量子力學(xué)中普適動(dòng)量算符的定義與表象變換的等價(jià)性

1、量子力學(xué)普適動(dòng)量算符的定義與動(dòng)量表象變換的等價(jià)性梅 曉 春 俞 平（福州原創(chuàng)物理研究所）內(nèi)容摘要 量子力學(xué)中曲線坐標(biāo)系動(dòng)量算符的定義，和Einstein-Pauli-Yukawa動(dòng)量徉謬是至今未能徹底解決的量個(gè)基本問題。它涉及現(xiàn)有量子力學(xué)動(dòng)量算符定義的合理性和坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象對物理過程描述的等價(jià)性問題。本文證明將現(xiàn)有量子力學(xué)動(dòng)量算符作用于坐標(biāo)空間非本征態(tài)波函數(shù)，得到的結(jié)果（稱為“非本征值”）一般是復(fù)數(shù)，對非本征態(tài)波函數(shù)的平均值也是復(fù)數(shù)。在這種情況下，動(dòng)量算符就不是厄密算符。采用動(dòng)能算符和動(dòng)量算符計(jì)算微觀粒子的動(dòng)能，得到的結(jié)果一般也是不一樣的，說明量子力學(xué)動(dòng)能算符與動(dòng)量算符的定義存在不一致性，

2、但現(xiàn)有理論未能提供合理解釋。另外坐標(biāo)表象中動(dòng)量算符對非本征態(tài)波函數(shù)的平均值是復(fù)數(shù)，變換到動(dòng)量表象平均值變成實(shí)數(shù)。坐標(biāo)表象中坐標(biāo)算符的平均值是實(shí)數(shù)，變換到動(dòng)量表象后卻變成復(fù)數(shù)。然而按照量子力學(xué)的基本原則，表象變換不應(yīng)當(dāng)改變算符的平均值。這種問題在量子力學(xué)中具有普遍性，其他算符如角動(dòng)量算符等，也存在類似的問題。事實(shí)上只有算符對一般波函數(shù)的作用結(jié)果都是實(shí)數(shù)時(shí)（如哈密頓算符），算符對波函數(shù)的平均值才可能是實(shí)數(shù)，不同的表象對物理過程的描述才可能等價(jià)。這些問題涉及到量子力學(xué)基礎(chǔ)的自洽性，意味著現(xiàn)有量子力學(xué)動(dòng)量算符的定義有問題，需要進(jìn)行修正。本文給出量子力學(xué)的普適動(dòng)量算符的定義，在保證動(dòng)能算符不變的前提下，

3、使動(dòng)量算符對一般非本征態(tài)波函數(shù)的非本征值和平均值都是實(shí)數(shù)，從而使動(dòng)量表象和坐標(biāo)表象對物理過程的描述真正能等價(jià)。對于本征態(tài)波函數(shù)，普適的動(dòng)量算符就退化為現(xiàn)有的厄密算符。在此基礎(chǔ)上還能解決曲線坐標(biāo)系中動(dòng)量算符的定義問題，并徹底消除量子力學(xué)的EPY動(dòng)量徉謬問題。關(guān)鍵詞 量子力學(xué)，普適動(dòng)量算符，普適角動(dòng)量算符，厄密算符，自伴算符， EPY動(dòng)量徉謬1. 前言本文證明現(xiàn)有量子力學(xué)動(dòng)量算符的定義存在三個(gè)問題，導(dǎo)致量子力學(xué)的邏輯基礎(chǔ)不自洽。1. 量子力學(xué)中采用厄密算符描述物理量，算符的本征值是一個(gè)實(shí)的常數(shù)，但前提是算符必須作用在本征函數(shù)上。然而量子力學(xué)中經(jīng)常遇到的問題是，波函數(shù)不是算符的本征算符。例如對于動(dòng)量

4、算符，只有自由粒子的波函數(shù)才是它的本征函數(shù)，其他波函數(shù)都不是它的本征函數(shù)。這種情況下將動(dòng)量算符對非本征態(tài)波函數(shù)作用，得到的結(jié)果（稱為非本征值）一般是復(fù)數(shù)，坐標(biāo)空間中動(dòng)量算符對非本征態(tài)波函數(shù)的平均值一般也是復(fù)數(shù)。這樣的結(jié)果顯然是不合理的，在物理上是不能接受的。在非本征值是復(fù)數(shù)的情況下，動(dòng)量算符不再是厄密算符。2. 容易證明對非一般的自由粒子波函數(shù)，采用動(dòng)能算符和動(dòng)量算符計(jì)算微觀粒子的動(dòng)能，得到的結(jié)果一般是不一樣的，說明量子力學(xué)動(dòng)能算符與動(dòng)量算符的定義存在不一致性。事實(shí)上量子力學(xué)中動(dòng)量算符只有對自由粒子波函數(shù)才有效，對于其他非自由粒子這個(gè)定義是無效的，但動(dòng)能算符的定義卻是普遍有效的。這個(gè)不一致性是

