概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3.3連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)

1、1復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):變限積分的求導(dǎo)公式變限積分的求導(dǎo)公式( )( )( ( ) ( )( ( ) .)( )(b xa xf b x b xf a xfxttad 若若a為常數(shù)為常數(shù),則則( )( ( ) ( )( );b xaf btxfdbtx 若若b為常數(shù)為常數(shù)?2( )yfy根據(jù)分布函數(shù)的定義p yy ()p g xy一一. .一維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)一維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)( )( ).yyfyfy( )p xx g xy目標(biāo)目標(biāo): :設(shè)設(shè)x 為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為 f (x)。y = g(x)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)為一個(gè)連續(xù)函數(shù)( (分段嚴(yán)

2、格單調(diào)分段嚴(yán)格單調(diào)) )，求隨，求隨機(jī)變量機(jī)變量y=g(x)的密度函數(shù)的密度函數(shù) . .( )yfy基本方法基本方法(分布函數(shù)求導(dǎo)法分布函數(shù)求導(dǎo)法),分分2個(gè)步驟個(gè)步驟:(1) (1) 求求y的分布函數(shù)的分布函數(shù)( )yfy(2) (2) 對(duì)對(duì) 求導(dǎo)，求導(dǎo)，( )yfy( )( ).x g xyf x dx3( )yg x1. 是嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)的函數(shù).1). 定理定理3.1. 設(shè)設(shè) 而而 是嚴(yán)格單是嚴(yán)格單調(diào)且且處處可導(dǎo)的調(diào)且且處處可導(dǎo)的, 設(shè)設(shè) 是是g的反函數(shù)的反函數(shù),則則 是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為( ),xxfx( )yg x( )xh

3、 y()yg x( ( )|( )|,( )0,xyfaybfyotherwiseh yh y其中其中min(|( ) |),max(|( ) |).ag xbg x其實(shí)就是變限積分求導(dǎo)其實(shí)就是變限積分求導(dǎo)4證明證明5推論推論. 如果如果y=ax+b,則則y 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為1| |,y baxaf特別的特別的, 對(duì)于正態(tài)分布對(duì)于正態(tài)分布 , 設(shè)設(shè)2(),xn ,xy我們有我們有 更一般的更一般的, 則則0().,1yn,zaxb22,().bzan a6解解 先求分布函數(shù)先求分布函數(shù) fy ( (y) )。( )yfyp yyp axby設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布

4、 求求yaxb的概率密度的概率密度。2,n 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0a ( )yxybybfyp xfaa所以，所以， 222()11( )()2y b aayybfyfeaaa 請(qǐng)同學(xué)自己用分布函請(qǐng)同學(xué)自己用分布函數(shù)求導(dǎo)法證明數(shù)求導(dǎo)法證明! !7當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0a ( )()yybfyp xa222()11( )()2y b aayybfyfeaaa ( )1yybybfyp xp xaa 1()xybfa 所以，所以， 2,()yn aba8解解 體積體積 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為343yx例例 設(shè)球的半徑設(shè)球的半徑x的概率密度為的概率密度為 6 (1), (0,1)( )0, xxxf xoth

5、erwise試求體積的概率密度。試求體積的概率密度。333433( )344yxyyfypxyp xf所以體積的所以體積的概率密度為概率密度為 2 3331334344xyyf3333( )44yxyyfyf 嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)343yx9所以體積的所以體積的概率密度為概率密度為 2 3331334344xyyf3333( )44yxyyfyf 即即 33441 , 0,( )2330, .yyfyyotherwise代入代入f(x).10練習(xí)練習(xí) 設(shè)圓的半徑設(shè)圓的半徑x服從區(qū)間服從區(qū)間(1,2)(1,2)上的均勻分布，上的均勻分布，求圓面積的分布密度函數(shù)。求圓面積的分布密度函數(shù)

