第五章 有心力場中的運動

1、高等動力學(xué)中國礦業(yè)大學(xué)力建學(xué)院力學(xué)系李毅2-1 目 錄第五章 有心力場中的運動 5-1 有心力場的普遍性質(zhì) 5-2 二體問題 5-3 限制性三體問題 2-22-3 有心力場是自然界中最普遍的力場。天體或航天器的運動可簡化為質(zhì)心運動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，即軌道運動和姿態(tài)運動。忽略軌道運動和姿態(tài)運動的耦合作用，可分別獨立研究這兩種運動。5-1 有心力場的普遍性質(zhì)1. 有心力場 質(zhì)點受力F的作用線始終通過慣性空間的固定點O，則稱此力我有心力，點O為力心，有心力構(gòu)成的力場稱為有心力場。O至質(zhì)點的矢徑記為r，有心力F的作用線與r共線。0)()()(rrFmrrFrrrrF 2. 能量積分稱為勢能，稱為能量積分

2、（守恒）rdrrFrVErVmvrrFmvttrrFtmrrFm)()()(1210)()21(dd0)(dd21)()(dd210)(22rrvvvrvv3. 面積積分標(biāo)來研究問題。因此可以采用極坐為軌道平面。平面內(nèi)運動，此平面稱必永遠(yuǎn)在此構(gòu)成的平面，因此質(zhì)點與垂直于量矩。常矢量的動為單位質(zhì)量的質(zhì)點對守恒）。稱為動量矩積分（常矢量）vrLLLvrvrvrrrvrrrOtrrFmrrFm(0)(dd00)(0)( )9 . 1 . 5(2Lr的的標(biāo)量形式：動量矩積分在極坐標(biāo)中為面積積分。因此，動量矩積分又稱為：質(zhì)點的矢徑掃過的面積LrArA2121d21d22來求解此類問題。組成封閉方程組，可

3、用與表示：將能量積分也用極坐標(biāo))12. 1 . 5()9 . 1 . 5()12. 1 . 5()(1)(21222ErVmrr1. 萬有引力場5-2 二體問題。的運動，稱為二體問題兩者的萬有引力作用下外力作用，僅在兩質(zhì)點組成的系統(tǒng)，無，萬有引力常數(shù)。rmmGrVGrrmmGee)(s/kgm1067. 6)(23112rF 將地球和航天器均視作均值球體，根據(jù)上例的分析，可以質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點me和m分別表示地球和航天器。由于mem，可足夠精確地認(rèn)為系統(tǒng)的質(zhì)心O與地球的球心Oe重合。二體問題簡化為只需研究質(zhì)點m在靜止的地球萬有引力作用下的運動。rmrVgmgrmrmmGrFGmmeee)(s

4、/m2.89)(/skm10986. 3kg10976. 522223524。地球表面處稱為地球引力參數(shù)，2. 動力學(xué)方程與初積分來求解。直接積分相結(jié)合的方法初積分與求解此問題，而是使用方法我們不直接使用積分的圖所示。應(yīng)有六個積分常數(shù)。如分方程組，可化為三個二階標(biāo)量微方程，此方程為二階矢量微分為：二體問題的動力學(xué)方程知，由上節(jié))5 . 2 . 5(00)(3rrrrrrrFm )9 . 2 . 5()(0)(dd)()(dd)5 . 2 . 5(33常矢量另一個初積分。由此外。二體問題還存在erLvrLvrrrLvLrLvrrtrtr)7 . 2 . 5()6 . 2 . 5(22：面積積分可

