空間與軸對稱問題有限元分析

1、空間及軸對稱問題有限元空間及軸對稱問題有限元概述概述空間問題空間問題( (四面體四面體、六面體類六面體類) )軸對稱問題軸對稱問題軸對稱問題軸對稱問題非軸對稱荷載非軸對稱荷載概概 述述 三個(gè)方向尺寸屬于同一數(shù)量級，所受荷載或形三個(gè)方向尺寸屬于同一數(shù)量級，所受荷載或形體復(fù)雜，不可能像上一章那樣簡化成體復(fù)雜，不可能像上一章那樣簡化成平面問題平面問題處處理，這時(shí)必須按空間問題求解。理，這時(shí)必須按空間問題求解。 與平面分析不同，空間有限元分析有如下兩個(gè)與平面分析不同，空間有限元分析有如下兩個(gè)困難：困難：1 1）對空間物體進(jìn)行離散化時(shí)不像平面問題那樣）對空間物體進(jìn)行離散化時(shí)不像平面問題那樣直觀，人工進(jìn)行

2、離散時(shí)很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤；直觀，人工進(jìn)行離散時(shí)很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤；2 2）未知量的數(shù)量劇增。）未知量的數(shù)量劇增。 建立網(wǎng)格自動(dòng)生成前建立網(wǎng)格自動(dòng)生成前處理程序處理程序 采用高階單元來提采用高階單元來提高單元精度高單元精度 平面圖形繞面內(nèi)一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的空間物體，平面圖形繞面內(nèi)一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的空間物體，稱為軸對稱物體，是一類特殊的空間問題。稱為軸對稱物體，是一類特殊的空間問題?？臻g問題空間問題 1 1 常應(yīng)變四面體單元形函數(shù)常應(yīng)變四面體單元形函數(shù) 與平面三角形單元相對應(yīng)，四面與平面三角形單元相對應(yīng)，四面體單元內(nèi)任一點(diǎn)可用體單元內(nèi)任一點(diǎn)可用“體積坐標(biāo)體積坐標(biāo)”來表示。來表示。各子四面體各子四面體體積體積

3、與三角形單元一樣，體積坐標(biāo)為與三角形單元一樣，體積坐標(biāo)為ti =vi /v ,三個(gè)是三個(gè)是獨(dú)立的，它有獨(dú)立的，它有“本本1，它，它0，總和，總和1”的性質(zhì)。的性質(zhì)。p123四面體四面體總體積總體積 ( (右旋右旋體積正體積正) )111222333444111161xyzxyzvxyzxyz1234p234p124p1342224441333111161xyzxyzvxyzxyz1113332444111161xyzxyzvxyzxyz1114443222111161xyzxyzvxyzxyz1112224333111161xyzxyzvxyzxyzp 剩下來的工作基本和三角形常應(yīng)剩下來的工作

4、基本和三角形常應(yīng)變單元類似。變單元類似。作業(yè)：自學(xué)單元列式內(nèi)容。作業(yè)：自學(xué)單元列式內(nèi)容?？臻g問題空間問題 2 2 十結(jié)點(diǎn)（二次）四面體單元形函數(shù)十結(jié)點(diǎn)（二次）四面體單元形函數(shù) 類似于平面六結(jié)點(diǎn)二次三角形單元，類似于平面六結(jié)點(diǎn)二次三角形單元，采用試湊法建立結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。采用試湊法建立結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。t1t2t3o12345678n1=a785234=a(t1-1/2)t1 為使為使n1滿足本點(diǎn)為滿足本點(diǎn)為1，可得，可得a=2，代回后得代回后得n1 =t1 (2t1-1) 余者類似，也可余者類似，也可按如下通式按如下通式得到：得到：ipjiij=jiii4ist ,t ,t ,tn =st ,t ,

