的方向收斂至原點(diǎn)。 x x x x x 0 x= s2x x= s1x 第19頁(yè)/共24頁(yè) 21 = 1。系統(tǒng)特征根為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根。與 1相比，相軌跡的漸近線即特殊等傾線蛻化為一條，不同初始條件的相軌跡歸結(jié)將沿著這條特殊的等傾線趨于原點(diǎn)，系統(tǒng)相平面圖: x x 0 第20頁(yè)/共24頁(yè) 22 = 0。系統(tǒng)特征根為一對(duì)純虛根。系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)為等幅正弦振蕩。給定初始點(diǎn)，系統(tǒng)的相平面圖為圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)的一簇橢圓（參閱例7-1），系統(tǒng)相平面圖: x x 0 第21頁(yè)/共24頁(yè) 23 1 0。系統(tǒng)特征根為一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根。系