5、量子力學(xué)的一個(gè)基本缺陷，但我們至今未能進(jìn)行任何解釋。3. 坐標(biāo)表象中動(dòng)量算符對非本征態(tài)波函數(shù)的平均值是復(fù)數(shù)，變換到動(dòng)量表象平均值變成實(shí)數(shù)。坐標(biāo)表象中坐標(biāo)算符的平均值是實(shí)數(shù)，變換到動(dòng)量表象后卻變成復(fù)數(shù)。在一維情況下波函數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)，坐標(biāo)表象中動(dòng)量算符的平均值為零，但動(dòng)量表象中卻一般不為零。然而按照量子力學(xué)的基本原則，表象變換不應(yīng)當(dāng)改變算符的平均值。以上這些問題說明現(xiàn)有量子力學(xué)的邏輯基礎(chǔ)存在不自洽性，但至今未能受到物理學(xué)界的注意。事實(shí)上在現(xiàn)有量子力學(xué)中，曲線坐標(biāo)系中動(dòng)量算符的形式和Einstein-Pauli-Yukawa動(dòng)量徉謬問題也是兩個(gè)仍為解決的基本問題。它們都與動(dòng)量算符的合理定義有關(guān)，如果這

6、些問題不能得到合理解決，就不能說量子力學(xué)是一個(gè)完善的、邏輯一致的理論。為此本文提出量子力學(xué)普適動(dòng)量算符的定義，以求統(tǒng)一地解決這些問題。在保證動(dòng)能算符不變的情況下，普適動(dòng)量算符對一般非本征態(tài)波函數(shù)作用的非本征值和平均值都是實(shí)數(shù)。微觀粒子動(dòng)量的描述在坐標(biāo)表象中和動(dòng)量表象中真正達(dá)到等價(jià)性。采用動(dòng)能算符和動(dòng)量算符計(jì)算微觀粒子的動(dòng)能，得到的結(jié)果的不一致性也能得到合理的解釋。同時(shí)還能解決曲線坐標(biāo)系中動(dòng)量算符定義的一致性問題，徹底消除了EPY動(dòng)量徉謬。2. 量子力學(xué)動(dòng)量算符定義存在的問題量子力學(xué)中用厄密算符來描述物理量。設(shè)和是坐標(biāo)空間中的任意波函數(shù)，如果算符滿足以下關(guān)系： （1）則稱為厄密算符。設(shè)厄密算符的

7、本征方程為，容易證明本征值是一個(gè)實(shí)的常數(shù)，我們有： （2）考慮到（1）式，就得到。此時(shí)算符對波函數(shù)的平均值也是一個(gè)實(shí)數(shù)，我們有： （3）當(dāng)波函數(shù)不是算符的本征函數(shù)是，與算符對應(yīng)的物理量被認(rèn)為是不確定的。在這種情況下按照波函數(shù)的疊加原理，我們可以將波函數(shù)按算符的本征態(tài)函數(shù)展開，將算符作用其上后得到不同的本征值，然后計(jì)算不同的本征值出現(xiàn)的幾率。數(shù)學(xué)上這種做法是實(shí)際上就是傅里葉變換，通過這種變換可以將任意函數(shù)表示成某個(gè)量的連續(xù)譜分布形式。然而這種做法對于定態(tài)波函數(shù)是有問題的。比如對于勢能常數(shù)的勢阱中粒子，其能級是確定的，波函數(shù)不是動(dòng)量算符的本征函數(shù)。如果將單粒子的基態(tài)波函數(shù)展開成無窮多個(gè)動(dòng)量不同的自

8、由粒子波函數(shù)的疊加，就意味著基態(tài)有無窮多個(gè)不同動(dòng)量的粒子。根據(jù)能量與動(dòng)量之間的關(guān)系，就意味著單粒子的基態(tài)有無窮多不同能量的粒子，這種結(jié)果是不可想象的。因此對于能量狀態(tài)確定的單個(gè)微觀粒子波函數(shù)，從物理的合理性考慮，不應(yīng)當(dāng)再將它們看成動(dòng)量連續(xù)譜分布波函數(shù)的疊加。雖然對定態(tài)波函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換在數(shù)學(xué)上是合法的，物理上是否合理是需要討論的。事實(shí)上量子力學(xué)的EPY動(dòng)量徉謬就與此有關(guān)，我們將在本文第9節(jié)深入討論這個(gè)問題。我們將證明對于具有確定的分立能級的微觀束縛態(tài)波函數(shù)，不可能再將它們表示成無窮多動(dòng)量連續(xù)分布的疊加，否則會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的問題。以下我們證明，如果量子力學(xué)算符不是波函數(shù)的本征算符，坐標(biāo)空間中算符對

