二次根式及一元二次方程復(fù)習(xí)及練習(xí)

1、1 / 15二次根式小結(jié)與復(fù)習(xí)基礎(chǔ)盤點(diǎn)1. 二次根式的定義：一般地，我們把形如a （ a _0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根式 .定義詮釋 ：（1）二次根式的定義是以形式界定的，如 4 是二次根式；（2）形如 b a （ a 0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式 a 中的被開方數(shù) a ，可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、 分式，但必須滿足 a 0.2. 二次根式的基本性質(zhì)（1）a 0（ a _0）；（ 2） a （ a _0）；（ 3） a2 a a_0（4）ab （ a _0， b _0）；（5） ba （ a _0，b _0） .3. 最簡(jiǎn)二次根式必須滿足的條件為： （1）被開

2、方數(shù)中不含 _；（2）被開方數(shù)中 所有因式的冪的指數(shù)都 .4. 二次根式的乘、除法則：（1）乘法法則： a b =（ a _0，b _0）；（2）除法法則： a （ a _0， b _0） . 復(fù)習(xí)提示 ：（1）進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)， 若結(jié)果是一個(gè)完全平方數(shù)， 則應(yīng)利用 a2 a進(jìn)行化簡(jiǎn)，即將根號(hào)內(nèi)能夠開的盡方的數(shù)移到根號(hào)外；（2）進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí)，若除得的商的被開方數(shù)中含有完全平方數(shù)因數(shù)，應(yīng) 運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)將其進(jìn)行化簡(jiǎn) .5. 同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成 后，如果 相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式 .6. 二次根式的加減法則：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成 ，然后把進(jìn)行合并

3、.復(fù)習(xí)提示 ：（1）二次根式的加減分為兩個(gè)步驟： 第一步是 ，第二步是 ，在合并時(shí)，只需將根號(hào)外的因式進(jìn)行加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變；（2）不是同類二次根式的不能合并，如：3 5 8 ；2/ 15（3）在求含二次根式的代數(shù)式的值時(shí)，常用整體思想來計(jì)算 .7. 二次根式的混合運(yùn)算（1）二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一致，也是先_，再 _，最后 _，有括號(hào)的先 _內(nèi)的.復(fù)習(xí)提示 ：（1）在運(yùn)算過程中，有理數(shù)（式）中的運(yùn)算律，在二次根式中仍然適 用，有理數(shù)（式）中的乘法公式在二次根式中仍然適用；（2）二次根式的運(yùn)算結(jié)果可能是有理式， 也可能是二次根式， 若是二次根式， 一定要化成最簡(jiǎn)二次根

4、式 .8. 二次根式的實(shí)際應(yīng)用 利用二次根式的運(yùn)算解決實(shí)際問題， 主要從實(shí)際問題中列出算式， 然后根據(jù) 運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，注意最后的結(jié)果有時(shí)需要取近似值 .1 二次根式有意義的條件例1 若式子 3x 4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（A. x 4B.x 4C.x 3D.x 33344 方法總結(jié) ：判斷含有字母的二次根式是否有意義， 就是看根號(hào)內(nèi)的被開方數(shù)是不 是非負(fù)數(shù)，如果是，就有意義，否則就沒有意義，當(dāng)二次根式含有分母時(shí)，分母 不能為 0.2 二次根式的性質(zhì) 例2 下列各式中，正確的是（ ）A.3 2 3 B.323 C. 3 2 3 D.32 322 方法總結(jié)： a 2 a成立的條

5、件是 a 0，而在化簡(jiǎn) a 2時(shí)，先要判斷 a的正負(fù) 情況.3 二次根式的非負(fù)性例 3 已知 y 2x 5 5 2x 3，則 2 xy的值為（ ）A. 15B.15 C.152D.152方法總結(jié) ：二次根式 a （ a 0）具有雙重非負(fù)性，即 a0、 a 0.4 最簡(jiǎn)二次根式例 4 下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（ ）A.B. 0.5 C.D. 50方法總結(jié) ：在進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)時(shí)，一些同學(xué)不知道化到什么程度為止，切記， 一定要化到最簡(jiǎn)二次根式為止 .5 二次根式的運(yùn)算例 5 計(jì)算 24 18 1 3/ 15方法總結(jié) ：二次根式的加減運(yùn)算， 一定要先化簡(jiǎn)才能得知算式中哪些二次根式可 以合并，除

