《一元二次不等式及其解法》典型例題透析

1、精品文檔一元二次不等式及其解法典型例題透析類型一：解一元二次不等式例 1.解下列一元二次不等式（ 1） x25x0 ；（2） x24x 40 ；（ 3）x24x 5 0思路點(diǎn)撥 :轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號(hào)法則解答.解析：（ 1）方法一：因?yàn)? 5)24 1 025 0所以方程x25x0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為：x10 ， x25函數(shù) yx25x 的簡(jiǎn)圖為：因而不等式 x25x0 的解集是 x | 0x 5 .方法二： x25x0x( x 5)0x0或x0x5 0x5 0x0或x0x 5或 x.解得5x，即 0x5因而不等式 x25x0 的解集是 x | 0x5 .（ 2）方法一：因?yàn)?/p>

2、0，方程 x24x40 的解為 x1 x2 2 .函數(shù) yx24x4 的簡(jiǎn)圖為：所以，原不等式的解集是 x | x2方法二： x24x 4 ( x 2)20（當(dāng) x2 時(shí)， ( x 2)20 ）所以原不等式的解集是 x | x2（ 3）方法一：原不等式整理得x24x5 0 .。1歡迎下載精品文檔因?yàn)? ，方程 x24x 50 無實(shí)數(shù)解，函數(shù) yx24x 5 的簡(jiǎn)圖為：所以不等式 x24x50 的解集是 .所以原不等式的解集是.方法二： x24x5( x 2) 2 1 1 0原不等式的解集是.總結(jié)升華：1. 初學(xué)二次不等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力；2.當(dāng)0

3、 時(shí)，用配方法，結(jié)合符號(hào)法則解答比較簡(jiǎn)潔（如第2、 3 小題）；當(dāng)0 且是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，利用因式分解和符號(hào)法則比較快捷，（如第 1 小題） .3.當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)小于 0 時(shí)，一般都轉(zhuǎn)化為大于0 后，再解答 .舉一反三：【變式 1】解下列不等式(1)2x23x20； (2)3x26x20(3)4x24x10； (4)x22x30 .【答案】（ 1）方法一：因?yàn)? 3)242(2)250方程 2x23x20 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為： x11， x2 22x22函數(shù) y3x2 的簡(jiǎn)圖為：因而不等式 2 x23x 20 的解集是： x | x1 或 x 2 .方法二： 原不等式等價(jià)于 （2x1)(x 2)

4、02, 原不等式的解集是： x | x1 或x2 .2（ 2）整理，原式可化為 3x2 6x 2 0 ,因?yàn)?,方程 3x26x 20 的解 x1 13 ， x2 13 ，33。2歡迎下載精品文檔函數(shù) y3x26x2 的簡(jiǎn)圖為：所以不等式的解集是 (13 ,13) .33（ 3）方法一：因?yàn)?方程 4x24x1 0 有兩個(gè)相等的實(shí)根： x1 x21，4 x22由函數(shù) y4 x 1的圖象為：原不等式的的解集是1 .2方法二： 原不等式等價(jià)于：(2 x1)2 0,原不等式的的解集是1 .（ 4）方法一：2因?yàn)? ，方程x22x3 0 無實(shí)數(shù)解，由函數(shù) yx22x 3的簡(jiǎn)圖為：原不等式的解集是.方法

5、二： x22 x3( x1)2220 ， 原不等式解集為.【變式 2】解不等式：6x2x66【答案】 原不等式可化為不等式組x2x 6 6，即x2x 12 0(x 4)( x 3) 06 x2x2，即x( x 1) 0，x 6x 0解得3x 4或xx01原不等式的解集為 x |3x0或1 x 4 .類型二：已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù)例 2. 不等式 x2mxn0 的解集為 x(4,5) ，求關(guān)于 x 的不等式 nx 2mx 1 0 的解集。思路點(diǎn)撥 : 由二次不等式的解集為(4,5)可知： 4、 5是方程 x2mx n0 的二根，故由韋達(dá)定理可求出 m 、 n 的值，從而解得 .。3歡

