4.3曲線的凹凸性及曲率

1、曲線的凹凸性及曲率 1 1、函數(shù)、函數(shù)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)2 2、函數(shù)曲線的漸近線、函數(shù)曲線的漸近線3 3、復(fù)雜函數(shù)的作圖、復(fù)雜函數(shù)的作圖4 4、函數(shù)曲線的曲率、函數(shù)曲線的曲率問(wèn)題問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoABCxyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA問(wèn)題問(wèn)題: 如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述曲線的凹凸性如何用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述曲線的凹凸性?定義定義 如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是間內(nèi)是凹凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于的；如果在

2、某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱(chēng)曲線在這其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是個(gè)區(qū)間內(nèi)是凸凸的的xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA一一、（一）、（一）曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線凹凸的判定曲線凹凸的判定:xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y 定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)存內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，在二階導(dǎo)數(shù)，)(xf),(ba(2)(2)若時(shí)，恒有，則曲若時(shí)，恒有，則曲線在內(nèi)線在內(nèi)凸的凸的bxa0)( xf)(xfy ),(ba),(babxa0)( xf)(xfy (1

3、)(1)若時(shí)，恒有，則曲若時(shí)，恒有，則曲線線 在內(nèi)在內(nèi)凹的凹的；例例.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為為凸凸的的；在在曲曲線線0 ,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為為凹凹的的；在在曲曲線線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)注意到注意到,（二）曲線的拐點(diǎn)（二）曲線的拐點(diǎn) 求拐點(diǎn)的一般步驟：求拐點(diǎn)的一般步驟：令，解出全部根，并求出所令，解出全部根，并求出所有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；有二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；0)( xf)(xf 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；對(duì)步驟對(duì)步驟求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其左、

4、求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其左、右鄰近的的符號(hào)，如果異號(hào)則該點(diǎn)為曲右鄰近的的符號(hào)，如果異號(hào)則該點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)；如果同號(hào)則該點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)線的拐點(diǎn)；如果同號(hào)則該點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn))(xf xxy24362 )(3632xx練習(xí)練習(xí). 求曲線14334xxy的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令0 y得,03221xx對(duì)應(yīng)3) 列表判別271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在)0,(),(32及上是凹的,是凸的 , 點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及),(271132均為拐點(diǎn).上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0(),

5、(271132xoyl)(xfy ) ,(yxP二、二、 漸近線漸近線 2021-6-1413(1)垂直漸近線lim( )()(lim( )()( )xaxaf xf xxayf x 若或則直線為曲線的垂直漸近線.xyo)(xfy aax 曲線漸近線的分類(lèi)曲線漸近線的分類(lèi)xyo22xytanxyo2xycot()lim( )(),( ).xxf xA AyAyf x若為常數(shù) 則直線是曲線的水平漸近線水水平平漸漸近近線線)2(注意：注意：只有當(dāng)函數(shù)的定義域是無(wú)窮區(qū)間時(shí)，只有當(dāng)函數(shù)的定義域是無(wú)窮區(qū)間時(shí)，其曲線才有可能存在水平漸近線其曲線才有可能存在水平漸近線解解因?yàn)?，所以是曲因?yàn)?，所以是曲線的水平

6、漸近線線的水平漸近線0y051limxx又因?yàn)橛忠驗(yàn)? 5是的間斷點(diǎn)是的間斷點(diǎn), ,且且，所以是曲線的鉛垂?jié)u近線，所以是曲線的鉛垂?jié)u近線51xy5x51lim5xx例例 求曲線的水平漸近線求曲線的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線和鉛垂?jié)u近線. .51xy例例 求曲線的水平漸近線和求曲線的水平漸近線和鉛垂?jié)u近線鉛垂?jié)u近線. .22123xxy解解因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以是曲線的水平漸近線是曲線的水平漸近線3y3123lim22xxyx221123limxxx又因?yàn)橛忠驗(yàn)? 1和和-1-1是的間斷點(diǎn)，且是的間斷點(diǎn)，且，所以，所以和是曲線的鉛垂?jié)u近線和是曲線的鉛垂?jié)u近線22123xxy221123limxxx1x

7、1x三三、復(fù)雜函數(shù)圖形的描繪、復(fù)雜函數(shù)圖形的描繪步驟步驟 :1. 確定函數(shù))(xfy 的定義域 ,期性 ;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn) ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形 .為 0 和不存在的點(diǎn) ;并考察其對(duì)稱(chēng)性及周例例3. 描繪22331xxy的圖形.解解: 1) 定義域?yàn)? ),(無(wú)對(duì)稱(chēng)性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(極大)(拐點(diǎn)）32(極小)4)xy1332201

8、231)()(xfxf ， 2xey 2 112o1 1xyMN1N1 1MNMN N1NM1M 1, 1,MNMN 四、平面曲線的曲率四、平面曲線的曲率-曲線的彎曲程度彎曲程度決定于描述曲線在一點(diǎn)的彎曲程度描述曲線在一點(diǎn)的彎曲程度s4、1 曲率及其計(jì)算公式曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn) M 取弧段,s對(duì)應(yīng)切線轉(zhuǎn)角,定義弧段 上的平均曲率ssKMMs點(diǎn) M 處的曲率sKs0limsddoxy曲率曲率K 的計(jì)算公式的計(jì)算公式23)1(2yyK 例例. 求半徑為R 的圓上任意點(diǎn)處的曲率 .解解: 如圖所示 ,RssKs0limR1可見(jiàn): R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大,

9、則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 .sRMM2yaxbxc拋物線例例上哪一點(diǎn)處的曲率最大？解：解：根據(jù)曲率的計(jì)算公式23)1(2yyK 由2,yaxb2 ,ya代入公式得3222(1(2) )aKaxb若 a, b 給定，則20axb時(shí)，曲率 K 最大，即,|2 |2bxKaa 即拋物線的頂點(diǎn)處曲率最大即拋物線的頂點(diǎn)處曲率最大4 4、2 曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑y(tǒng)xoTRPCD設(shè) P 為曲線 C 上任一點(diǎn) , 在點(diǎn)在曲線1DPRK把以 D 為中心, R 為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn) P 處的曲率圓曲率圓 ( 密切圓密切圓 ) , R 叫做曲率半徑曲率半徑, D 叫做曲率中心曲率中心.P 處作曲

10、線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn) D 使0limssR 1P內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞增Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上的凹凸分界點(diǎn)( )yf x曲線在I上向下凹3. 連續(xù)函數(shù)的極值(1) 極值可疑點(diǎn) : 使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)(2) 第一充分條件)(xf 過(guò)0 x由正正變負(fù)負(fù))(0 xf為極大值)(xf 過(guò)0 x由負(fù)負(fù)變正正)(0 xf為極小值(3) 第二充分條件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf為極大值)(0 xf為極小值0)(,0)(00 xfxf最值點(diǎn)