9、波函數(shù)的平均值一般是復(fù)數(shù)。設(shè)量子力學(xué)算符對非本征態(tài)波函數(shù)的作用結(jié)果為： （4）這里的即可以是坐標(biāo)空間的疊加態(tài)波函數(shù)，也可以是單粒子的定態(tài)波函數(shù)。我們稱（4）式為算符的非本征值方程，稱稱為算符的非本征值。容易證明，如果波函數(shù)不是算符的本征函數(shù)，非本征值就有可能是一個(gè)復(fù)數(shù)。在這種情況下算符就不是厄密算符，我們就有: （5） （6）式中幾率密度是實(shí)數(shù)?？梢娙绻菑?fù)數(shù)，（5）和（6）是就不相等，算符對波函數(shù)的作用不滿足（1）式，就不是厄密的。由于不是實(shí)數(shù)，算符的平均值也就不是一個(gè)實(shí)數(shù)，我們有： 實(shí)數(shù) （7）由于量子力學(xué)算符的平均值是具有測量意義的物理量，其值為復(fù)數(shù)在物理上是沒有意義的。然而在大多數(shù)情況

10、下，量子力學(xué)中許多算符都沒有本征函數(shù)，它們的非本征值都是復(fù)數(shù)。以氫原子波函數(shù)為例，磁量子數(shù)時(shí)波函數(shù)都是實(shí)數(shù)，時(shí)波函數(shù)都是復(fù)數(shù)，我們有： （8）式中是氫原子的第一玻爾軌道半徑。動(dòng)量算符作用于，按照（4）式的定義，動(dòng)量算符的非本征值方程和非本征值為： （9）可知得到的動(dòng)量值是一個(gè)虛數(shù)。將動(dòng)量算符作用于，考慮到，得到： （10）可見動(dòng)量算符的非本征值和都是復(fù)數(shù)。按照量子力學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)解釋，波函數(shù)描寫單個(gè)微觀粒子，和描述氫原子中處于確定狀態(tài)的單個(gè)電子。由于動(dòng)量算符的非本征值不是常數(shù)，我們可以認(rèn)為動(dòng)量沒有確定值，但復(fù)數(shù)動(dòng)量是不可想象的。對于角動(dòng)量算符和，作用在氫原子波函數(shù)上，也存在類似的情況，得到的非本征值

11、一般都是復(fù)數(shù)。 更嚴(yán)重的問題還在于，用動(dòng)量算符和用動(dòng)能算符計(jì)算微觀粒子的動(dòng)能，得到的結(jié)果可能是不一樣的，而我們卻找不到合理的理由來解釋這種不一致性。例如將動(dòng)能算符作用于氫原子基態(tài)波函數(shù)，得到： （11）氫原子中基態(tài)電子的動(dòng)能為： （12）上式恰好是基態(tài)電子的經(jīng)典能量守恒式，其中是基態(tài)電子的能量，是電子的勢能。然而按照（9）式的計(jì)算結(jié)果，基態(tài)電子的動(dòng)能是： （13）也就是說動(dòng)能等于總能量，不但是一個(gè)常數(shù)，而且還是一個(gè)負(fù)數(shù)!對于氫原子中態(tài)電子，用動(dòng)量算符計(jì)算，動(dòng)能是，。按照（10）式的計(jì)算結(jié)果，動(dòng)能卻是： （14）結(jié)果也與用動(dòng)能算符的計(jì)算值完全不符，顯然它們都是不可能的。容易驗(yàn)證對其他非自由粒子波

12、函數(shù)，這種不一致性是普遍存在。它說明現(xiàn)有量子力學(xué)的動(dòng)能算符與動(dòng)量算符不是一一對應(yīng)的。由于動(dòng)能算符與微觀粒子的能量有關(guān)，其正確性是得到充分證明的。事實(shí)上在量子力學(xué)中，動(dòng)量算符只有對自由粒子波函數(shù)有效。對于其他非自由粒子的波函數(shù)，動(dòng)量算符的這種定義未必是正確的。物理學(xué)家們至今沒有注意到這里存在的不一致性，更不用說如何解釋這種不一致性了。如果我們不能對這種不一致性提供合理解釋，就不能認(rèn)為量子力學(xué)是自洽的。2. 坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象中動(dòng)量算符平均值的不一致性對于波函數(shù)不是算符的本征函數(shù)的情況，按照量子力學(xué)的疊加原則，目前的做法是將算符的非本征態(tài)波函數(shù)表示成算符本征態(tài)波函數(shù)的疊加?？紤]到自由粒子的波函數(shù)是

