NBA賽程的分析與評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)建模論文

1、nba賽程的分析與評(píng)價(jià)摘 要本文首先綜合考慮了nba上個(gè)賽季的賽程、賽績(jī)和本賽季的賽程確定出賽程對(duì)球隊(duì)利弊的三個(gè)主要影響因素，并對(duì)其進(jìn)行了定量分析。其次利用偏大型柯西分部隸屬函數(shù)確定主要影響因素的權(quán)值，給出了一個(gè)利弊的評(píng)價(jià)指標(biāo)利弊指數(shù)，并計(jì)算了各球隊(duì)的利弊指數(shù)值。從得到的結(jié)果看本次賽程對(duì)火箭隊(duì)而言是比較有利的，其中最有利的球隊(duì)是凱爾特人隊(duì)，最不利的是快船隊(duì)。對(duì)于問題三，基于公平性和觀賞性考慮，同部不同區(qū)球隊(duì)實(shí)力盡可能懸殊的隊(duì)盡可能少賽（賽3場(chǎng)）。由此建立0-1規(guī)劃模型，并利用lindo軟件求解出了賽3場(chǎng)球隊(duì)的最優(yōu)選取方案。關(guān)鍵詞：隸屬函數(shù) 利弊指數(shù) 0-1規(guī)劃一.問題的重述nba賽程的安排對(duì)球

2、隊(duì)實(shí)力的發(fā)揮和戰(zhàn)績(jī)存在著客觀的影響，但編制一個(gè)完整的、對(duì)各球隊(duì)盡可能公平的賽程是一件非常復(fù)雜的事情。為了更直觀的體現(xiàn)出這些客觀因素的存在，利用數(shù)學(xué)建模方法對(duì)20082009年的賽季安排表進(jìn)行定量的分析與評(píng)價(jià)：1）確定出賽程對(duì)某一支球隊(duì)的利弊的主要影響因素，根據(jù)所確定的因素將賽程轉(zhuǎn)換為便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的數(shù)字格式，同時(shí)給出評(píng)價(jià)賽程利弊的數(shù)量指標(biāo)。2）按照1）的結(jié)果計(jì)算、分析賽程對(duì)火箭隊(duì)的利弊，并找出賽程對(duì)30支球隊(duì)最有利和最不利的球隊(duì)。3）對(duì)20082009年的賽季安排表進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，每支球隊(duì)與同區(qū)的每一支球隊(duì)賽4場(chǎng)（主客各2場(chǎng)），與不同部的每一球隊(duì)賽2場(chǎng)（主客各1場(chǎng)），與同部不同區(qū)的每一球隊(duì)

3、有賽4場(chǎng)和賽3場(chǎng)（2主1客或2客1主）兩種情況，每支球隊(duì)的主客場(chǎng)數(shù)量相同且同部3個(gè)區(qū)的球隊(duì)間保持均衡。試根據(jù)賽程找出與同部不同區(qū)球隊(duì)比賽中，選取賽3場(chǎng)的球隊(duì)的方法。這種方法如何實(shí)現(xiàn)，對(duì)該方法給予評(píng)價(jià)，也可以給出認(rèn)為合適的方法。二.問題分析問題1首先應(yīng)綜合分析上一賽季的賽績(jī)和本次賽季的賽程確定賽程對(duì)球隊(duì)利弊的主要影響因素，其次要確定影響因素權(quán)值；根據(jù)本次賽場(chǎng)各球隊(duì)的影響指標(biāo)，對(duì)東西聯(lián)盟的30支球隊(duì)進(jìn)行排序。問題2根據(jù)上一問所得的結(jié)果，重點(diǎn)分析賽程對(duì)火箭隊(duì)的利弊及賽程對(duì)那個(gè)隊(duì)是最有利的，對(duì)那個(gè)隊(duì)是最不利的。問題3要對(duì)本季賽程進(jìn)行分析，選取與同部不同區(qū)球隊(duì)比賽中，賽3場(chǎng)的球隊(duì)的方法，同時(shí)也可以給出認(rèn)

4、為合適的方法。通過對(duì)賽程安排的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)賽3場(chǎng)的4個(gè)球隊(duì)是平均分部在同部不同區(qū)的,根據(jù)對(duì)對(duì)手實(shí)力的分析發(fā)現(xiàn)差異較大,所以可以說是隨機(jī)安排賽3場(chǎng)的球隊(duì)雙方。這在考慮每年球隊(duì)實(shí)力有所變化的前提下也是合理的。而以一般規(guī)律賽3場(chǎng)對(duì)對(duì)手雙方是最不公平的，若安排實(shí)力相當(dāng)?shù)那蜿?duì)打3場(chǎng)，則必對(duì)某一方不利，若安排實(shí)力相差較大的球隊(duì)賽3場(chǎng)就可以把此不利因素降到最底，畢竟影響勝負(fù)的關(guān)鍵還是實(shí)力。因此，我們采用0-1規(guī)劃法給出一種選取方法，重新安排賽3場(chǎng)的球隊(duì)。最后對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。三.模型假設(shè)1） 假設(shè)2008-2009賽季各隊(duì)的實(shí)力不發(fā)生改變；2） 假設(shè)兩球隊(duì)在比賽時(shí)，客隊(duì)趕往賽場(chǎng)的這一過程對(duì)實(shí)力不產(chǎn)生影響；

5、3） 假設(shè)不考慮連續(xù)兩場(chǎng)在客場(chǎng)比賽和連續(xù)兩場(chǎng)同強(qiáng)隊(duì)比賽對(duì)賽績(jī)所產(chǎn)生的影響；4） 假設(shè)東西部之間整體實(shí)力相等；5） 假設(shè)賽程是在一些公平的約束下產(chǎn)生的，不存在人為偏袒因素。四.符號(hào)說明表示第j個(gè)球隊(duì)連續(xù)兩天內(nèi)都有比賽的次數(shù)。表示第j個(gè)球隊(duì)連續(xù)在客場(chǎng)比賽三場(chǎng)或三場(chǎng)以上的次數(shù)。表示第j個(gè)球隊(duì)連續(xù)同三個(gè)或三個(gè)以上的強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)。表示第個(gè)影響因素權(quán)重。s表示賽程對(duì)球隊(duì)利弊的數(shù)量指標(biāo)利弊指數(shù)表示某球隊(duì)第個(gè)影響因素值。表示第個(gè)球隊(duì)第個(gè)影響因素值表示東南區(qū)第個(gè)球隊(duì)的勝率。表示大西洋區(qū)第個(gè)球隊(duì)的勝率。表示中部區(qū)第個(gè)球隊(duì)的勝率。表示選取東南區(qū)球隊(duì)和大西洋區(qū)球隊(duì)比賽的場(chǎng)次。表示選取東南區(qū)球隊(duì)和中部區(qū)球隊(duì)比賽的場(chǎng)次

