【教案】高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算-1教學(xué)設(shè)計(jì)

1、課程基本信息課題空間向量及其線性運(yùn)算 教科書書名：普通高中教科書 數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(A版) 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 4 月教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：（1）經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念（2）經(jīng)歷由平面向量的線性運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程（3）掌握空間向量的線性運(yùn)算和簡單應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的概念和線性運(yùn)算及其應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的線性運(yùn)算及其應(yīng)用教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動師生問答、共同探究問題1 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念和線性運(yùn)算，你能類比平面向量，給出空間向量的概念和線性運(yùn)算嗎？追問(1)：平面向量是什么的？你能類比平面向量給出

2、空間向量的概念嗎？追問（2）：如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空間向量的表示嗎？追問（3）：從平面向量的概念出發(fā)，我們又學(xué)習(xí)了不少新的概念. 你還記得嗎？有哪些？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？問題2 在學(xué)習(xí)完平面向量的相關(guān)概念以后，我們研究了平面向量的線性運(yùn)算.你能類比平面向量的線性運(yùn)算，得出空間向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律嗎？追問（1）：平面向量的線性運(yùn)算有哪些？我們?nèi)绾窝芯窟@些運(yùn)算？答：平面向量有加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算. 先研究它們的定義及運(yùn)算法則，再研究它們的運(yùn)算律；追問（2）：平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的定義或法則分別是什么？你能類比它們得出空間向量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算的定

3、義或法則嗎？追問（3）：平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律有哪些？你能類比它們得出空間線性運(yùn)算的運(yùn)算律嗎？由于任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移，轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，我們猜想，空間向量的線性運(yùn)算也具有和平面向量線性運(yùn)算相同的運(yùn)算律.數(shù)學(xué)結(jié)論是需要嚴(yán)格證明的, 由合情推理、猜想得到的結(jié)論不一定正確，需要嚴(yán)格證明.追問(4)：空間向量線性運(yùn)算運(yùn)算律的證明，和平面向量有哪些異同？除空間向量加法的結(jié)合律以外，其他運(yùn)算律都可以轉(zhuǎn)化為平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律進(jìn)行證明.結(jié)合律涉及三個(gè)向量，它們可能不在同一個(gè)平面內(nèi).追問（5）如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？如圖，可將空間中任意三個(gè)不共面的向量，通過平移使它們起點(diǎn)

4、重合，分別平移表示表示這三個(gè)向量的線段，構(gòu)成一個(gè)平行六面體. 我們借助這個(gè)平行六面體來證明加法的結(jié)合律.一般地，對于三個(gè)不共面的向量a，b， c，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)， a，b， c為鄰邊作平行六面體，則a，b， c的和等于以O(shè)為起點(diǎn)的平行六面體對角線所表示的向量. 問題3 平面向量的線性運(yùn)算可以解決平面中的很多問題，空間向量的線性運(yùn)算是否可以解決空間中相應(yīng)的問題呢？由平面向量的線性運(yùn)算，我們研究了平面向量的共線及線性表示等問題.追問（1）：你還記得兩個(gè)向量共線的充要條件嗎？這個(gè)充要條件對于空間向量也成立嗎？追問（2）：任意兩個(gè)空間向量都可以通過平移，移到同一平面內(nèi)，三個(gè)向量呢？答：任意兩個(gè)空間向

5、量總是共面的，但三個(gè)空間向量既可能共面，也可能不共面. 追問（3）：你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個(gè)空間向量共面有什么關(guān)系？問題4 如右圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使.求證： E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面.追問(1):如何證明E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面？答：可以通過證明E，F(xiàn)，G，H這四點(diǎn)構(gòu)成的三個(gè)向量，如共面，來證明這四點(diǎn)共面.追問(2):如何證明這三個(gè)向量共面？答：根據(jù)向量共面的充要條件，用表示即可.追問(3):如何實(shí)現(xiàn)上述表示？答：可以根據(jù)三角形法則，把分別用等向量來表示；再利用已知條件，將它們轉(zhuǎn)化用

6、表示的形式.而由已知平行四邊形ABCD，得到，從而可以得到的關(guān)系，進(jìn)一步得到的關(guān)系，最終用用表示.思路小結(jié)：選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運(yùn)算得出幾何元素的關(guān)系是解決立體幾何問題的常用方法.問題5 回顧本節(jié)課的探究過程，你都學(xué)到了什么？1. 從知識層面，我們學(xué)習(xí)了空間向量的有關(guān)概念和線性運(yùn)算.包括空間向量的概念，表示法以及零向量、單位向量、共線向量等相關(guān)概念；我們把平面向量的線性運(yùn)算推廣空間向量，研究了空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的定義、運(yùn)算法則以及運(yùn)算律；通過空間向量的線性運(yùn)算，我們有了直線的方向向量，以及空間中證明向量或點(diǎn)共面的方法.2. 從本節(jié)課的研究方法上來看，我們始終類比平面向量的相關(guān)內(nèi)容，在空間中進(jìn)行推廣，同時(shí)比較它與平面向量的共性和差異，并對差異之處進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，最終，在平面向量的相關(guān)內(nèi)容推廣過程中，既保持了原結(jié)論的延續(xù)性，又保證了新結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)性.原有內(nèi)容的融入到新內(nèi)容中，這種兼