13、動(dòng)量算符的本征函數(shù)，可以將一般的動(dòng)量算符的非本征態(tài)波函數(shù)寫為： （15）其中是的傅里葉變換。將上式變換到動(dòng)量表象，我們有： （16）按照（15）和（16）式，動(dòng)量算符對非本征態(tài)函數(shù)的平均值為: （17）由于是實(shí)數(shù)，動(dòng)量空間中動(dòng)量算符的平均值是實(shí)數(shù)。雖然在坐標(biāo)空間中，它是一個(gè)虛數(shù)。原因是將虛數(shù)的動(dòng)量算符作用在自由粒子本征態(tài)波函數(shù)上后，原來的虛數(shù)非本征值就轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)的動(dòng)量。然而物理量算符的平均值是可觀察量，應(yīng)當(dāng)與表象的選擇無關(guān)。如果在一個(gè)表象中算符的平均值是實(shí)數(shù)（或虛數(shù)），變換到另一個(gè)表象中時(shí)，它就不可能變成虛數(shù)（或?qū)崝?shù)）。此外在一維情況下，如果坐標(biāo)空間的波函數(shù)是實(shí)數(shù)，可以證明動(dòng)量算符的平均值為零

14、，但在動(dòng)量空間中的平均值卻一般不為零?？紤]到波函數(shù)在邊界為零，我們有： （18）變換到動(dòng)量空間后，平均值一般不等于零，我們有： （19）因此坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象的表象也是不等價(jià)的。這個(gè)結(jié)果再次告訴我們，用算符代替物理量是很容易出問題的，要非常小心。另外，在動(dòng)量空間中描述物理過程時(shí)，坐標(biāo)和動(dòng)量的地位互換。以下證明，按（16）式變換到動(dòng)量空間后，坐標(biāo)空間中動(dòng)量算符非本征值的虛數(shù)問題消失了，坐標(biāo)算符的虛數(shù)問題卻出現(xiàn)了。在動(dòng)量空間中，坐標(biāo)算符變?yōu)?，對?dòng)量空間波函數(shù)的作用結(jié)果是： （20）與坐標(biāo)空間的動(dòng)量算符對非本征函數(shù)的作用結(jié)果類似，一般而言是一個(gè)復(fù)數(shù)。因此動(dòng)量空間坐標(biāo)算符的平均值一般也是一個(gè)復(fù)數(shù)，我們

15、有： （21）式中動(dòng)量密度是一個(gè)實(shí)數(shù)。然而坐標(biāo)表象中坐標(biāo)的平均值是一個(gè)實(shí)數(shù)，因此坐標(biāo)表象與動(dòng)量表象的描述不一致?？梢妴栴}依然存在，我們只是將坐標(biāo)空間中動(dòng)量算符的問題轉(zhuǎn)化成動(dòng)量空間中坐標(biāo)算符的問題，非本征值的虛數(shù)問題以另外一種方式體現(xiàn)出來罷了。這些問題對量子力學(xué)邏輯基礎(chǔ)的都是致命的，但至今一直被物理學(xué)界忽略，應(yīng)當(dāng)引起物理學(xué)家的重視?，F(xiàn)有量子力學(xué)只討論厄密算符的本征值問題，回避算符對非本征值波函數(shù)的作用問題。但這個(gè)問題是回避不了的。事實(shí)上量子力學(xué)著名的EPY動(dòng)量徉謬就與此有關(guān)，曲線坐標(biāo)系中動(dòng)量算符至今無法合理地定義，其根源也在于此。如果這些問題得不到合理解決，就不能認(rèn)為量子力學(xué)是一個(gè)完善的和自洽的

16、理論。產(chǎn)生這些問題的原因在于，對于非本征態(tài)波函數(shù)，現(xiàn)有量子力學(xué)動(dòng)量算符的定義有問題，必須進(jìn)行修正。修正后動(dòng)量算符對任意非本征態(tài)波函數(shù)作用，得到的非本征值必須是實(shí)數(shù)，動(dòng)量算符在坐標(biāo)表象中的平均值以及坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象中的平均值都應(yīng)當(dāng)是實(shí)數(shù)。采用動(dòng)能算符和動(dòng)量算符計(jì)算微觀粒子的動(dòng)能，得到的結(jié)果如果不一樣，也應(yīng)當(dāng)有合理的解釋。與動(dòng)量有關(guān)的物理過程在坐標(biāo)表象中和在動(dòng)量表象中的描述也應(yīng)當(dāng)一樣。只有達(dá)到這樣的標(biāo)準(zhǔn)，我們才能說量子力學(xué)的動(dòng)量算符的定義是完備的。如前所述，動(dòng)量算符對非本征態(tài)波函數(shù)的非本征值是復(fù)數(shù)時(shí)，動(dòng)量算符就不是厄密算符。事實(shí)上早就有人認(rèn)為量子力學(xué)要求算符是厄密算符還不夠，還必須要求算符是自伴