6、。表示東南區(qū)每個(gè)球員對(duì)大西洋區(qū)每個(gè)球員的實(shí)力差矩陣。表示東南區(qū)每個(gè)球員對(duì)中部區(qū)每個(gè)球員的實(shí)力差矩陣。 表示東南區(qū)的每個(gè)球隊(duì)對(duì)大西洋區(qū)和中部區(qū)每個(gè)球隊(duì)賽3場(chǎng)的實(shí)力差之和。五.模型的建立與求解5.1.1確定主要影響因素 通過對(duì)nba以往比賽的賽程和賽績(jī)進(jìn)行分析，認(rèn)為nba賽程對(duì)30支球隊(duì)的影響是客觀存在的事實(shí)，通過對(duì)以往賽程和賽績(jī)的分析確定主要的客觀影響因素包括三個(gè)方面，即連續(xù)客場(chǎng)的次數(shù)、背靠背的次數(shù)及連續(xù)同強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)。1、 連續(xù)客場(chǎng)的次數(shù)客場(chǎng)指的是球隊(duì)在其他球隊(duì)場(chǎng)地上比賽考慮到天時(shí)地利及人和的關(guān)系，連續(xù)3場(chǎng)或3場(chǎng)以上在客場(chǎng)比賽必定對(duì)球隊(duì)的利弊存在影響。2、背靠背的次數(shù)背靠背指的是連續(xù)兩天都參

7、加比賽，考慮到球員們的體質(zhì)、體力的關(guān)系，背靠背的多少必定影響到球隊(duì)最終的賽績(jī)。3、連續(xù)同強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)連續(xù)同強(qiáng)隊(duì)比賽指的是連續(xù)3場(chǎng)或3場(chǎng)以上同強(qiáng)隊(duì)比賽，考慮到隊(duì)員們心理、體力等因素的關(guān)系，對(duì)手強(qiáng)弱對(duì)球隊(duì)的實(shí)力發(fā)揮和今后的賽事存在客觀的影響。5.1.2 球隊(duì)實(shí)力的確定根據(jù)各球隊(duì)2007-2008的賽績(jī)表中的勝率指標(biāo)，對(duì)球隊(duì)實(shí)力按從強(qiáng)到弱依次排列表1，為了使球隊(duì)的強(qiáng)弱指標(biāo)便于量化，將排列名次進(jìn)行簡(jiǎn)化（前15只球隊(duì)分為強(qiáng)隊(duì)，后15個(gè)球隊(duì)分為弱隊(duì)），來做為連續(xù)同強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)的衡量尺度。表1 球隊(duì)強(qiáng)弱排列表名次12345678球隊(duì)凱爾特人活塞湖人馬刺黃蜂火箭太陽(yáng)爵士名次9101112131415球隊(duì)魔

8、術(shù)小牛掘金勇士騎士奇才開拓者名次1617181920212223球隊(duì)猛龍76人國(guó)王老鷹步行者藍(lán)網(wǎng)公牛山貓名次24252627282930球隊(duì)雄鹿尼克斯快船灰熊森林狼超音速熱火5.1.3賽程格式轉(zhuǎn)換及球隊(duì)各影響因素值確定為了把附錄1（20082009）賽程轉(zhuǎn)換為便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的數(shù)字格式，首先把賽期進(jìn)行數(shù)字替換再將球隊(duì)進(jìn)行編號(hào)（具體的編號(hào)按照表2），我們就可以將賽程進(jìn)行數(shù)字轉(zhuǎn)換，再利用excel對(duì)影響因素值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到表2（各球隊(duì)各影響因素值的統(tǒng)計(jì)表）；表2 各球隊(duì)各影響因素值的統(tǒng)計(jì)表編號(hào) 影響因素隊(duì)名背靠背的次數(shù)連續(xù)客場(chǎng)的次數(shù)連續(xù)同強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)1魔術(shù)16442奇才18423老鷹22674山貓

9、21555熱火19436凱爾特人16337猛龍1564876人21459籃網(wǎng)203610尼克斯195511活塞165312騎士164313步行者204614公牛154615雄鹿215616黃峰177917馬刺165718火箭154519小牛157620灰熊164821爵士215622掘金184423開拓者167424森林狼2251025超音速175626湖人195527太陽(yáng)196828勇士147729國(guó)王226530快船2166為了便于表2中每一列數(shù)據(jù)做統(tǒng)一的比較，首先用極差規(guī)范化方法分別對(duì)相應(yīng)的影響因素值作相應(yīng)的規(guī)范化處理，背靠背的次數(shù)規(guī)范化后： （1）其中表示第j個(gè)球隊(duì)連續(xù)兩天內(nèi)都有比賽的

10、次數(shù)。連續(xù)客場(chǎng)的次數(shù)規(guī)范化后： （2）其中表示第j個(gè)球隊(duì)連續(xù)在客場(chǎng)比賽三場(chǎng)或三場(chǎng)以上的次數(shù)。連續(xù)同強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)規(guī)范化后： （3） 其中表示第j個(gè)球隊(duì)連續(xù)同三個(gè)或三個(gè)以上的強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)。 （1）（2）（3）式經(jīng)計(jì)算后可以得到規(guī)范化后各球隊(duì)各影響因素的值,見表3;表3 各球隊(duì)各影響因素規(guī)范化后值表編號(hào)影響因素球隊(duì)背靠背的次數(shù)規(guī)范化后的值連續(xù)客場(chǎng)的次數(shù)規(guī)范化后的值連續(xù)同強(qiáng)隊(duì)比賽的次數(shù)規(guī)范后的值1魔術(shù)0.250.250.172奇才0.50.2503老鷹10.750.674山貓0.8750.50.335熱火0.6250.2506凱爾特人0.25007猛龍0.1250.750.17876人0.8750

