五章留數(shù)及其應(yīng)用.docx

1、第五章 留數(shù)及其應(yīng)用 1. 孤立奇點(diǎn)一 . 孤立奇點(diǎn)的分類1. 孤立奇點(diǎn)的概念定義： 若函數(shù)在點(diǎn)不解讀，但在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)處處解讀.則稱為的孤立奇點(diǎn) .一 . 求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并各奇點(diǎn)是否為孤立奇點(diǎn).1）2）3） 若有恒成立，則稱為的可去奇點(diǎn) .1/12( 若有,但對(duì)于有恒成立，則稱為的 m 階極點(diǎn) .(若有,則稱為的本性奇點(diǎn) .說(shuō)明 : (1為的洛朗展式，其和函數(shù)為在點(diǎn)解讀的函數(shù) .(2 無(wú)論函數(shù)在點(diǎn)是否有定義，補(bǔ)充定義則函數(shù)在點(diǎn)解讀 .3. 孤立奇點(diǎn)的類型的判斷(1 可去奇點(diǎn)的判定方法定理1 設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)解讀 ,則為的可去奇點(diǎn)的充分必要條件是:.定理1設(shè)是的孤立奇點(diǎn) ,則為的可

2、去2/12奇點(diǎn)的充分必要條件是:在內(nèi)有界 .(2 極點(diǎn)的判定方法結(jié)論：是的 m 階極點(diǎn)的充要條件是:其中在鄰域內(nèi)解讀 ,且.定理2 設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)解讀,則為的極點(diǎn)的充要條件是 :是的 m 階極點(diǎn)的充要條件是:其中為一確定的非零復(fù)常數(shù),m 為正整數(shù) .(3 本性奇點(diǎn)的判定方法定理3 設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)解讀 ,則為的本性奇點(diǎn)的充要條件是:極限與3/12均不成立 .一 . 判斷下列函數(shù)的奇點(diǎn)的類型：1）2）0,有函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)解讀 ,則稱無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為的孤立奇點(diǎn) .設(shè)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的洛朗展式為那么規(guī)定 :( 若有恒成立，則稱為的可去奇點(diǎn) .(若有,但對(duì)于有恒成立，則稱為的 m 階極點(diǎn) .

3、(若有,則稱為的本性奇點(diǎn) .定理 6 設(shè)在區(qū)域內(nèi)解讀 ,則為的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)的充要條件分別是 :極限存在、為無(wú)窮及即不5/12存在 , 也不是無(wú)窮 .一 . 判斷下列函數(shù)的奇點(diǎn)的類型：1）2）3） 設(shè)在區(qū)域 D 內(nèi)除有限多個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解讀 ,C 是 D 內(nèi)包圍各奇點(diǎn)的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,那么說(shuō)明： 留數(shù)定理把計(jì)算周線上的積分的整體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在周線所圍成的區(qū)域內(nèi)的各個(gè)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)的局部問(wèn)題 .例9計(jì)算積分.二. 函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)法則 如果為的簡(jiǎn)單極點(diǎn) ,則Res.7/12例 10 求在各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù) .法則 設(shè),其中在點(diǎn)解讀 ,如果為的一階零點(diǎn) ,則為的一階極點(diǎn) ,

4、且例11求在的留數(shù).法則 如果為的 m 階極點(diǎn) ,則Res.例 12 求在孤立奇點(diǎn) 0 處的留數(shù) .例 13 計(jì)算積分8/12例 14 計(jì)算積分三. 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義 ： 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解讀 ,即為函數(shù)的孤立奇點(diǎn) ,則稱為在的留數(shù) ,記作 Res.定理 8 如果函數(shù)在 z 平面只有有限多個(gè)孤立奇點(diǎn) (包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) ,設(shè)為.則在所有孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)和為零.法則 (無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù) 若為函數(shù)的孤立奇點(diǎn) ,則ResRes.例 15求在它各有限奇點(diǎn)的9/12留數(shù)之和 .例 16計(jì)算積分其中C 為正向圓周3. 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用一. 形如的積分思想方法 :把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條周線的積分 .兩個(gè)重要工作 :1 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化 , 2 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化 .當(dāng)從 0 到時(shí) ,z 沿單位圓的正向繞行一周 .例17計(jì)算10/12的值 .二. 形如的積分設(shè)為復(fù)函數(shù)的實(shí)值形式 ,其中滿足條件 :(1。(2在實(shí)軸上無(wú)零點(diǎn)。(3在上半平面內(nèi)只有有限多個(gè)孤立奇點(diǎn)則有=.例 18 計(jì)算積分三. 形如的積分定理 9(若當(dāng)引理 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域 :上連續(xù) ,并設(shè)是該閉區(qū)域上一段以原點(diǎn)為中心,以為半徑的圓弧 .若在該閉區(qū)域上有11/12,則對(duì)任何 a0,有.由若當(dāng)引理可知 :.其中為真分式在上半平