17、算符。狄拉克在他的量子力學(xué)原理一書中就只提實(shí)數(shù)算符，不提厄密算符。從數(shù)學(xué)定義上看，自伴算符與厄密算符的關(guān)系比較微妙，本文不予討論。從物理上看，應(yīng)當(dāng)把自伴算符看成具有完備本征函數(shù)集的算符，因此它的值一定是實(shí)數(shù)。而厄密算符對波函數(shù)的形式是沒有限制的，這是二者的不同之處之一。問題在于如果按照這種要求，必將大大限制量子力學(xué)算符的有效性，實(shí)際上是不可能的。例如對非自由粒子波函數(shù)，動(dòng)量算符都不是自伴算符。以下我們來證明，雖然無法使量子力學(xué)的動(dòng)量算符成為自伴算符，但可以通過重新定義使它對波函數(shù)的作用得到的非本征值都是實(shí)數(shù)。4.普適動(dòng)量算符的定義為了使動(dòng)量算符對任意波函數(shù)作用的非本征值都是實(shí)數(shù)，我們需要對現(xiàn)有

18、的動(dòng)量算符進(jìn)行重新定義。在直角坐標(biāo)系中，假設(shè)量子力學(xué)普適的動(dòng)量算符的分量可以寫為： （22）是分量指標(biāo)。式中是實(shí)數(shù)，具體形式待定。一般是復(fù)數(shù)，滿足以下關(guān)系： （23）要強(qiáng)調(diào)的是，為普遍性起見，此處的波函數(shù)即可以是處于某個(gè)特定狀態(tài)的波函數(shù)，也可以是的疊加態(tài)。但如果要將與處于某個(gè)確定態(tài)的粒子的動(dòng)量相聯(lián)系，我們就得限定。通過解量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，我們可以得到波函數(shù)的具體形式，也就知道了的形式。將算符（22）式作用到非本征波函數(shù)上，得到非本征值就是實(shí)數(shù)，我們有： （24）通過這種方法，普適動(dòng)量算符的非本征值就變成實(shí)數(shù)。動(dòng)量算符的平均值也是實(shí)數(shù)，我們有： （25）在一維情況下，（18）式一般不為零，我們有

19、： （26）如果動(dòng)量算符作用的是本征態(tài)波函數(shù)，取，（22）式實(shí)際上就回到現(xiàn)有量子力學(xué)厄密算符的定義。以下我們來確定的函數(shù)形式。按照（22）式的定義，單個(gè)微觀粒子動(dòng)能算符就變?yōu)椋?（27）然而量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程的動(dòng)能算符實(shí)際上是： （28）將動(dòng)能算符作用于波函數(shù)并考慮（23）式，然后將（27）和（28）式比較，就得到： （29）由于是已知的，且在一般情況下是復(fù)數(shù)，將它的實(shí)部與虛部分開，寫為： （30）代入（29）式并將實(shí)部和虛部分開，就得到兩個(gè)式子： （31） （32）一個(gè)有三個(gè)需要確定，但只有（31）和（32）式兩個(gè)方程，因此有一個(gè)可以任選。設(shè)是粒子的動(dòng)量，其形式可以從動(dòng)能算符對波函數(shù)的微分確定

20、。在這種情況下，必須限定動(dòng)能算符對處于確定態(tài)而不是疊加態(tài)的波函數(shù)作用，我們有： （33）令，代入（31）和（32）式，就可以確定和。一般而言，由于方程（31）和（32）與（33）式的形式是不一樣的，和與和的形式是不一樣的，令： （34）和也是已知的。至此我們就確定了普適動(dòng)量算符（22）式的形式，考慮（23）式后有： （35） （36） （37）可見普適動(dòng)量算符的非本征值都是實(shí)數(shù)，但三個(gè)非本征值中有兩個(gè)不是微觀粒子的真實(shí)動(dòng)量。與（13）和（14）式一樣，用普適動(dòng)量算符和用動(dòng)能算符計(jì)算粒子的動(dòng)能，結(jié)果也是不一樣的。原因在于普適動(dòng)量算符的三個(gè)分量是相互不對易的，當(dāng)我們用動(dòng)量算符構(gòu)造動(dòng)能算符時(shí)，這種不

21、對易性造成二者計(jì)算結(jié)果的不一致性。如果微觀粒子在二維空間運(yùn)動(dòng)，（31）和（32）兩個(gè)方程正好確定和，和由動(dòng)能算符對波函數(shù)的作用確定，它們之間的關(guān)系也如（34）式所示。粒子在一維空間運(yùn)動(dòng)時(shí)只有一個(gè)未知量需要確定，但卻有（31）和（32）兩個(gè)方程，形式如下： （38）因此一般沒有唯一解，除非這兩個(gè)方程能相容。將（38）的第一式代入第二式，得： （39）上式可以有無窮多解，其中一個(gè)簡單解是，。也就是說是一個(gè)純虛數(shù)，但還必須滿足（23）式。代入（38）式，得，普適動(dòng)量算符就為： （40）如果（23）和（39）式不滿足，一維量子力學(xué)過程就不能定義合適的動(dòng)量算符，我們將在第9節(jié)中繼續(xù)討論這個(gè)問題。按照這種