11、.250.339籃網(wǎng)0.7500.510尼克斯0.6250.50.3311活塞0.250.5012騎士0.250.25012騎士0.250.25013步行者0.750.250.514公牛0.1250.250.515雄鹿0.8750.50.516黃峰0.3751117馬刺0.250.50.6718火箭0.1250.250.3319小牛0.12510.520灰熊0.250.250.83321爵士0.8750.50.522掘金0.50.250.1723開拓者0.2510.1724森林狼10.5125超音速0.3750.50.526湖人0.6250.45450.3327太陽(yáng)0.6250.45450.8

12、328勇士00.27270.6729國(guó)王10.36360.3330快船0.8750.36360.55.1.4 確定影響因素的權(quán)重首先對(duì)所確定的主要影響因素進(jìn)行量化處理,從而給出影響因素的量化值,不妨設(shè)強(qiáng)度集為很強(qiáng),較強(qiáng),強(qiáng),稍強(qiáng),不強(qiáng),對(duì)應(yīng)的數(shù)值為5,4,3,2,1。根據(jù)實(shí)際情況取偏大型柯西分布隸屬函數(shù) （4）其中為待定系數(shù)，實(shí)際上強(qiáng)度為“很強(qiáng)”時(shí)則隸屬度為1，即=1；當(dāng)強(qiáng)度為“強(qiáng)”時(shí)，則隸屬度為0.8，即；當(dāng)強(qiáng)度為“沒有”時(shí)，則認(rèn)為隸屬度為0.01，即；于是可以確定出，。將其代入（6）式可得隸屬函數(shù)； （5）經(jīng)計(jì)算則強(qiáng)度集很強(qiáng),強(qiáng),較強(qiáng),稍強(qiáng),不強(qiáng)的量化值為（1，0.9126，0.8，0.5

13、245，0.01）。利用此量化值對(duì)影響因素進(jìn)行賦權(quán)處理結(jié)果見表4；表4 影響因素的權(quán)值表影響因素背靠背有比賽連續(xù)3場(chǎng)及以上客場(chǎng)連續(xù)3場(chǎng)及以上強(qiáng)隊(duì)賦予值很強(qiáng)強(qiáng)比較強(qiáng)隸屬值10.80.9126歸一后權(quán)值0.370.290.345.1.5建立利弊數(shù)量指標(biāo)綜合考慮以上影響因素，可以建立賽程對(duì)球隊(duì)利弊的數(shù)量指標(biāo)利弊指數(shù)，記為s； （6）其中為某球隊(duì)第個(gè)影響因素值，為第個(gè)影響因素權(quán)重。利用表3，建立各球隊(duì)各影響因素值矩陣： 其中為第個(gè)球隊(duì)第個(gè)影響因素值。取表4歸一后的權(quán)向量：則賽程對(duì)每支球隊(duì)利弊指數(shù)為： (7)則的值越大表示賽程對(duì)球隊(duì)越不利，反之則越有利。利用matlab軟件計(jì)算，將計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行從小到大

14、排列，結(jié)果見表5；表5 賽程對(duì)每支球隊(duì)利弊指標(biāo)組合權(quán)向量表名次球隊(duì)名次球隊(duì)1凱爾特人0.092516馬刺0.46532騎士0.16517湖人0.47533魔術(shù)0.222818尼克斯0.48854火箭0.230919小牛0.50625活塞0.23752076人0.50846奇才0.257521步行者0.527公牛0.288822山貓0.58098熱火0.303823國(guó)王0.58769勇士0.306924快船0.599210掘金0.315325雄鹿0.638811猛龍0.321626爵士0.638812開拓者0.440327太陽(yáng)0.645313籃網(wǎng)0.447528黃峰0.768814灰熊0.448

15、229老鷹0.815315超音速0.453730森林狼0.8555.2 問題二賽程的編制是很難確保對(duì)每支球隊(duì)都是公平的，因?yàn)樵诰幹频倪^程只能考慮主要的影響因素，所以對(duì)于球隊(duì)而言利弊是不可能完全一樣，即球隊(duì)與球隊(duì)之間在利弊方面存在一個(gè)量化差值，表1.4.1（賽程對(duì)球隊(duì)利弊主影響因素的組合權(quán)向量表）正是為了反映出這一量化差值，分析表中的數(shù)據(jù)可得：1) 每支球隊(duì)的值都存在差異（量化差值），但從總體上看值波動(dòng)不會(huì)很大，表明20082009年的賽程安排對(duì)于球隊(duì)而言是比較公平的。2) 火箭隊(duì)的值名列第四，表明20082009年的賽程安排對(duì)火箭隊(duì)比較有利的。其中最有利的是凱爾特人隊(duì)，最不利的是森林狼隊(duì)。5.

16、3 問題三模型的建立與求解5.3.1賽3場(chǎng)球隊(duì)選取的分析綜合分析20072008年的賽程安排和20082009年的賽程安排，得出以下結(jié)論；1) 根據(jù)資料得知，賽3場(chǎng)和賽4場(chǎng)的球隊(duì)選取是隨機(jī)的，所以對(duì)陣雙方實(shí)力有懸殊的，也有接近的，無(wú)固定規(guī)律可尋。2) 同部每支球隊(duì)與另外兩個(gè)區(qū)（不包括自己所在的區(qū)）的4隊(duì)之間進(jìn)行3場(chǎng)比賽，而且每個(gè)區(qū)正好各2隊(duì)。5.3.2 選隊(duì)方法的設(shè)計(jì)筆者認(rèn)為在一般情況下實(shí)力懸殊的比賽精彩程度底于實(shí)力相當(dāng)?shù)谋荣?。所以考慮到比賽的觀賞性和賽程的公平性，認(rèn)為從總體上來說實(shí)力懸殊很大的球隊(duì)之間盡可能少打賽3場(chǎng)，而實(shí)力相當(dāng)?shù)谋荣惐M可能多打賽4場(chǎng)?，F(xiàn)以東部的東南區(qū)對(duì)大西洋區(qū)和中部區(qū)比賽3