5、由上節(jié)得出二體問題的能量積分和LvrErv)10. 2 . 5(21)2(1)(1)9 . 2 . 5()(22222222ELrvLrerrLveerLv稱為偏心率矢量。積分常數(shù)矢量稱為拉普拉斯積分。常矢量個獨立的廣義坐標(biāo)。軌道面的空間方位的兩是確定與稱為軌道面傾角。傾角與赤道面的為升交點赤經(jīng)，軌道面稱的夾角與，點，記作點稱為升交對應(yīng)于航天器上升的交兩個交點中，軌道與赤道平面相交的點，在沿地球公轉(zhuǎn)軌道的春分軸為赤道平面。沿地球的極軸，其中點建立慣性參考系為原，以為確定軌道平面的位置中是固定的。面，該平面在慣性空間道為平面積積分表明質(zhì)點的軌iiOXONNXYXZZYOXO00000000)(為

6、對稱軸的圓錐曲線。為焦點，且相對于此軌道方程顯然是以稱為半軸參數(shù)。式中參數(shù)軌道方程：從而導(dǎo)出極坐標(biāo)形式的點積：與矢徑偏心率矢量稱為近地點幅角。角，可確定由偏心率矢量erLvrerreeOLpeprrerLr22cos1cos)11(雙曲線拋物線橢圓111eee過近地點時間。重合的時刻，稱為與，即矢徑為式中積分常數(shù)程。此式就是質(zhì)點的運動方積分并分離變量，得到將軌道方程代人動量矩er0)cos1 (d)cos1 (dd02323ptpt道根數(shù)。作為獨立的軌，個是獨立的。通常選擇其中有的存在，有關(guān)系式，稱為軌道根數(shù)，由于，個積分常數(shù)，以上積分過程中出現(xiàn)律。確定二體問題的運動規(guī)方程和時間積分即完全的方

7、位確定后，軌道）和偏心率矢量，軌道平面方位（epiLpELeepiLEi6218222e3. 開普勒運動二體問題描述的運動稱為開普勒運動。從軌道方程：00, 0111)10. 2 . 5(111:cos1EEEeeeeeeeOepr，等價于，判斷，從雙曲線拋物線橢圓的值型取決于偏心率的圓錐曲線。曲線的類為對稱軸矢量為焦點，且相對偏心率可以看出軌道曲線是以ervvE20pp，記作拋物線速度或逃逸速度情形，對應(yīng)的速度稱為界兩種類型軌道之間的臨對應(yīng)的拋物線軌道介于無界。與有界而后者的根本區(qū)別在于：前者橢圓軌道與雙曲線軌道sin)cos1 ()cos1 (2eprLddrddrrvepepLrLrvv

8、vvrr則由動量矩積分得：。和徑向速度分解為周向速度將速度cos21:222eepvvvvr速度2222maxmin1)(1)(212)2/(1)(1)0(eaaeabeprraOprpreprrreprr橢圓短半軸：橢圓長半軸：點的距離。時，質(zhì)點到的幾何意義為，由于點），稱為遠(yuǎn)地點（記為點），稱為近地點（記為橢圓軌道。附近的航天器軌道都是太陽系中的行星，地球3CCCminmax0)1 ()()1 ()0(rrvrvvpbarrreepvvvepvvvCC：，矢徑的角速度稱為圓速度，此時速度時，軌道為圓形，當(dāng)遠(yuǎn)地點速度：近地點速度：為了積分時間積分，引入橢圓中心坐標(biāo)系，如圖所示。dcos11d

9、cos1sin1sincos1coscos)cos1 (sin1sin)(coscossincos222eeeeeeeareayreaaexrbyax軌道方程：為自變量的上式平方和得以長半軸的立方成正比。的平方與軌道定律，即行星運動周期從而證明了開普勒第三：期，導(dǎo)出質(zhì)點橢圓運動周令代人時間積分：30030322)sin(d )cos1 (aTTeaeat4. 軌道的射入與轉(zhuǎn)移cpcccvrvrvvvrpvvevrLrvELE22)()()(1200200200002000拋物線速度圓速度為：，數(shù)，兩者垂直。則積分常和始位置和速度為設(shè)航天器射入軌道的起vr 在質(zhì)點m上作用沖量，使速度產(chǎn)生突變，則