6、。 答案：答案：1, 4 ,2( )0, ,syyfyotherwise11例題例題1,此類問(wèn)題的基本做法此類問(wèn)題的基本做法:先確定先確定y的取值范圍的取值范圍,其密度其密度函數(shù)在此范圍外的取值為零函數(shù)在此范圍外的取值為零,對(duì)此范圍內(nèi)用公式法對(duì)此范圍內(nèi)用公式法或者分布函數(shù)求導(dǎo)法或者分布函數(shù)求導(dǎo)法,最后寫出函數(shù)最后寫出函數(shù).以下練習(xí)以下練習(xí):12練習(xí)題練習(xí)題:131( )( ( )( ).kyxiiifyfh yhy定理定理3.2 3.2 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x和隨機(jī)變量和隨機(jī)變量y=g(x)的密度的密度函數(shù)分別為函數(shù)分別為f x (x), fy (y), 當(dāng)當(dāng)g(x)在不相重疊的區(qū)間在不相重疊

7、的區(qū)間 i1， i2，,ik上上是嚴(yán)格單調(diào)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)函數(shù)且可導(dǎo)且可導(dǎo)，則，則其中其中 為為 在在ii上的反函數(shù)上的反函數(shù)( )ixg y( )iyg x2.2.分段嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)分段嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)最好不要套用定理最好不要套用定理,還是由還是由”分布函數(shù)求導(dǎo)法分布函數(shù)求導(dǎo)法”來(lái)求解來(lái)求解!14例例 設(shè)設(shè)x n（0，1），），其概率密度為其概率密度為： 221,2xf xex2xy 11222,00,0yyyeyfyy則則概率密度函數(shù)為概率密度函數(shù)為：此時(shí)稱此時(shí)稱y 服從自由度為服從自由度為1 1的的 - -分布分布, ,記作記作 2 21y結(jié)論：若結(jié)論：若 , ,則則0,1xn 221

8、.x15解解因此對(duì)于因此對(duì)于首先注意到首先注意到2,yx則則0y 0,y 有有( )0.yfy 對(duì)對(duì)20,yyx不是單調(diào)的，但卻不是單調(diào)的，但卻是分段單調(diào)的。是分段單調(diào)的。1:(,0ix 2yx是單調(diào)下降的，是單調(diào)下降的，1( )xh yy 2:(0,)ix2yx是單調(diào)上升的，是單調(diào)上升的，2( )xhyy22112211()()111222221122()()()()() () ()yxxxxyyyyyfyfhyhyfhyhyfyyfyyeee1).公式法公式法 (自己看自己看)162).2).分布函數(shù)求導(dǎo)法分布函數(shù)求導(dǎo)法: :因此對(duì)因此對(duì)首先首先20,yx0,y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0y 有有

9、( )0.yfy 222201()( )2,tyyyyyp yypxypyxyfft dtedt對(duì)其求導(dǎo)對(duì)其求導(dǎo),22112221,(2)yyyyyfeey2210,()0,0.yyyyyfye所以所以,17,yx若若 結(jié)果怎樣結(jié)果怎樣?2220,()0,0,.yyyyfye18例例3.15(3). 設(shè)設(shè)x的密度函數(shù)的密度函數(shù)29822,()0(),xxotherw sxifesinyx求求 的密度函數(shù)的密度函數(shù).解解. 因?yàn)橐驗(yàn)?所以只要考慮所以只要考慮,11y .11y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),01y 22arcsin829/2( )sinarcsin (),yyfyp yypxypxyxdx求導(dǎo)求導(dǎo)

10、, 得得2281291( )(arcsin).yyfyx19當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),01y222arcsin882299/2arcsin( )sinarcsin arcsin()(),yyyfyp yypxypxypyxxdxxdx求導(dǎo)求導(dǎo), 得得222831229116191( )(arcsin)(arcsin ).yyyfyxx2221619181291,01,( )(arcsin),10,| 1.0,yyyyfyxyy 故故20解題步驟解題步驟:21設(shè)設(shè)(, )x y是二維連續(xù)型隨機(jī)變量是二維連續(xù)型隨機(jī)變量, ,其聯(lián)合分布密度為其聯(lián)合分布密度為(, )zg x y則則 是一維的連續(xù)型隨機(jī)變量是一維的