17、場(chǎng)的隊(duì)伍選取為例進(jìn)行設(shè)計(jì)。根據(jù)結(jié)論1，計(jì)算出東南區(qū)的球隊(duì)對(duì)大西洋區(qū)和中部區(qū)的實(shí)力差的絕對(duì)值矩陣為： 其中表示東南區(qū)第個(gè)球隊(duì)的勝率,表示大西洋區(qū)第個(gè)球隊(duì)的勝率,表示中部區(qū)第個(gè)球隊(duì)的勝率。引入0-1變量和，若選取東南區(qū)球隊(duì)和大西洋區(qū)球隊(duì)比賽3場(chǎng)，記=1，若選取東南區(qū)球隊(duì)和大西洋區(qū)球隊(duì)比賽4場(chǎng)則記=0，若選取東南區(qū)球隊(duì)和中部區(qū)球隊(duì)比賽3場(chǎng)，記=1，若選取東南區(qū)球隊(duì)和中部區(qū)球隊(duì)比賽4場(chǎng)則記=0。根據(jù)結(jié)論2，和應(yīng)該滿足以下的約束條件:,當(dāng)選取東南區(qū)球隊(duì)和大西洋區(qū)球隊(duì)比賽3場(chǎng)或選取東南區(qū)球隊(duì)和中部區(qū)球隊(duì)比賽3場(chǎng)則兩個(gè)球隊(duì)間的差值為和于是該問題的目標(biāo)函數(shù)為： 綜上，這個(gè)問題的0-1規(guī)劃模型可寫作： （8）根

18、據(jù)題目所給的附錄2（2007-2008年nba的賽績(jī)）計(jì)算出東南區(qū)每個(gè)球員對(duì)大西洋區(qū)每個(gè)球員的實(shí)力差矩陣和東南區(qū)每個(gè)球員對(duì)中部區(qū)每個(gè)球員的實(shí)力差矩陣：利用lindo軟件對(duì)0-1規(guī)劃模型進(jìn)行求解，求解程序及具體結(jié)果見附錄1，表6為整理后的數(shù)據(jù)；表6魔術(shù)奇才老鷹山貓熱火凱爾特人44334猛龍4443376人44343藍(lán)網(wǎng)33444尼克斯33444活塞44433騎士44433步行者43344公牛33444雄鹿34344同樣利用此模型對(duì)其它兩個(gè)區(qū)的選擇進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果見附錄2。因?yàn)槲鞑康倪x擇原則和東部一樣，所以不進(jìn)行具體的排列。5.3.3 對(duì)所設(shè)計(jì)的選隊(duì)方法進(jìn)行評(píng)價(jià)利用lindo軟件求解的結(jié)果顯示實(shí)

19、力差最大值為=4.758利用z對(duì)賽程進(jìn)行評(píng)價(jià)，首先根據(jù)題目所給的附錄1（2008-2009賽程安排）統(tǒng)計(jì)出東南區(qū)球隊(duì)和中部區(qū)球隊(duì)比賽3場(chǎng)和東南區(qū)球隊(duì)和中部區(qū)球隊(duì)比賽3場(chǎng)的安排表，見表3.2表7魔術(shù)奇才老鷹山貓熱火凱爾特人43434猛龍4344376人34344籃網(wǎng)34434尼克斯44343活塞34344騎士34434步行者43443公牛44334雄鹿43443根據(jù)結(jié)果容易計(jì)算出東南區(qū)的每個(gè)球隊(duì)對(duì)大西洋區(qū)和中部區(qū)每個(gè)球隊(duì)賽3場(chǎng)的實(shí)力差之和=3.156。= 4.758-3.156=1.6020顯然2008-2009賽程計(jì)算出來的值小于利用0-1規(guī)劃計(jì)算所得的值，所以在考慮到觀賞性和公平性的角度下，

20、利用0-1規(guī)劃計(jì)算所得的結(jié)果顯得更為合理。六.模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：賽程對(duì)球隊(duì)的利弊影響的穩(wěn)定性是不確定的，具有模糊性。本文討論了賽程對(duì)球隊(duì)的利弊影響的主要因素并進(jìn)行了定量分析，使用隸屬函數(shù)對(duì)影響因素進(jìn)行賦權(quán)處理，能夠較好的反映賽程對(duì)球隊(duì)的利弊影響的實(shí)際情況，是一種實(shí)際可行的方法，值得推廣應(yīng)用。缺點(diǎn)：在討論確定賽程對(duì)球隊(duì)的利弊影響的主要因素時(shí)有一定的局限性和一定的主觀性。七參考文獻(xiàn)1 nba賽程的安排表ol. 2 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，2025.3 姜啟源，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2003.4 謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與liodo/lingo軟件，北京：清華大學(xué)出

21、版社，2005.5 拉克唐瓦爾德，數(shù)值方法和matlab實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004附錄2nba賽程的分析與評(píng)價(jià)摘要nba是全世界籃球迷們最鐘愛的賽事之一，而一個(gè)完整、對(duì)各球隊(duì)盡可能公平的賽程是一件非常重要的事情。在本題中，我們通過建立數(shù)學(xué)模型對(duì)2008-2009新賽季常規(guī)賽的賽程安排進(jìn)行了定量的分析與評(píng)價(jià)。在問題一中，為了分析賽程對(duì)某一支球隊(duì)的利弊，我們考慮到下列因素：（1）：比賽時(shí)間間隔的均勻度：由于比賽時(shí)間是一定的，每一支球隊(duì)所要打比賽的總場(chǎng)數(shù)也是一定的。比賽分配越均勻，球員才有足夠的時(shí)間來休息調(diào)整，而如果連續(xù)的打比賽或連續(xù)休息都不是好的選擇。（2）計(jì)算“背靠背”的個(gè)數(shù)：連

