結(jié)合數(shù)學(xué)史實(shí)解析數(shù)學(xué)課內(nèi)容實(shí)踐

1、結(jié)合數(shù)學(xué)史實(shí)解析數(shù)學(xué)課內(nèi)容實(shí)踐 作為以授課為主要任務(wù)的教師，學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)史的首要目的，自然應(yīng)該是把數(shù)學(xué)的有關(guān)史實(shí)融匯到整個(gè)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容中去。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)課教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)有些內(nèi)容的理解或者比較困難，或者比較淺浮，為解決此類問題，教師除了在論證推理或舉例說明等方面下功夫改善之外，講述與之相關(guān)的數(shù)學(xué)史，對(duì)所授課程內(nèi)容進(jìn)行解釋和說明，也是一種重要途徑。下面列述我們?cè)谥v授微積分和概率統(tǒng)計(jì)課程時(shí)的一些嘗試。 一、極限理論和實(shí)數(shù)理論的發(fā)展簡(jiǎn)史 關(guān)于數(shù)列或函數(shù)的極限定義，課本上首先是用“無限趨近”的語(yǔ)言和表達(dá)式“l(fā)im”給出的，學(xué)生已經(jīng)能夠理解。緊接著又給出極限的第二個(gè)定義即“N”、“”定義，學(xué)生反而難

2、以理解，甚至認(rèn)為這后一定義是多余的。由于此時(shí)還未講到無窮小的概念和導(dǎo)數(shù)的定義，我們暫時(shí)還只能用適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)（例如對(duì)1lim(1)1nn+=，當(dāng)依次取0.1、0.01、，時(shí)，N相應(yīng)取為10、100、）和在數(shù)軸上描點(diǎn)等方式進(jìn)行解釋，以使學(xué)生對(duì)”定義先有一個(gè)初步的了解。后來講到導(dǎo)數(shù)的定義，例如學(xué)生對(duì)此推導(dǎo)尚能接受，但在此時(shí)，教師就要講述有關(guān)歷史：首先是18世紀(jì)初貝克萊提出的悖論：他質(zhì)疑x究竟是不是0？若是0就不能做分母，若不是0就不能消去。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界無法回答這個(gè)問題，引起了所謂“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。這說明初創(chuàng)時(shí)期的微積分雖然在應(yīng)用上就已經(jīng)獲得了巨大成功，但在理論上是不嚴(yán)密的，貝克萊悖論切中了這一要害，刺

3、激了數(shù)學(xué)家們努力建立微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。首先是柯西初創(chuàng)了極限理論，提出極限是變量“無限趨近”的確定目標(biāo)；以0為極限的變量稱為無窮小量，它不一定是真正的0，而是在其變化過程中具有無限接近于0，“想要多小就多小”的特點(diǎn)。但這種說法（即課本上的第一個(gè)定義）只是直覺的定性描述，雖然對(duì)澄清貝克萊悖論具有重大作用，卻沒有從根本上解決問題，例如未能區(qū)分函數(shù)的連續(xù)性和可微性，而當(dāng)時(shí)已發(fā)現(xiàn)了很多連續(xù)但不可微的函數(shù)。直到19世紀(jì)中葉，維爾斯特拉斯明確提出了”方法，給極限概念以定量化的定義，用以重建嚴(yán)密的微積分理論體系，才從根本上解脫了“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。所以”方法不是多余的，而是完善微積分理論和方法所不可缺少的。既

4、然已介紹了“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”，于是學(xué)生自然會(huì)問什么是“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”？我們就索性進(jìn)行解答：古希臘學(xué)者信奉“萬(wàn)物皆數(shù)”，而這些數(shù)只是整數(shù)及其比。但當(dāng)時(shí)發(fā)現(xiàn)單位邊長(zhǎng)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)不是整數(shù)比，引起了恐慌，這就是“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。所以從那時(shí)起，人們把整數(shù)及其比統(tǒng)稱為“有理數(shù)”，而把非有理數(shù)稱為“無理數(shù)”，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。這次危機(jī)的解脫不在當(dāng)時(shí)，而在兩千多年后的19世紀(jì)，并且是在解脫第二次危機(jī)的同時(shí)，康德等人在極限理論基礎(chǔ)上建立了嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論，才徹底認(rèn)識(shí)了無理數(shù)。通過對(duì)這些數(shù)學(xué)史的簡(jiǎn)扼介紹，學(xué)生不僅對(duì)本課程的內(nèi)容有了更深的了解，而且還對(duì)以前已熟知的有理數(shù)和實(shí)數(shù)概念有了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。 二、

5、從古典概率論到近現(xiàn)代概率論的發(fā)展簡(jiǎn)史 從15世紀(jì)起數(shù)學(xué)家就開始研究以賭博問題為主要內(nèi)容的概率問題，到19世紀(jì)已經(jīng)提出了大數(shù)定律、中心極限定理等重要內(nèi)容，但概率論在理論上仍然很不完善，以致產(chǎn)生了一些悖論。例如，貝特朗悖論：求園內(nèi)弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率。依據(jù)“隨機(jī)選擇”的不同方式選取弦可以得到不同的答案；選擇一組平行弦時(shí)，所求概率為1/2；選擇從圓上某點(diǎn)引出的一組弦，則所求概率為1/2,等等。這種多值性揭示出“概率”這個(gè)基本概念本身就較模糊。同時(shí)，科學(xué)家們們把概率論應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)物理時(shí)，也感到需要先對(duì)概率論自身的基本概念和原理重新進(jìn)行嚴(yán)密、準(zhǔn)確的定義和論證。古典概率論的缺陷，緣由其概念和命題

6、都是以實(shí)驗(yàn)為前提的，這種實(shí)驗(yàn)有時(shí)由問題本身明確規(guī)定，有時(shí)卻不然，亦即概念和命題的建立都具有很大的隨意性，缺乏足夠的邏輯性、必然性和確定性。 直到20世紀(jì)初，柯爾莫果洛夫集前人之大成，運(yùn)用剛問世不久的測(cè)度理論對(duì)古典概率進(jìn)行公理化重建，開創(chuàng)了現(xiàn)代概率論。僅僅一個(gè)世紀(jì)以來，現(xiàn)代概率論無論在理論或應(yīng)用方面，或在與其它數(shù)學(xué)分支的交融匯含方面，其發(fā)展的廣度和深度，其所取得的成就，都是古典概率進(jìn)所望塵莫及的。我們?cè)谥v授完第一章概率論的基本概念之后，向?qū)W生講述概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展的上述歷史，是為了給學(xué)生如下啟示：這門科學(xué)的基礎(chǔ)是需要大量的重復(fù)的實(shí)驗(yàn)和觀察（在其中存在著許多不確定因素），但為了能從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中總結(jié)出正確的結(jié)論，并且要以較少的實(shí)驗(yàn)代價(jià)獲得對(duì)一般規(guī)律的了解和掌握，即所謂“由局部推斷整體”，就必須建立系統(tǒng)的嚴(yán)密的理論，從理論上進(jìn)行推演。 也就是說，學(xué)習(xí)這門課程時(shí)，既要重視實(shí)際數(shù)據(jù)，又要重視理論推導(dǎo)，兩者緊密結(jié)合不可偏廢。關(guān)于這種基本研究