11、連續(xù)型隨機(jī)變量? ? 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 ( )(, )zfzp g x yz( , ),f x y( , )zg x y是二元連續(xù)函數(shù)，是二元連續(xù)函數(shù)，其分布密度函數(shù)為其分布密度函數(shù)為 ( )( )zzfzfz( , )( , )g x yzf x y dxdy二二. .多維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)多維隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)基本步驟基本步驟(分布函數(shù)求導(dǎo)法分布函數(shù)求導(dǎo)法)221).1).如果如果( (x, y) )的聯(lián)合分布密度函數(shù)為的聯(lián)合分布密度函數(shù)為f(x,y)，則，則z=x+y的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 ( )( ,)zfzf x zx dx( )(, ).zfzf zy y

12、 dy或或 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)x, y 相互獨(dú)立時(shí)，有相互獨(dú)立時(shí)，有卷積公式卷積公式 ( )( )()zxyfzfx fzx dx或或 ( )()( ).zxyfzfzy fy dy23證明證明. 設(shè)設(shè)(x,y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x,y), 則則z=x+y的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為( , )( ), )z xx yzzff x y dxdyzp zdxf x y dyzp xyz( ,)( ,),zzdxf x tx dtf x tx dx dt( )( ,)zfzf x zx dx所以所以, 對(duì)對(duì)z求導(dǎo)求導(dǎo),tyx令令對(duì)對(duì)f(x,y)沿著沿著x+y=z積分積分對(duì)于相互獨(dú)立的對(duì)于相互

13、獨(dú)立的x,y, 則則( , )( )( ),xyf x yfx fy( )( )()( ).zxyxyfzfx fzx dxffz24211221212222(,)(,).(,)xnxynyn 例例3.16 如果如果x與與y相互獨(dú)立相互獨(dú)立記住結(jié)論記住結(jié)論,證明過(guò)程感證明過(guò)程感興趣自己看興趣自己看.2(,)iiixn 21112(,).iiiinniniiiianaax 進(jìn)一步進(jìn)一步,25例例3.17如果如果 在小于在小于0上取上取0值值,則積分都是則積分都是類似的類似的,卷積的積分限限制到卷積的積分限限制到(0, z).,xyff262()0220( )()( ),zxz xzxyzzzx

14、fzx dxdxdfzfeeeezx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0z 解解當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0z ( )0,zfz 所以所以2,0,( )0,0.zzezzfzz 練習(xí)題練習(xí)題. x,y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,且都服從參數(shù)為且都服從參數(shù)為 的指數(shù)的指數(shù)分布分布, 求求z=x+y的密度函數(shù)的密度函數(shù). 2728292.22zyx 例例3.18 設(shè)設(shè)x, y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, n(0,1), 求求z 的密度函數(shù)的密度函數(shù).例例3.14 自由度為自由度為1的的 分布分布,例例3.18自由度為自由度為2的的 分布分布. 如果隨機(jī)變量是如果隨機(jī)變量是n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方和布的平方和, 則其是自

15、由度為則其是自由度為n的的 分布分布.2 2 2 303./zyx 若若(x, y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x,y), 則則z的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為(, )( )|.zf yz y dyfzy 沿著沿著yz=x, 對(duì)對(duì)y積分積分.314. 極大值和極小值的分布極大值和極小值的分布12,.,nxxx設(shè)設(shè) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 令令(1)12( )12min,.,max,. ,.nnnxxxxxxxx 希望得到希望得到 的分布的分布.(1)( ),nxx( )11*1( ),.,( ),nnnnkkkkyxyfyppyyxxf (1)(1)(1)1111*( )111,.,1(1)1(1( ),nnknknkkkkfypyyyxyyp xyfxp xp xp xy 32若為同分布若為同分布, 則則*( )( )( ),nnfyyf 而而*1( )( )( )( ),nnffynf yy *(1)( )1( ) ,(1nyffy 而而1(1)*( )( )(1.)(nffynf yy 33兩個(gè)非同分布獨(dú)立隨機(jī)變量情形兩個(gè)非同分布獨(dú)立隨機(jī)變量情形:34其它類型其它類型35例例 設(shè)二維隨機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)