22、續(xù)兩天打比賽是對(duì)球員極大的挑戰(zhàn)，球員體能將有極大的消耗。（3）連續(xù)地遭遇強(qiáng)手：這樣也會(huì)嚴(yán)重消耗球員的體能，使球隊(duì)處于疲勞狀態(tài)，影響下面的比賽。（4）連續(xù)的客場(chǎng)比賽。而對(duì)以上四個(gè)因素的衡量，我們分別用（a）方差衡量時(shí)間間隔的均勻度：,并在matlab中實(shí)現(xiàn)（見附錄 2）；(b)在matlab中編程計(jì)算出各球隊(duì)“背靠背”總數(shù)來衡量此因素（見附錄 3）；（c）用連續(xù)函數(shù)來衡量連續(xù)遭遇強(qiáng)隊(duì)的指標(biāo)：（見附錄 4）；（d）同樣用連續(xù)函數(shù)表示連續(xù)的客場(chǎng)之旅：（見附錄 5）。最后我們用層次分析法，通過分析、計(jì)算及一致性檢驗(yàn)給出四個(gè)因素的一個(gè)合理性數(shù)量指標(biāo)，分別為：0.290771 0.305694 0.200

23、367 0.203168，并且將這些因素轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)公式：在問題二中，我們根據(jù)第一問的計(jì)算結(jié)果對(duì)30個(gè)隊(duì)進(jìn)行利弊的總排序，順序見表（8），從而找出賽程對(duì)魔術(shù)隊(duì)最有利，對(duì)森林狼隊(duì)最不利，并可以分析出此次賽程的安排對(duì)姚明所在的火箭隊(duì)也不利。對(duì)于問題三，我們通過對(duì)0405，0506，0809五年中，各球隊(duì)的賽程安排進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)了nba聯(lián)盟對(duì)同部異區(qū)打三場(chǎng)或是四場(chǎng)比賽的安排是采取以五年為一個(gè)周期的特定模式來循環(huán)進(jìn)行的,我們通過“鐘盤”模型加以實(shí)現(xiàn)；同時(shí)我們另外給出了一種編排方法，得到的結(jié)果比nba的實(shí)際編排結(jié)果均衡性更好、也易于實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：綜合評(píng)價(jià)模型 層次分析法 方差 矩陣變換 1.問題的重述nb

24、a是全世界籃球迷們最鐘愛的賽事之一，姚易加盟以后更是讓中國(guó)球迷寵愛有加。nba共有30支球隊(duì)，西部聯(lián)盟、東部聯(lián)盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3個(gè)區(qū)，東部分東南、中部和大西洋3個(gè)區(qū)，每區(qū)5支球隊(duì)。對(duì)于2008-2009新賽季，常規(guī)賽階段從2008年10月29日（北京時(shí)間）直到2009年4月16日，在這5個(gè)多月中共有1225場(chǎng)賽事，每支球隊(duì)要進(jìn)行82場(chǎng)比賽。 對(duì)于nba這樣龐大的賽事，編制一個(gè)完整的、對(duì)各球隊(duì)盡可能公平的賽程是一件非常復(fù)雜的事情，賽程的安排對(duì)球隊(duì)實(shí)力的發(fā)揮和戰(zhàn)績(jī)有一定的影響，本題要求我們用數(shù)學(xué)建模方法對(duì)已有的賽程進(jìn)行定量的分析與評(píng)價(jià)：（1）為了分析賽程對(duì)某一

25、支球隊(duì)的利弊，要考慮那些因素，并且根據(jù)這些因素將賽程轉(zhuǎn)換為便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的數(shù)字格式，并給出評(píng)價(jià)賽程利弊的數(shù)量指標(biāo)。（2）按照1的結(jié)果計(jì)算、分析賽程對(duì)姚明加盟的火箭隊(duì)的利弊，并找出賽程對(duì)30支球隊(duì)最有利和最不利的球隊(duì)。（3）分析賽程可以發(fā)現(xiàn)，每支球隊(duì)與同區(qū)的每一球隊(duì)賽4場(chǎng)（主客各2場(chǎng)），與不同部的每一球隊(duì)賽2場(chǎng)（主客各1場(chǎng)），與同部不同區(qū)的每一球隊(duì)有賽4場(chǎng)和賽3場(chǎng)（2主1客或2客1主）兩種情況，每支球隊(duì)的主客場(chǎng)數(shù)量相同且同部3個(gè)區(qū)的球隊(duì)間保持均衡。試根據(jù)賽程找出與同部不同區(qū)球隊(duì)比賽中，選取賽3場(chǎng)的球隊(duì)的方法。這種方法如何實(shí)現(xiàn)，對(duì)該方法給予評(píng)價(jià)，也可以給出你認(rèn)為合適的方法。2.問題的分析我們經(jīng)常

26、會(huì)聽到或看到球員、教練和媒體對(duì)nba賽程的抱怨或評(píng)論，說明賽程的安排對(duì)球隊(duì)實(shí)力的發(fā)揮和戰(zhàn)績(jī)有一定的影響，因此nba賽程的安排中存在一定的不公平性與不合理性。問題一要求我們找出賽程安排對(duì)球隊(duì)利弊的影響因素，并將賽程轉(zhuǎn)換為便于數(shù)學(xué)處理的數(shù)字格式，最后給出評(píng)價(jià)賽程利弊的數(shù)量指標(biāo)。（1）每一支球隊(duì)的比賽時(shí)間和總場(chǎng)數(shù)是一定的，因此比賽的時(shí)間間隔應(yīng)該越均勻越好，我們將此考慮為一個(gè)因素，用方差對(duì)其進(jìn)行定量描述，此過程在matlab中實(shí)現(xiàn)。（2）“背靠背”是指連續(xù)進(jìn)行兩場(chǎng)的比賽，這種對(duì)陣模式對(duì)球員的體能有很大的要求尤其是客場(chǎng)的“背靠背”，我們以每一支球隊(duì)“背靠背”的總數(shù)作為衡量此因素的指標(biāo)，通過數(shù)據(jù)處理，我們