22、定義，量子力學(xué)的普適動(dòng)量算符就不是厄密算符。然而如上討論，對于非本征態(tài)波函數(shù)，厄密算符的要求不是必要的。最重要的是算符的非本征值和平均值必須是實(shí)數(shù)，只有這樣物理過程在坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象中的描述才可能是一致的，而普適動(dòng)量算符可以做到這一點(diǎn)。以上的推導(dǎo)是對單粒子波函數(shù)進(jìn)行的，對于多粒子定態(tài)系統(tǒng)情況也一樣，我們在此就不贅述。按照（32）式的定義，動(dòng)量算符與坐標(biāo)的對易關(guān)系不變，我們有： （41）5.動(dòng)量表象中坐標(biāo)算符的合理定義 如前所述，動(dòng)量空間中坐標(biāo)算符對任意波函數(shù)的平均值是復(fù)數(shù)，因此動(dòng)量空間中的坐標(biāo)算符也需要重新定義。與（22）式對應(yīng)，將動(dòng)量空間中的普適坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符定義為： （42）其中是實(shí)

23、數(shù)，一般是復(fù)數(shù)，滿足以下關(guān)系： （43）式中的由（16）式確定，通過上式可以確定的形式。我們有： （44）由此在動(dòng)量空間中，普適坐標(biāo)算符對非本征態(tài)波函數(shù)的作用結(jié)果也是實(shí)數(shù)，我們有： （45）利用（16）式將（44）式變換到坐標(biāo)空間，我們有： （46）令： （47）式中是動(dòng)量表象中的坐標(biāo)值，是坐標(biāo)表象中的坐標(biāo)值。將上式代入（46）式，得到： （48）從而使兩個(gè)表象中坐標(biāo)算符的平均值相等。而（47）式就是坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象中坐標(biāo)的變換關(guān)系，通過逆變換，我們得到： （49）由此就可以將動(dòng)量表象中坐標(biāo)算符（42）式的形式確定下來。6.曲線坐標(biāo)中動(dòng)量算符的定義存在的問題 在現(xiàn)有量子力學(xué)中，曲線坐標(biāo)系的動(dòng)

24、量算符的定義是一個(gè)未解決的問題。目前已有幾種定義方法，但都是不自洽的。如果要求曲線坐標(biāo)系中動(dòng)量算符各分量也是互相對易的，球坐標(biāo)系中動(dòng)量算符的定義就是： （50）但容易證明和不是厄密算符，它們對氫原子波函數(shù)的作用和平均值也可能虛數(shù)。更主要的，是從（50）式的定義不能得到球坐標(biāo)系中正確的動(dòng)能算符。經(jīng)典力學(xué)中自由粒子的哈密頓量在球坐標(biāo)系中的形式是： （51）按照量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的對應(yīng)原理，如果動(dòng)量算符用（50）式表示，動(dòng)能算符就應(yīng)當(dāng)是： （52）然而量子力學(xué)球坐標(biāo)系中的動(dòng)能算符實(shí)際上是： （53）顯然（52）式與（53）式不相等。球坐標(biāo)系中量子力學(xué)動(dòng)量算符的另一種定義是： （54）將（54）式代入

25、（51）式，得到： （55）結(jié)果比（53）式多出一項(xiàng)，因此（54）式的定義也是不自洽的。 還有人建議采用微分幾何的協(xié)變微分算符來定義曲線坐標(biāo)系中的動(dòng)量算符。算符對標(biāo)量和矢量的作用形式是： （56）上式中是聯(lián)絡(luò)，重復(fù)指標(biāo)不是求和。對于度規(guī)為的曲線坐標(biāo)，聯(lián)絡(luò)是： （57）按照這種定義，曲線坐標(biāo)中的動(dòng)能算符可以寫為： （58）在球坐標(biāo)中得到的結(jié)果就是量子力學(xué)的（53）式。但也有人批評這種定義，認(rèn)為算符對標(biāo)量場的作用與對矢量場的作用也存在不自洽性。此外按（56）式，對標(biāo)量場的作用實(shí)際上得到的是（54）式。其中的和對一般非本征函數(shù)的非本征值和平均值仍然可能是虛數(shù)，因此直角坐標(biāo)系中動(dòng)量算符的所有問題在球坐

26、標(biāo)中都同樣存在。7.球坐標(biāo)系中普適動(dòng)量算符的定義 以下我們給出球坐標(biāo)系中普適動(dòng)量算符的定義?？梢哉J(rèn)為在一般的情況?。?0）式的形式，我們只需討論和的普適形式。與（22）式的定義類似，令： （59） （60） （61）其中，和是實(shí)數(shù)，形式待定。，和是復(fù)數(shù)，滿足以下關(guān)系： （62）將算符作用到一般的球坐標(biāo)非本征態(tài)波函數(shù)上，得到非本征值都是實(shí)數(shù)，我們有： （63）以下來我們確定，和的形式。將（59）（61）式代入（51）式，得： （64）考慮動(dòng)量算符（53）式和（62）式，得： （65）令： （66）代入（65）式，將虛部和實(shí)部分開，得： （67） （68）通過求解量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，波函數(shù)已知，一個(gè)