6、迎下載精品文檔解析： 由題意可知方程x2mx n0的兩根為 x4和 x5由韋達(dá)定理有 45m ， 45n m9， n20 nx2mx1 0化為20x29x10 ，即20 x29x 1 0(4 x 1)(5x1)1x1，0 ，解得54故不等式 nx2mx10 的解集為 (1 ,1) .45總結(jié)升華： 二次方程的根是二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn). 根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系，這一點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式1】不等式 ax2+bx+120 的解集為 x|-3x2，則 a=_, b=_ ?！敬鸢浮?由不等

7、式的解集為 x|-3x2知 a0 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。思路點(diǎn)撥 : 不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個(gè)問題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù)。解析：2(1) 當(dāng) m+4m-5=0 時(shí)， m=1或 m=-5若 m=1，則不等式化為30,對(duì)一切實(shí)數(shù)x 成立，符合題意。若 m=-5，則不等式為24x+30，不滿足對(duì)一切實(shí)數(shù)x 均成立，所以m=-5 舍去。2(2) 當(dāng) m+4m-50 即 m1 且 m -5 時(shí)，由此一元二次不等式的解集為R 知，拋物線 y=(m2+4m-5)x 2-4(m-1)x+3開口向上， 且與 x 軸無交點(diǎn)，所以m 24m5 0，1)212(

8、 m216(m4m5)0即m1或 m5， 1m19。1m19綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是 m|1 m0 ；（ 3） x2 -(a+1)x+a0，即a2或a-2時(shí)，原不等式的解集為 x | xaa 24 或 xaa 24 22當(dāng)=0，即 a=2 或-2時(shí)，原不等式的解集為 x | xa 。2當(dāng) 0，即 -2a2 時(shí)，原不等式的解集為 R。（ 3） (x-1)(x-a)1 時(shí)，原不等式的解集為x|1xa當(dāng) a1 時(shí)，原不等式的解集為x|ax1當(dāng) a=1 時(shí)，原不等式的解集為?？偨Y(jié)升華： 對(duì)含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步：定號(hào)：對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向；求根：

9、求相應(yīng)方程的根。當(dāng)無法判斷判別式與0 的關(guān)系時(shí)，要引入討論，分類求解；定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；當(dāng)無法判斷兩根的大小時(shí)，引入討論。舉一反三：【變式 1】解關(guān)于 x的不等式： x 2(a1 ) x 1 0( a0)1 )a【答案】 原不等式化為 (x a)( x0 a=1或a=-1 時(shí)，解集為a；當(dāng) 0a1 或 a1或 -1a0時(shí)，a。7歡迎下載精品文檔若 a12， 即 0a1時(shí)， x(,210，2, ) ；aa若 a0， 1 2 ， 即 a1 時(shí)， x R；a2若 a12 ， 即 a1時(shí)， x (1) .0，2,2,aa當(dāng) a0時(shí)，則有： 12 ，x12a， 。a【變式 2】解關(guān)于

10、x的不等式： ax2 2x-10時(shí)，則0， x ( 11 a , 11 a ) . a0時(shí)，aa若 a0， 0， 即 a-1 時(shí)， x R；若 a0， =0， 即 a=-1 時(shí)， x R且x 1；若 a0， 即 -1a0aa【答案】 若 a=0，原不等式化為 -x+10 ，解集為 x|x1；若 a0，原不等式為關(guān)于x 的一元二次不等式 .方程 ax 2x 1 0 的判別式 =1-4a( ) 當(dāng) =1-4a0 ，即 a1 時(shí)，方程 ax 2x 1 0 有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根4114a114ax12a， x22a，當(dāng) 0 a1時(shí)，函數(shù) f ( x)ax 2x1的圖象開口向上，4與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且x1x2 ，其簡(jiǎn)圖如下：所 以， 此 時(shí)不 等 式 ax 2x 1 0的解 集為,1 1 4a1 1 4a ,；2a2a當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f ( x)ax 2x1的圖象開口向下，與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且x1x2 ，其簡(jiǎn)圖如下：所以，此