27、在matlab中實(shí)現(xiàn)了此因素的數(shù)量化（見附錄3 ）。 （3）如果一支球隊(duì)連續(xù)地遭遇強(qiáng)手，體能勢(shì)必會(huì)有很大的消耗，進(jìn)而影響下面的比賽，所以這也是一個(gè)不容忽視的因素，而要描述這一特性，我們構(gòu)造出一個(gè)連續(xù)函數(shù)，當(dāng)取值越大時(shí)（即連續(xù)對(duì)陣強(qiáng)手的強(qiáng)度越大時(shí)），的值越接近1，以此作為這一因素的數(shù)據(jù)衡量，此過程在matlab中實(shí)現(xiàn)（見附錄2 ）。（4）連續(xù)的客場(chǎng)比賽，對(duì)球員的體能將是另一個(gè)嚴(yán)峻考驗(yàn)，我們同樣用一個(gè)函數(shù)來描述這一因素，原理同（3），當(dāng)取值越大時(shí)，（即連續(xù)客場(chǎng)作戰(zhàn)次數(shù)越多時(shí)），的值越接近1，我們通過matlab程序得到了這一因素的數(shù)據(jù)衡量（見附錄4）。最后我們用層次分析法給每一個(gè)因素一個(gè)權(quán)重作為評(píng)

28、價(jià)賽場(chǎng)利弊的數(shù)量指標(biāo)，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)公式。對(duì)于問題二，我們根據(jù)第一問的計(jì)算結(jié)果直接對(duì)30個(gè)隊(duì)的賽程安排情況進(jìn)行一個(gè)利弊排序，從而找出30支球隊(duì)中賽程安排最有利和最不利的隊(duì)伍，并且具體分析了對(duì)姚明所在火箭隊(duì)的影響。問題三共分為3小問：（1）是要根據(jù)找出同部不同區(qū)比賽選取賽三場(chǎng)球隊(duì)的方法，我們從nba官網(wǎng)下載到從04年到09年這五年nba各球隊(duì)的賽程安排，并篩選出0809賽季與同部不同區(qū)要打三場(chǎng)比賽的球隊(duì)，并以此往前推，我們發(fā)現(xiàn)nba聯(lián)盟對(duì)采用一定規(guī)律且以五年為周期循環(huán)的方法安排，并給出實(shí)現(xiàn)方法；（2）是要評(píng)價(jià)該方法；（3）是要給出一種我們認(rèn)為更合理的方法。3.模型的假設(shè)（1）賽程自設(shè)定之日起將

29、不再改變。（2）而對(duì)于時(shí)差、氣候、路程、主客場(chǎng)造成的心理影響及節(jié)假日有無(wú)比賽安排等因素我們不予考慮。（3）由于交通日益發(fā)達(dá)，旅途舒適度上升，所以賽程安排中的旅途問題我們不予考慮。（4）對(duì)球隊(duì)強(qiáng)弱的衡量，我們以30支球隊(duì)的綜合實(shí)力排行榜為據(jù)（從nba中國(guó)官方網(wǎng)站獲?。?。（5） 在連續(xù)遭遇強(qiáng)隊(duì)這一因素中，我們以實(shí)力排行榜前10名作為強(qiáng)隊(duì)。（6） “背靠背”是指連續(xù)兩場(chǎng)對(duì)陣，不分主客場(chǎng)的區(qū)別。（7） 連續(xù)的客場(chǎng)之旅是指連續(xù)兩場(chǎng)或以上的比賽是客場(chǎng)作戰(zhàn)。（8）我們說的時(shí)間間隔是指兩場(chǎng)比賽的時(shí)間之差，即后一場(chǎng)比賽的時(shí)間減去前一場(chǎng)比賽的時(shí)間。（9）題目中缺失的數(shù)據(jù)對(duì)我們的分析不造成影響，我們以nba中國(guó)官方

30、網(wǎng)站數(shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)。4.符號(hào)的說明表示球隊(duì)編碼表示兩場(chǎng)比賽之間的時(shí)間間隔表示每只球隊(duì)的比賽總場(chǎng)數(shù)即82表示比賽持續(xù)的總天數(shù)即170天表示球隊(duì)兩場(chǎng)比賽之間的時(shí)間間隔表示球隊(duì)所有比賽時(shí)間間隔的方差表示球隊(duì)在比賽中遭遇“背靠背”的次數(shù)表示球隊(duì)在一次連續(xù)遭遇強(qiáng)手的比賽中，所遇到的強(qiáng)手的個(gè)數(shù)表示表示在82場(chǎng)比賽中球隊(duì)連續(xù)遭遇強(qiáng)手的次數(shù)表示球隊(duì)遭遇強(qiáng)手的連續(xù)性表示球隊(duì)在一次連續(xù)的客場(chǎng)之旅中，轉(zhuǎn)換場(chǎng)地的次數(shù)表示在82場(chǎng)比賽中球隊(duì)連續(xù)遭遇客場(chǎng)之旅的次數(shù)表示球隊(duì)遭遇客場(chǎng)之旅的連續(xù)性表示比賽時(shí)間間隔在總因素中所占的權(quán)重表示“背靠背”作戰(zhàn)的次數(shù)在總因素中所占的權(quán)重表示連續(xù)遭遇強(qiáng)手的連續(xù)性在總因素中所占的權(quán)重表示連續(xù)客場(chǎng)

31、之旅的連續(xù)性在總因素中所占的權(quán)重表示球隊(duì)時(shí)間間隔均勻度歸一化后的數(shù)值表示球隊(duì)“背靠背”作戰(zhàn)次數(shù)歸一化后的數(shù)值表示球隊(duì)連續(xù)遭遇強(qiáng)手的連續(xù)性歸一化后的數(shù)值表示球隊(duì)連續(xù)客場(chǎng)之旅的連續(xù)性歸一化后的數(shù)值表示賽程安排對(duì)球隊(duì)的總影響，是評(píng)價(jià)利弊的總指標(biāo)5.模型的建立與求解5.1 對(duì)問題一的模型建立與求解在分析賽場(chǎng)對(duì)某一支球隊(duì)的利弊時(shí)，我們考慮道四個(gè)因素。即比賽時(shí)間間隔的均勻度、“背靠背”、連續(xù)地遭遇強(qiáng)手和連續(xù)的客場(chǎng)之旅。根據(jù)這些因素將賽程轉(zhuǎn)換為便于進(jìn)行處理的數(shù)字格式如下：因素一：比賽時(shí)間間隔的均勻度每一支球隊(duì)都有82場(chǎng)比賽，而兩場(chǎng)比賽之間的時(shí)間間隔我們用后一次比賽的時(shí)間減去前一次比賽的時(shí)間。我們匯總了30支