27、有三個(gè)需要確定。但只有（67）和（68）式兩個(gè)方程，因此第三個(gè)可以任意選擇。設(shè)，和是粒子的動(dòng)量，其形式可以從動(dòng)能算符對球坐標(biāo)波函數(shù)的微分來確定，我們有： （69） （70） （71）令，代入（67）和（68）式就可以確定和。一般而言和與和不一樣，令： （72），和已知，和也是已知的。（63）式也可以寫為： （73）也就是說球坐標(biāo)系中的動(dòng)量算符和作用于波函數(shù)，得到的并不是真正的動(dòng)量，由此說明球坐標(biāo)的普適動(dòng)量算符與動(dòng)能算符也不是一一對應(yīng)的。至此我們就完成了球坐標(biāo)系的普適動(dòng)量算符的定義，并解決了現(xiàn)有量子力學(xué)曲線坐標(biāo)系動(dòng)量算符定義的一致性問題。按照同樣的方法，我們可以得到其它曲線坐標(biāo)的普適動(dòng)量算符，本

28、文就不贅述。8. 量子力學(xué)普適角動(dòng)量算符的定義量子力學(xué)的角動(dòng)量算符與動(dòng)量算符密切相關(guān)，我們有。如果認(rèn)為微觀粒子的動(dòng)量不是可以直接觀察的物理量，它的具體數(shù)值不重要，微觀粒子的角動(dòng)量就與原子的磁矩相關(guān)，磁矩卻是一個(gè)可以直接測量的物理量。由于現(xiàn)有量子力學(xué)動(dòng)量算符可能導(dǎo)致虛的動(dòng)量，將角動(dòng)量算符作用在波函數(shù)上，也有可能導(dǎo)致虛的角動(dòng)量和角動(dòng)量平均值。按照現(xiàn)有量子力學(xué)，直角坐標(biāo)系中角動(dòng)量的定義是： （74）引入球坐標(biāo)，也可以將上式寫為： （75）其中是氫原子波函數(shù)的本征算符，本征值是。量子力學(xué)中我們知道和都不是的本征算符，將和作用到上，得到的和一般都是虛數(shù)值。和對的平均值和一般也是虛數(shù)。但角動(dòng)量算符的平方是

29、： （76）將作用在氫原子波函數(shù)上，得到實(shí)數(shù)值。將對動(dòng)量算符重新定義后，就得考慮角動(dòng)量算符的重新定義問題。為了使算符和對一般的波函數(shù)作用都能得到實(shí)數(shù)值，按照（22）式的原則，將（74）式的角動(dòng)量重新定義為： （77） （78） （79）其中的由（31）和（32）式確定，其中。將算符作用在一般非本征態(tài)波函數(shù)上，得到： （80） （81） （82）式中的和由（33）和（34）式確定。按照這種定義，普適角動(dòng)量算符對一般的非本征態(tài)波函數(shù)作用的非本征值和平均值都是實(shí)數(shù)。曲線坐標(biāo)中的普適角動(dòng)量算符的形式本文就不討論。9. Einstein-Pauli-Yukawa動(dòng)量徉謬的消除量子力學(xué)中的EPY動(dòng)量徉謬是

30、令人困惑的基本問題。通過以上討論，我們可以對產(chǎn)生EPY動(dòng)量徉謬的原因有更深的認(rèn)識(shí)。以下先簡述這個(gè)徉謬，然后討論如何消除?？紤]一維無限深勢阱內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)，勢阱的形式是： （83）通過量子力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，得到的勢阱內(nèi)粒子的能量為： （84）是粒子的質(zhì)量，在的取域，的波函數(shù)是： （85）在的區(qū)域，。按照上式，基態(tài)波函數(shù)也能寫成： （86）上式表明基態(tài)波函數(shù)似乎可以看成兩個(gè)動(dòng)量的自由粒子波函數(shù)的疊加。因此愛因斯坦，泡利和湯川秀樹等人認(rèn)為基態(tài)中粒子只有兩個(gè)獨(dú)立的動(dòng)量和，出現(xiàn)的幾率各為。另一方面，將（86）式代入（16）式計(jì)算，考慮到波函數(shù)被限制在的區(qū)間，動(dòng)量空間的波函數(shù)為： （87）基態(tài)動(dòng)量分布的幾率是：

31、 （88）因此基態(tài)動(dòng)量分布是連續(xù)譜，與（86）式不同，就出現(xiàn)矛盾，即所謂EPY動(dòng)量徉謬。由于這個(gè)矛盾一直無法解決，有人因此認(rèn)為量子力學(xué)的邏輯基礎(chǔ)存在不自洽性。問題在于將（86）式寫成兩項(xiàng)后，是箱歸一化的自由粒子波函數(shù)，不是邊界無窮大的自由粒子的波函數(shù)。邊界條件的這種限制會(huì)對波函數(shù)的性質(zhì)產(chǎn)生很大的影響。事實(shí)上如果是邊界無窮大的波函數(shù)，變換到動(dòng)量空間后應(yīng)當(dāng)用函數(shù)表示。按（16）式，變換結(jié)果應(yīng)當(dāng)是： （89）上式的積分區(qū)間在，而不是（87）式的。當(dāng)和時(shí)，我們有和。因此我們有和。當(dāng)時(shí)我們有和。比較（89）式與（87）式可知，由于邊界條件的不同，它們的差別很大。事實(shí)上按照（88）式，由于勢阱的寬度有限，

