定積分之幾何應用

1、 第五節(jié)第五節(jié) 定積分在幾何上的應用定積分在幾何上的應用微元法微元法 元素法元素法用定積分表示的量用定積分表示的量u u必須具備必須具備三個特征三個特征 : :一一 . . 能用定積分表示的量所必須具備的特征能用定積分表示的量所必須具備的特征iuiixf)( (3) (3) 部分量部分量 的近似值可表示為的近似值可表示為二二 . .微元法微元法則則u u相應地分成許多部分量相應地分成許多部分量; ;用定積分表示量用定積分表示量u u的基本步驟的基本步驟: :(1) u(1) u是與一個變量是與一個變量 的變化區(qū)間的變化區(qū)間a,ba,b 有關的量有關的量; ;(2) u (2) u 對于區(qū)間對于

2、區(qū)間a,ba,b 具有可加性具有可加性. .分成許多部分區(qū)間分成許多部分區(qū)間, ,x即如果把區(qū)間即如果把區(qū)間a,b(1)(1)根據問題的具體情況根據問題的具體情況, ,選取一個變量選取一個變量例如例如 為積分變量為積分變量, ,并確定其變化區(qū)間并確定其變化區(qū)間a,ba,b;x(2) (2) 在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b 內任取一個小區(qū)間內任取一個小區(qū)間 , ,dxxx求出相應于這個小區(qū)間的部分量求出相應于這個小區(qū)間的部分量 的近似值的近似值. .u在在 處的值處的值 與與 的乘積的乘積, ,x)(xfdx就把就把 稱為量稱為量u u的微元且記作的微元且記作 , ,dxxf)(du即即dxxfdu)

3、(如果如果 能近似地表示為能近似地表示為a,ba,b 上的一個連續(xù)函數上的一個連續(xù)函數u(3) (3) 以所求量以所求量u u的微元的微元 為被積表達式為被積表達式, ,dxxf)(badxxfu)(在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b 上作定積分上作定積分, ,得得 平面圖形的面積平面圖形的面積一一 直角坐標情形直角坐標情形1 . 1 . 曲邊梯形曲邊梯形當當 在在a,ba,b 上連續(xù)時上連續(xù)時, , 由曲線由曲線 和和 及及 軸軸所圍成的曲邊梯形面積就是所圍成的曲邊梯形面積就是)(xf)(xfyxbxax ,badxxfa|)(|ab0cxy)(xfy bccadxxfdxxfa)()(2. 一般圖形

4、一般圖形以及兩條直線以及兩條直線x=a,x=b之間的圖形的面積微元為之間的圖形的面積微元為)(),(21xfxf如果函數如果函數 在在a,b上連續(xù)上連續(xù),),()(21baxxfxf且且 dxxfxfda)()(12)(),(21xfyxfy則介于兩條曲線則介于兩條曲線則圖形的面積為則圖形的面積為dxxfxfaba)()(12 注意注意:根據具體的圖形特點根據具體的圖形特點,也也可以選擇積分變量或者利用可以選擇積分變量或者利用圖形的對稱性簡化計算圖形的對稱性簡化計算.例例1 求橢圓的面積求橢圓的面積(如圖如圖).解解 由對稱性由對稱性,橢圓的面積橢圓的面積14aa 其中其中1a為橢圓在第一象限

5、部分為橢圓在第一象限部分.xyo12222byaxyx)(1xfy )(2xfy aboxx+dx則則aadxxaabydxaa02201444abaxaxaxaba 0222| )arcsin22(4例例2 求由求由22,xyxy所圍圖形面積所圍圖形面積.解：解： 兩拋物線的交點為兩拋物線的交點為(0,0)及及(1,1).取取x為積分變量為積分變量,其變化區(qū)間為其變化區(qū)間為0,1.由前面討論可知由前面討論可知:31| )332()(10310223xxdxxxa(1,1)oyx例例3 求由求由4,22xyxy所圍圖形面積所圍圖形面積.解解 ： 兩曲線的交點為兩曲線的交點為(2,-2)及及(8

6、,4).根據此圖形特點根據此圖形特點,可以選擇可以選擇y作為積分變作為積分變量量,其變化區(qū)間為其變化區(qū)間為-2,4.yx(2,-2)(8,4)圖形的面積微元為圖形的面積微元為:dyyyda)214(2從而可得圖形面積從而可得圖形面積18| )642()214(4232242yyydyyya二二. 極坐標情形極坐標情形1. 曲邊扇形曲邊扇形其中其中r( )在在 , 上連續(xù)上連續(xù),且且r( ) 0.相應于相應于 , +d 的面積微元為的面積微元為 drda2)(21則圖形面積為則圖形面積為 dra2)(21o r=r()設圖形由曲線設圖形由曲線r=r( )及射線及射線 = , = 所圍成所圍成.取