32、球隊(duì)每?jī)蓤?chǎng)比賽之間的時(shí)間間隔，見附錄（1）。計(jì)算公式如下：而平均時(shí)間間隔為,計(jì)算結(jié)果為2.1。用方差來描述每只球隊(duì)賽程時(shí)間間隔的均勻度：30支球隊(duì)的方差計(jì)算結(jié)果如下表（1）所示：表1按方差排名球隊(duì)名稱方差值無(wú)量綱化后的值1活塞 0.69150.0261948692開拓者0.69640.0263804873魔術(shù)0.74090.0280662014勇士0.76060.0288124615雷霆0.76060.0288124616火箭 0.79520.0301231527小牛0.79520.0301231528熱火0.80010.030308779公牛0.810.03068379410凱爾特人0.81

33、940.03103987811爵士 0.82480.03124443612步行者 0.82980.03143384213尼克斯 0.82980.03143384214湖人 0.83470.0316194615馬刺 0.83960.03180507816奇才0.83960.03180507817騎士 0.8940.03386581718太陽(yáng) 0.90880.03442645919雄鹿 0.91860.03479769520山貓 0.91860.03479769521黃蜂 0.92850.03517271922猛龍 0.93350.03536212623灰熊0.93350.03536212624森

34、林狼 0.93840.03554774425老鷹 0.9730.03685843426籃網(wǎng)0.99270.0376046942776人1.07170.04059731128快船 1.07170.04059731129掘金1.08650.04115795330國(guó)王1.16060.043964952用matlab作圖如下：因素二：“背靠背”作戰(zhàn)次數(shù)連續(xù)兩天打比賽，我們稱為“背靠背”。由附錄（1）我們可以知道：比賽時(shí)間間隔為1就是一次“背靠背”。通過數(shù)1的個(gè)數(shù)，我們得到每支球隊(duì)打“背靠背”的次數(shù)，并將其無(wú)量綱化。結(jié)果用下表（2）來表示：表2按“背靠背”利弊排序球隊(duì)名稱“背靠背“次數(shù)無(wú)量綱化后數(shù)值1勇

35、士150.0260869572凱爾特人160.0278260873開拓者160.0278260874活塞 160.0278260875魔術(shù)160.0278260876小牛160.0278260877猛龍 170.0295652178超音速170.0295652179馬刺 180.03130434810太陽(yáng) 180.03130434811奇才180.03130434812熱火180.03130434813尼克斯 180.03130434814湖人 190.03304347815騎士 190.03304347816黃蜂 200.0347826091776人200.03478260918火箭 200

36、.03478260919爵士 200.03478260920快船 210.03652173921掘金210.03652173922老鷹 210.03652173923山貓 210.03652173924灰熊210.03652173925步行者 210.03652173926森林狼 220.0382608727公牛220.0382608728國(guó)王220.0382608729雄鹿 230.0430籃網(wǎng)230.04用matlab作圖如下：因素三：連續(xù)遭遇強(qiáng)手我們知道連續(xù)遭遇強(qiáng)手的次數(shù)越多，在每次連續(xù)遭遇強(qiáng)手中遇到的強(qiáng)手個(gè)數(shù)越多，對(duì)球員體能的消耗就越大，那么對(duì)這支球隊(duì)就越不利，于是我們得出如下函數(shù)對(duì)此

37、因素進(jìn)行量化。編程求解得到每支球隊(duì)遭遇強(qiáng)隊(duì)的情況，及無(wú)量綱化后的數(shù)值，并對(duì)其進(jìn)行了一個(gè)排名如下表（3）所示：表3 球隊(duì)總對(duì)陣數(shù)連續(xù)次數(shù)最多次數(shù)對(duì)陣強(qiáng)隊(duì)分布情況數(shù)量指標(biāo)30凱爾特人26611，1，1，1，1，1329湖人22931，1，1，3，2，13.62528黃蜂321332，2，2，1，1，34.12527馬刺24831，1，1，2，33.12526開拓者25731，1，1，1，33.12525活塞24821，2，1，2，1，13.524 76人23821，1，1，2，1，1，1，3.7523火箭24721，2，1，1，1，1，422騎士23311，1，1，3.2521魔術(shù)281353，1

38、，3，1，51.520小牛26611，1，1，1，1，1319爵士25932，3，1，1，1，13.12518太陽(yáng)26622，1，1，2，1317奇才2811 4 1，2，1，4，1，14.437516猛龍27731，1，1，1，33.37515勇士28831，2，1，1，33.12514熱291122，1，2，1，1，1，1，23.513雄鹿289 31，1，2，1，3，13.62512快船29621，2，1，22.511掘金26921，1，1，2，1，1，1，14.2510老鷹281353，1，3，1，53.71889森林狼291322，2，2，1，1，1，2，1，1，5.58山貓2792

39、2，2，1，1，1，1，1，47灰熊30821，1，1，1，1，2，13.756公牛291041，1，2，4，1，13.68755國(guó)王25931，3，1，3，13.254步行者30941，4，2，1，13.18753超音速26721，1，1，2，232網(wǎng)281244，2，1，2，33.81251尼克斯301031，1，1，1，3，1，1，14.375用matlab畫圖為因素四：連續(xù)的客場(chǎng)之旅我們知道連續(xù)遭遇客場(chǎng)的次數(shù)越多，在比賽過程中轉(zhuǎn)換的地點(diǎn)越多，對(duì)球員的體能消耗以及比賽過程中球員的發(fā)揮都有很大影響，我們用以下函數(shù)來描述這一因素的影響：在matlab中編程求解得到每支球隊(duì)客場(chǎng)作戰(zhàn)的總次數(shù)，客