10、軌道根數(shù)發(fā)生改變，質(zhì)點m轉(zhuǎn)移至另一軌道。有夾角。與方向相反，在其它位置與方向一致，在遠(yuǎn)地點與向垂直。在近地點在軌道面內(nèi)且與速度方可以看出：，利用偏心率公式變化心率矢量方向單位矢量。引起偏為速度，其中，引起速率增量方向，引起速度增量設(shè)沖量沿速度eeeeeeeLveeLvLvLvvrvLverLveeevvvvvv000000221)(1)(1vvvvvvrvv的同步圓軌道。，變成以遠(yuǎn)地點為半徑偏心率減為量使，然后在遠(yuǎn)地點施加沖稱為步衛(wèi)星高度的橢圓軌道遠(yuǎn)地點為同然后施加沖量，轉(zhuǎn)移至近地圓軌道，發(fā)射過程設(shè)計為先進入衛(wèi)星的利用此原理，同步地球減小，軌道橢圓更圓。相反，與反在遠(yuǎn)地點，加，軌道橢圓更扁。相

11、增一致，使與在近地點，心率有最好的效果。量對改變偏近地點或遠(yuǎn)地點施加沖由此可以得出結(jié)論：在0)(移軌道霍曼轉(zhuǎn)eeeeeeavaveapaaavavaamcc334)24. 2 . 5(3134)20. 2 . 5(2)2(221，地點速度：點和遠(yuǎn)計算霍曼轉(zhuǎn)移軌道近地利用，可得：，利用和地點距離分別為霍曼轉(zhuǎn)移軌道近地點遠(yuǎn)，的圓軌道速度和在半徑為解：航天器5-3 限制性三體問題體問題。型的限制性三用的航天器運動就是典地球和月球引力共同作體問題。考慮三體問題稱為限制性三中的運動。這種簡化的的共同引力場，在只需要討論作為獨立的二體運動，則可以認(rèn)為的影響可以忽略不計，以至于它對后兩者運動，遠(yuǎn)小于另外兩體

12、的質(zhì)量量若三體問題中有一體質(zhì)分。點運動，不存在解析積引力吸引的質(zhì)題，即三個相互以萬有的最簡單情況。三體問解析積分多體問題中唯一可導(dǎo)出上節(jié)討論的二體問題是212121mmmmmmmm1. 地月軌道體問題。型的限制性三用的航天器運動就是典地球和月球引力共同作體問題?？紤]三體問題稱為限制性三中的運動。這種簡化的的共同引力場，在只需要討論作為獨立的二體運動，則可以認(rèn)為的影響可以忽略不計，以至于它對后兩者運動，遠(yuǎn)小于另外兩體的質(zhì)量量若三體問題中有一體質(zhì)分。點運動，不存在解析積引力吸引的質(zhì)題，即三個相互以萬有的最簡單情況。三體問解析積分多體問題中唯一可導(dǎo)出上節(jié)討論的二體問題是212121mmmmmmmm不

13、重合。與同，開普勒運動。與上節(jié)不作統(tǒng)的質(zhì)心組成二體系統(tǒng)各自繞系，。，月球，滿足分別表示航天器，地球，三個質(zhì)點1212121mOOmmmmmmmmm0)()1 ()1 (322112122122121211221rrrFrFrrFFrrrrrrrmmmmrrmmGmmmmmmm 的微分方程：可以將上式化為，的動力學(xué)方程為：，為：受到的引力則的矢徑為：到設(shè)勒運動都是圓運動。，可以認(rèn)為這三種開普極小，由于月球軌道的偏心率為焦點的開普勒運動。也分別是以的運動相對質(zhì)心和而為焦點的開普勒運動，的運動是以相對致。表明體問題的動力學(xué)方程一三種動力學(xué)方程均與二，分別為：，式中常數(shù)，的微分方程：，也可化為055.