7、取 為積分變量為積分變量,其變化區(qū)間為其變化區(qū)間為 , ,2. 一般圖形一般圖形及射線及射線 = , = 所圍圖形的面積微元為所圍圖形的面積微元為 drrda)()(212122則面積為則面積為 drra)()(212122o)(1rr )(2rr )(),(21 rrrr 由曲線由曲線 nom1a2a例例4 求求r =1與與r =1+coscos 所圍公共面積所圍公共面積.解解 如圖如圖,曲線交點為曲線交點為)23, 1(),2, 1( nm由對稱性由對稱性245)4183( 2)( 221 aaa則則 221)cos1(21da 22)coscos21(21d 22| )sin41sin2

8、23(183 而而42 a 立體的體積立體的體積一一. 平行截面面積已知的立體體積平行截面面積已知的立體體積點點 且垂直于且垂直于 軸的截面面積軸的截面面積.如圖如圖,體積微元為體積微元為 , 則體積為則體積為badxxav)( 取取 為積分變量為積分變量,其變化范圍為其變化范圍為a,b. 設立體介于設立體介于 之間之間, 表示過表示過xxbxax ,)(xaxdxxadv)(xa(x)dv=a(x)dxx baxxavd)(.avbaaxz y0所圍立體的體積。所圍立體的體積。 和和求圓柱面求圓柱面222222 azxayx例：aaxz y0過點過點m(x,0,0)作垂直于作垂直于x軸的截面

9、，則截面為正方形，邊軸的截面，則截面為正方形，邊長為長為22ax22028()16 3avax dxabadxxfv2)(稱為稱為旋轉體旋轉體.則如前所述則如前所述,可求得截面面積可求得截面面積,)()(22xfyxa二二. 旋轉體的體積旋轉體的體積則則 平面圖形繞同平面內一條直線旋轉一周而成的立體平面圖形繞同平面內一條直線旋轉一周而成的立體設旋轉體由圖設旋轉體由圖1的曲邊梯形繞的曲邊梯形繞x軸形成軸形成.yabo圖圖1xx)(xfy 同理同理,如旋轉體由圖如旋轉體由圖2的曲邊梯形繞的曲邊梯形繞y軸形成軸形成.dcdyyv2)( ycoxdx=(y) 例例6 求如圖直角三角形繞求如圖直角三角形

10、繞x軸旋轉而成的圓錐體的軸旋轉而成的圓錐體的 體積體積. 解解 可求得過點可求得過點o及及p(h,r)的直線方程為的直線方程為xhry 由公式得由公式得3|3)(2023220hrhxrdxxhrvhh yoxp(h,r)則體積為則體積為圖圖2圖圖3柱殼法柱殼法-由平面圖形由平面圖形 )(0 xfy ,0bxa繞繞 軸旋轉所成的旋轉體的體積為軸旋轉所成的旋轉體的體積為ybadxxxfv)(2 柱殼法柱殼法就是把旋轉體看成是以就是把旋轉體看成是以y 軸為中心軸的軸為中心軸的一系列圓柱形薄殼組成的，一系列圓柱形薄殼組成的，以此柱殼的體積作為體積元素。以此柱殼的體積作為體積元素。bayx)(xfy

11、在區(qū)間在區(qū)間 上上,dxxx)(2xfdxxdv babadxxxfdvv)(2 柱殼體的體積元素為柱殼體的體積元素為即為圓柱薄殼即為圓柱薄殼當當 很小時，此小柱體的高看作很小時，此小柱體的高看作 ，dx)(xfyx0 x=g(y)cdx= g (y)繞繞 y 軸旋轉軸旋轉yda=2 g(y)ds dcyygygad)(1 )( 22.(ds是曲線的弧微分是曲線的弧微分)yygsd)(d .故旋轉體側面積故旋轉體側面積求旋轉體側面積求旋轉體側面積ads 平面曲線的弧長平面曲線的弧長光滑曲線可應用定積分求弧長光滑曲線可應用定積分求弧長. 若函數若函數 的導函數在區(qū)間的導函數在區(qū)間a,b上連續(xù)上連

12、續(xù),則稱曲線則稱曲線 為區(qū)間為區(qū)間a,b上的光滑曲線上的光滑曲線,)(xfy)(xfy一一.直角坐標情形直角坐標情形設光滑曲線方程設光滑曲線方程:)(),(bxaxfy可用相應的切線段近似代替可用相應的切線段近似代替.即即dxydydxs2221)()(則弧長微元則弧長微元(弧微分弧微分)dxyds21故弧長為故弧長為dxysba21oyxdyabdx取取 為積分變量為積分變量,變化區(qū)間為變化區(qū)間為a,b.a,b內任意小區(qū)間內任意小區(qū)間 的一段弧的一段弧 長長 ,dxxx x)(xfy 二二. 參數方程情形參數方程情形設光滑曲線方程設光滑曲線方程:)( ,)()( ttytx弧長微元弧長微元dtttdydxds)()()()(2222 則如前所述則如前所述,dttts)()(22 例例9 求星形線求星形線)20(sincos33 ttaytax的弧長的弧長.解解 由對稱性及公式由對稱性及公式dttts)()(42220 202sincos34 dtttaatatdtta6|sin6sincos1220220 202222)cossin3()