40、場(chǎng)作戰(zhàn)的時(shí)間分布，最大客場(chǎng)連續(xù)次數(shù)，以及無(wú)量綱化后的數(shù)值（程序見附錄 ），并對(duì)其進(jìn)行了一個(gè)排名，如下表（4）所示：表4客場(chǎng)總數(shù)最長(zhǎng)客場(chǎng)次數(shù)每次連續(xù)客場(chǎng)分布數(shù)量指標(biāo)30 凱爾特人2262，1，1，3，1，1，1，5，1，1，1，15.598329 湖人1871，1，2，3，5，1，1，66.031328 黃蜂1942，2，1，3，2，2，1，3，2，1，4.7527 馬刺1881，1，2，2，7，2，1，2，1，6.526 開拓者2051，4，1，4，3，2，2，4，37.062525 活塞2251，2，3，1，3，1，3，2，1，7.312524 76人1561，1，4，1，3，1，4，2，1

41、，1，1，14.562523 火箭1984，2，1，3，4，2，1，1，1，16.7522 騎士1541，1，3，1，3，1，3，2，15.87521 魔術(shù)2052，1，4，2，3，1，1，1，1，1，16.052520 小牛1942，2，1，2，2，2，3，1，3，1，1，7.519 爵士2384，1，1，4，2，1，4，1，2，6.132518 太陽(yáng)1863，1，1，1，5，2，3，2，35.178817 奇才1941，1，2，3，1，3，3，1，1，5.37516 猛龍2452，1，2，5，1，2，2，2，1，1，6.718815 勇士16611，2，2，2，3，3，1，2，15.561

42、514 熱1871，1，4，6，1，1，3，1，25.171913 雄鹿1941，1，3，2，2，1，1，2，1，1，1，37.512 快船2272，3，3，2，6，5，13.951311 掘金2081，2，1，1，3，1，7，1，1，26.367210 老鷹2263，1，3，1，2，1，2，5，2，1，1，6.59 森林狼1832，2，1，1，1，2，1，1，1，1，2，2，17.758 山貓1951，2，3，4，4，1，1，35.8757 灰熊1843，1，1，1，2，1，1，3，3，16.3756 公牛2071，6，3，6，1，2，15.09385 國(guó)王2243，1，1，3，3，3，2，

43、1，3，1，17.6254 步行者1552，1，3，4，1，2，1，14.56253 超音速1941，3，1，2，3，3，3，3，3，3，2，2，27.8752 網(wǎng)1551，3，1，3，1，1，4，14.21251 尼克斯2051，1，1，4，3，2，4，2，1，16至于給出評(píng)價(jià)賽程的利弊指標(biāo)，我們采用層次分析法，給四個(gè)因素進(jìn)行賦值。在層次分析中，為了確保我們所給權(quán)值的合理性，我們特意在學(xué)校每周日的照例晚點(diǎn)名時(shí)間中走訪了5個(gè)班級(jí)隨即發(fā)放問卷調(diào)查表。讓他們對(duì)四個(gè)因素重要性進(jìn)行了排序，我們共調(diào)查了60個(gè)對(duì)象，并將其結(jié)果匯總為調(diào)查表（見附錄6）。通過對(duì)表中的數(shù)據(jù)分析整理，我們得到它們的平均排名并得到

44、歸一化后的最終排名（注意此數(shù)值用歸一值乘以10得到）結(jié)果如下表（5）所示：表5因素指標(biāo)比賽時(shí)間間隔的均勻度“背靠背”的比賽次數(shù)連續(xù)的客場(chǎng)比賽連續(xù)的遭遇強(qiáng)手平均排名2.582.13.032.42歸一化后排名0.2549342110.2072368420.2993421050.238486842利用上面的表格，我們得到下面的成對(duì)比較矩陣：在matlab 中我們得到上面成對(duì)比較矩陣的特征值為 4.1097其對(duì)應(yīng)的特征向量為0.5709 0.6002 0.3934 0.3989下面對(duì)其進(jìn)行一致性的檢驗(yàn)：一致性指標(biāo)的數(shù)值可以通過查表獲得：表6 隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表矩陣的階數(shù)1234567891011對(duì)

45、應(yīng)的ri值000.580.901.121.241.321.411.451.491.51則 故表明矩陣通過了一致性檢驗(yàn)。它的不一致程度在允許的范圍之內(nèi)，可用其歸一化的特征向量作為權(quán)向量。所以我們可以用歸一化后的特征向量綜合評(píng)價(jià)賽程利弊的數(shù)量指標(biāo)。如下表（7）所示：表7影響因素時(shí)間間隔的均勻度“背靠背”連續(xù)遭遇強(qiáng)手連續(xù)客場(chǎng)比賽數(shù)量指標(biāo)0.2907710.3056940.2003670.2031685.2 對(duì)問題二的模型建立與求解（一） 為了分析賽程對(duì)30支球隊(duì)的利弊，我們用到問題一的計(jì)算結(jié)果，得出來這樣的一個(gè)總的評(píng)價(jià)函數(shù)： 的值在問題一中已經(jīng)得到具體的數(shù)值，計(jì)算后得到30個(gè)球隊(duì)的值，并按照進(jìn)行排序

46、得到下表（8）表8利弊總排名球隊(duì)名稱比賽時(shí)間間隔均勻度“背靠背”作戰(zhàn)次數(shù)連續(xù)遭到強(qiáng)隊(duì)連續(xù)客場(chǎng)比賽總評(píng)價(jià)函數(shù)值30森林狼 0.9384225.57.756.29558252829國(guó)王1.1606223.257.6256.04835150228掘金1.0865214.256.36725.78583184227雄鹿 0.9186233.6257.55.65460753726老鷹 0.973213.71886.55.44455390525灰熊0.9335213.756.3755.33626924524猛龍 0.9335173.3756.71885.25106051723山貓 0.91862145.87

47、55.22626031222火箭 0.79522046.755.22617288421雷霆0.76061737.8755克斯 0.8298184.37565牛0.79521637.55.0834051841876人1.0717203.754.56255.03878926417奇才0.8396184.43755.3754.98138529516活塞 0.6915163.57.31254.9636924815湖人 0.8347193.6256.03134.95625964614馬刺 0.8396183.1256.54.94365410713騎士 0.894193.255.8754.9182581812黃蜂 0.9285204.1254.754.9182204711爵士 0.8248203.1256.31254.89731576610籃網(wǎng)0.9927233.81254.21254.8526300229太陽(yáng) 0.90881835.71884.8071535438開拓者0.6964163.1257.06254.7880478387公牛0.81223.68