6、法運(yùn)算先化為乘法再運(yùn)算，混合運(yùn)算時(shí)要正確使用運(yùn)算法則 .6 二次根式的化簡(jiǎn)求值例 6 若 m2013 ，則 m5 2m4 2013m3 的值是 .2014 1方法總結(jié) ：解決此類問題應(yīng)注意代數(shù)式的變形和整體思想的運(yùn)用一元二次方程1、一元二次方程： 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程。例1、(1)、下列方程中是一元二次方程是()1A 、 2x2B、 2x 67C 、 x222y2 5D、 3x2 5x 2 0x2、ax2 bxc0 (a0)一元二次方程的一般形式：二次項(xiàng)：，一次項(xiàng)：常數(shù)項(xiàng)：。二次項(xiàng)系數(shù)： ，一次項(xiàng)系數(shù)： 。例 2、( 1)、方程 x(x+4)=8x+12 的

7、一般形式是 ；二次項(xiàng)是 一次項(xiàng)是 ，常數(shù)項(xiàng)是 。222). 關(guān)于 x的一元二次方程a2 1 x2 x 2 0 是一元二次方程， 則 a 滿足( )A.a1B. a 1 C.a1 D. 為任意實(shí)數(shù)(3)、若方程 (m2)x|m| 3mx 1 0 是關(guān)于 x的一元二次方程， 則 ()A m 2B m=2C m= 2D m2(4)、下列方程中, 常數(shù)項(xiàng)為零的是 ( )A.x2+x=1B.2x2-x-12=12 ；C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+23.一元二次方程的解法1、因式分解法移項(xiàng)：使方程右邊為 0 因式分解：將方程左邊因式分解； 適用能因 式分解 方法：一提，二套，三

8、十字，四分組 由 A?B=0，則 A=0 或 B=0，解兩個(gè)一元一次方程2、直接開平方法x2 a (a 0)x1a x2a適用無一 次項(xiàng)的 x b 2 a (a 0)x b a (a 0) x b a 解兩個(gè)一元一次方程 3、配方法 移項(xiàng)：左邊只留二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng) (移項(xiàng)要變號(hào)) 同除：方程兩邊同除二次項(xiàng)系(每項(xiàng)都要除) 配方：方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 開平方：注意別忘根號(hào)和正負(fù)4 / 15 方程：解兩個(gè)一元一次方程4、公式法 將方程化為一般式 寫出 a、 b、 c 求出 b2 4ac ， 若 b2-4ac 0，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，代入公式b b2 4ac x=

9、求解 2a 若 b2-4ac0，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，代入公式 x b 求解。2a2例 4、（1）、若關(guān) X 的一元二次方程 （k 1）x2 6x 3 0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍（)A.k 4,且 k1B.k 4, 且 k1 C. .k-7 B.k-7且 k 0C.k - 7D.k7且k04444例 5 、（1）利用因式分解法解下列方程(x2)2 (2x-3)23x(x1) 3x 3x52 8 x5 16 0（2）、利用開平方法解下列方程12 (2 y1)24(x-3)2=252(3x 2)2 245 / 15(3) 、利用配方法解下列方程x2 5 2x 2 03x2 6x 12

10、 02x2 2x 399 0(4) 、利用公式法解下列方程2x(x3)=x33x2+5(2x+1)=03x 222x2405、根與系數(shù)的關(guān)系：2 axbxc 0 (a0)bcx1x2x1x2aa11例 5、(1).已知x1，x2 是方程2 x2x1 0 的兩個(gè)根，則x1x2 等于(2)、已知一元二次方程 2x23x10 的兩根為 x1 、x2，則 x1x2(3)、已知x1，x2 是方程 x26x30 的兩實(shí)數(shù)根，則x2x1的值為 _x1x2(4)已知方程 x2 2(m 2)x m2 4 0 兩根的平方和比兩根的積大 21，求 m 的值。6、一元二次方程的應(yīng)用(要注意實(shí)際問題不能取負(fù)數(shù))(1)二

11、次三項(xiàng)式的因式分解 若一元 二次方 程 ax2 bx c 0(a 0) 的 兩個(gè)實(shí) 數(shù)根為 x1， x2，則二 次三項(xiàng) 式ax2 bx c(a 0) 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解因式寫成： ax2 bx c a(x x1)(x x2)6 / 15當(dāng) b2 4ac 0，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式為： ax2 bx c a(x x1)(x x2) 當(dāng) b2 4ac =0，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式為：ax2 bx c a(x x1)2當(dāng) b2 4ac 1且 x 2C. x2 D. x 127、方程的 x2 6x 5 0 左邊配成完全平方式后所得的方程為 ( )1A(x 3)2 14 B (x 3)2

12、 14 C (x 6)2 1 D 以上答案都不對(duì)28、若 (a 1)x2 bx c 0是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 ( )Aa0Ba1C a 1 Da =19、下面是某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中解答的填空題，其中答對(duì)的是()22A若x =4，則x=2B .若3x =6x，則x=2C x2 x k 0 的一個(gè)根是 1，則k=2D若分式 x x 2 的值為零，則 x=2或 x=0 x10、關(guān)于 x 的一元二次方程 x2x 2 0的根的情況是 ()A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C無實(shí)數(shù)根D無法判斷11、一元二次方程 x2 4x 2m6 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 m 等于( )A. 2 B.