32、當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)，令，我們有： （90）取和，（b不是整數(shù)，避免與的能級重疊），代入上式，得： （91）可見（88）不是函數(shù)分布，而且這樣的幾率分布顯然是不可能的。問題出在邊界條件上，為了使（90）式與（89）式的結(jié)果一致，我們只有在（90）和（91）式中令勢阱寬度，得。然而意味著勢阱不存在，因此雖然變換式（87）在數(shù)學(xué)上是合法的，在物理上卻是不合理的。也就是說對于箱歸一化的定態(tài)波函數(shù)，粒子的能量和動(dòng)量是已經(jīng)確定的，我們就不可能再將它表示成無窮多不同動(dòng)量的自由粒子波函數(shù)的疊加。無限深勢阱中基態(tài)粒子只存在兩個(gè)獨(dú)立的動(dòng)量和，出現(xiàn)的幾率各為，EPY動(dòng)量徉謬不存在。這個(gè)結(jié)論實(shí)際上對具有確定能級的微觀粒子束縛

33、態(tài)都是適用的。比如對于氫原子基態(tài)波函數(shù)，雖然它的傅里葉變換在數(shù)學(xué)上是有意義的，物理上我們不可能再將它們表示成無窮多自由粒子波函數(shù)的疊加態(tài)。按照量子力學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)解釋，氫原子基態(tài)波函數(shù)描寫單個(gè)粒子。量子力學(xué)中我們不考慮粒子的產(chǎn)生和湮滅。在粒子數(shù)守恒的條件下，將單個(gè)束縛態(tài)粒子看成無數(shù)個(gè)自由粒子的集合，這種理解方式在邏輯上和物理圖像上都是有困難的，氫原子光譜實(shí)驗(yàn)也不支持這種看法。另一方面，將現(xiàn)有量子力學(xué)動(dòng)量算符對波函數(shù)（86）式作用，非本征值是一個(gè)虛數(shù)： （92）按照普適動(dòng)量算符的定義，考慮到（22），（23）和（39）式，是一個(gè)實(shí)數(shù)，我們有： （93）因此（39）式無法得到滿足，意味著對于一維無限深勢

34、阱中的微觀粒子，我們無法為它找到一個(gè)合適的動(dòng)量算符。換句話說，我們無法定義一個(gè)一維的動(dòng)量算符，使之既能與動(dòng)能算符一致，又能使動(dòng)量算符在坐標(biāo)空間中的非本征值和平均值都是一個(gè)實(shí)數(shù)。事實(shí)上在現(xiàn)有量子力學(xué)的定義中，自伴算符與邊界條件有關(guān)。由于邊界條件的限制，在無限深勢阱的情況下，動(dòng)量算符不是自伴算符。由于動(dòng)量算符沒有完備的本征函數(shù)集，就無法通過動(dòng)量算符來確定粒子的動(dòng)量。雖然利用動(dòng)能算符對波函數(shù)的作用，我們可以確定粒子的動(dòng)量。我們還再次看到，量子力學(xué)中微觀粒子的動(dòng)量算符與動(dòng)能算符不是一一對應(yīng)的。我們可以有合理的動(dòng)能算符，卻未必能找到合適的動(dòng)量算符與之匹配。10. 結(jié)論現(xiàn)有量子力學(xué)動(dòng)量算符對非本征態(tài)波函數(shù)作用，得到的非本征值和平均值一般都是復(fù)數(shù)。在這種情況下，動(dòng)量算符就不再是厄密算符。雖然可以將非本征函數(shù)按動(dòng)量算符的本征函數(shù)展開，使動(dòng)量算符的平均值是一個(gè)實(shí)數(shù)，結(jié)果卻會(huì)導(dǎo)致坐標(biāo)空間與動(dòng)量空間中的表述不一致。用動(dòng)量算符和動(dòng)能算符計(jì)算微觀粒子的動(dòng)能，得到的結(jié)果是不一樣的。因此量子力學(xué)的動(dòng)量算符與動(dòng)能算符不是一一對應(yīng)的，產(chǎn)生這種不一致性的原因至今沒有得到解釋。量子力學(xué)的其他算符也存在類似的問題，只是目前沒有引起物理學(xué)家的注意。由于涉及量子力學(xué)邏輯基礎(chǔ)的合理性問題，我們必須認(rèn)真對待。 通過對動(dòng)量算符的