14、 0)()()(002111222131222132121212322131121eOOmmmmmmmGmmmGmmmGrrrrrrrr 23213130021212112212121221121222)32. 2 . 5(aaaTTaaaOmmammmaammmaaaarararOmm導(dǎo)出。從式同的周期相為半徑的三種圓運動有，以三點保持共線，因此和，由于，且有，均保持恒定，即三點的距離和，因此，2. 萬有引力場勢函數(shù))(),(2)(22112121213223113021212121mVmmVmmmyxmmmaaaTzmmaaxmmzmmxOxyzOc場勢函數(shù)的代數(shù)和。各自引力，等于的勢函數(shù)

15、的共同引力場內(nèi)，在質(zhì)點內(nèi)運動的簡單情形。的軌道面，在只討論質(zhì)點：軸勻速轉(zhuǎn)動，角速度為的圓軌道運動而繞，此坐標(biāo)系隨。和軸上的坐標(biāo)分別為在，沿軌道平面的法線。軸的連線，沿，令軸為原點建立動坐標(biāo)系以)()()()(212222222211112211jiFFyVxVVmmmyaxGmyaxGmmV的梯度表示為：可利用勢函數(shù)的萬有引力系統(tǒng)對質(zhì)點，式中：3. 動力學(xué)方程與初積分yVyxyxVxyxttmmcccc222222dd2)(dd 學(xué)方程：影，得標(biāo)量形式的動力將矢量方程在坐標(biāo)軸投：速度和科氏加速度表示用相對加速度，牽連加將絕對加速度動的動力學(xué)方程為：在二體萬有引力場中運質(zhì)點Fccc)(2)17.

16、 3 . 5(12222222122222yxmVVmmmVEVmvmyxvyxtyVyxyxVxyxccccc合成的相對勢能，系的離心力場的萬有引力場及動坐標(biāo)，由為質(zhì)點式中度：在動坐標(biāo)系內(nèi)的相對速為質(zhì)點令。后相加，得到全微分式和式分別乘以廣義能量積分存在。兩，有雅可比積分即均不顯含時間由于系統(tǒng)的動能和勢能 會變大）。能的區(qū)域（注意到遠(yuǎn)處勢，質(zhì)點不可能運動到機械能于給定的總是等勢能曲線，顯然對。事實上，希爾曲線就為為參數(shù)的邊界曲線，稱，即得到以中令式邊界與零速度相對應(yīng)。為正值，此運動范圍的證內(nèi)才能保必須限制在確定的范圍給定后，質(zhì)點總機械能可寫為：必為負(fù)值。，初始速度不夠大時由于狀態(tài)。械能，取決

17、于初始運動為單位質(zhì)量質(zhì)點的總機積分常數(shù)恒。坐標(biāo)系運動的機械能守表示質(zhì)點相對勻速旋轉(zhuǎn)積分EVEEvvmEEyxvEVEc曲線希爾)G.W.Hill,(0)19. 3 . 5()19. 3 . 5()(21 2)17. 3 . 5(0)17. 3 . 5(222222112的運動范圍不受限制。時，質(zhì)點當(dāng)初速度增大到連通。部區(qū)域逐漸擴大到互相的局和其運動范圍從圍繞的增大，逐漸增大時，隨著始當(dāng)質(zhì)點的初速度從零開021EmmE4. 相對平衡位置及穩(wěn)定性)21. 3 . 5(0)21. 3 . 5(0)20. 3 . 5(0)()20. 3 . 5(0)()()(3223112322311232223111221baybyaaxaxxyxmmmsscssscsssssscss由第二式得兩組解：令速度和加速度均為零點，在動力學(xué)方程中，。為求平衡，平衡的位置，記作可能存在相對動坐標(biāo)面場的共同作用下，的萬有引力場和離心力，在質(zhì)點322231113211122322231112)20. 3 . 5()22. 3 . 5(0)(0)0(0)0(0)0(0)0(0)()22. 3 . 5(0)