13、 3C. 4 D. 512、某廠今年一月份的產(chǎn)量為20 噸, 第一季度的總產(chǎn)量共85噸, 設(shè)平均每月增長(zhǎng)率是 x, 根據(jù)題意所列的方程為 ( )2A、20 x 2 =85B、20(1+x)=85C、20(1+x)2 =85D、20 + 20 (1+x)+ 20(1+x)2 =8513、攝影興趣小組的學(xué)生，將自己拍攝的照片向本組其他成員各贈(zèng)送一張，全 組共互贈(zèng)了 182張，若全組有 x 名學(xué)生，則根據(jù)題意列出的方程是 ( )11 / 15A. x （x1）182；B. x（x1） 182 ；1C. 2x （x1）182D.1 x（x1） 182214、方程 x29x+18=0 的兩個(gè)根是等腰三角

14、形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為A12B 12 或 15C 15D 不能確定15、如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是 4，高是 6 的長(zhǎng)方體紙箱 的 A 點(diǎn)沿紙箱爬到 B 點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是 （ ）16三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3 和 6，第三邊是方程 x26x 8 0 的解，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是A、11 B 、13 C11 或 13 D（）11 和 13A9B10C 4 2D2 1717.若 a b a b 2 8，則 a2 b2 (A 2 B. 4 C.4或2 D.4 或2、填空題1、計(jì)算： 12 3= 。2方程 2x2 1 3x化為一般形式為，一次項(xiàng)系數(shù)是3. 如果最簡(jiǎn)二次根式 1 a 與

15、 4a 2 是同類根式，那么 a 。4. 若x”或“”）6. 方程 x2 3x 的解是；方程 x 2 x 3 0 的解是7、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式 x2 5 ；8、 已 知 x 1是 方 程 ax2 x 2 0的 一 個(gè) 根 ， 則 a 29、已知方程 x 4x30 的兩根分別為 x1、x2 ，則 x1 + x2， x1.x2 =12 / 152010的值為10. 若 x、y 為實(shí)數(shù)，且 x 2 y 2 0 ，則11. x2 3x (x )212、已知關(guān)于 x 的一元二次方程（ 12k）x2 x1=0有實(shí)數(shù)根，則 k 的取值 范圍是 13 觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律： 0， 3， 6，3，2 3

16、， 15，3 2， 那么第 10 個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是.14. 把一元二次方程 3x22x3=0化成 3（x+m） 2=n 的形式是；若多項(xiàng)式 x 2 ax+2a3 是一個(gè)完全平方式，則 a=15. 當(dāng) x= 時(shí)， x2 3x與 x 15 既是最簡(jiǎn)二次根式， 被開方數(shù)又相同。 三、解答題：1、計(jì)算：（1）、（ 21） 1 （ 3）0 （ 2）2 （2）、 2 9x 6 x 2x 13 4 x27 35)(2 48+3 27) 62 126)24833）、（2 33 2）2 （2 3）（2 3） （4） 27 3 1 32、解方程（每小題 5 分，共 20 分） .1)、 (x 2)2 252）、(2x1

17、)2 3(2x 1)13 / 153）、x2 - 2x- 4= 0 ；24)、 3x2 1 4x5) 3x2 5x 2 026) (x 3)2 2x(x 3) 07) 2x 3 2 x2 6x 9(8) x(2x 3) 4x 623先化簡(jiǎn)，再求值： （ ） 2 2 ，xy x yx y其中 x= 2 1，y= 2 1. （7 分）4. （本題 10 分）已知：關(guān)于 x的方程 2x2 kx 1 0（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)根是 1，求另一個(gè)根及 k 值5、本題 8 分）觀察下列等式：21 ( 2 1)( 2 1)1 2 ，1 3 23 2 ( 3 2)( 3 2)2 3 ；14 / 151 4 34 3 ( 4 3)( 4 3)從計(jì)算結(jié)果中尋找規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算：1 1 1(2 1 3 2 4 31 )( 2011 1)2011 20107、拓展題 (每題記 8分,共 8分)(1) 、 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0 的 一 個(gè) 根 是 ， 且 ab