5、t ,t12341123式中式中p為形函數(shù)階次，分子為不通過為形函數(shù)階次，分子為不通過i點(diǎn)的平面方程點(diǎn)的平面方程左端項(xiàng)，分母中括號內(nèi)為左端項(xiàng)，分母中括號內(nèi)為i點(diǎn)體積坐標(biāo)。點(diǎn)體積坐標(biāo)。請大家請大家自行驗(yàn)自行驗(yàn)證！證！空間問題空間問題 3 3 形成四面體的對角線劃分方法形成四面體的對角線劃分方法 先劃分成六面體再分為四面體先劃分成六面體再分為四面體1243568714671246143748761 1）六面體劃分為）六面體劃分為5 5個(gè)四面體個(gè)四面體a a5 5型型14671467間連間連6 6根對角根對角線線 1567空間問題空間問題 3 3 形成四面體的對角線劃分方法形成四面體的對角線劃分方法

6、 1 1）六面體劃分為）六面體劃分為5 5個(gè)四面體個(gè)四面體1243568712352568243835872358b b5 5型型23582358間間連連6 6根對根對角線角線 相鄰六面體相鄰六面體必須一個(gè)為必須一個(gè)為a5另一個(gè)另一個(gè)為為b5共同點(diǎn)共同點(diǎn)相對面對角線相對面對角線相互空間交叉相互空間交叉空間問題空間問題 3 3 形成四面體的對角線劃分方法形成四面體的對角線劃分方法 2 2）先劃為五面體再劃分為）先劃為五面體再劃分為6 6個(gè)四面體個(gè)四面體12435687124356435687連連47、76、636874、5673、4763連連23、25、632351、3562、3642a a6

7、6型型以折面以折面35643564分分空間問題空間問題 3 3 形成四面體的對角線劃分方法形成四面體的對角線劃分方法 2 2）先劃為五面體再劃分為）先劃為五面體再劃分為6 6個(gè)四面體個(gè)四面體12435687連連35、52、633562、5673、2351連連47、46、633764、6874、3642a a6 6型型以折面以折面23762376分分243687123567兩種兩種a6劃分劃分結(jié)果完全相同結(jié)果完全相同空間問題空間問題 3 3 形成四面體的對角線劃分方法形成四面體的對角線劃分方法 2 2）先劃為五面體再劃分為）先劃為五面體再劃分為6 6個(gè)四面體個(gè)四面體12435687連連23、35

8、、452453、4753、2351連連45、46、674562、5674、6874b b6 6型型以折面以折面24752475分分245687124357空間問題空間問題 3 3 形成四面體的對角線劃分方法形成四面體的對角線劃分方法 2 2）先劃為五面體再劃分為）先劃為五面體再劃分為6 6個(gè)四面體個(gè)四面體12435687連連47、76、544753、5674、6874連連32、25、542351、4352、4562b b6 6型型以折面以折面34653465分分124356435687兩種兩種b6劃分劃分結(jié)果也完全相同結(jié)果也完全相同作業(yè)：作業(yè)：p.95給出了由六面體給出了由六面體8個(gè)角個(gè)角點(diǎn)點(diǎn)

9、號，按式點(diǎn)點(diǎn)號，按式(4.1.25)求求a6和和a5型型四面體結(jié)點(diǎn)號的方法。請考慮四面體結(jié)點(diǎn)號的方法。請考慮b6和和b5型的計(jì)算公式。型的計(jì)算公式?？臻g問題空間問題 4 4 六面體類單元的形函數(shù)六面體類單元的形函數(shù) 1 1）八結(jié)點(diǎn)單元）八結(jié)點(diǎn)單元12345678類似平面問題矩形線性單元，由試類似平面問題矩形線性單元，由試湊法可建立形函數(shù)如下：湊法可建立形函數(shù)如下：in0000001 1=1+=1+1+1+1+1+ 8 82 2）二十結(jié)點(diǎn)單元）二十結(jié)點(diǎn)單元和平面問題一樣，基于和平面問題一樣，基于試湊法，可以根據(jù)上述試湊法，可以根據(jù)上述八八結(jié)點(diǎn)低階單元形函數(shù)結(jié)點(diǎn)低階單元形函數(shù)構(gòu)造各頂點(diǎn)形函數(shù)。構(gòu)造

10、各頂點(diǎn)形函數(shù)。123456789101112141720作業(yè)：作業(yè)：32結(jié)點(diǎn)三次單元結(jié)點(diǎn)三次單元空間問題空間問題 5 5 五面體類單元的形函數(shù)五面體類單元的形函數(shù) 1 1）試湊法建立六結(jié)點(diǎn)形函數(shù)）試湊法建立六結(jié)點(diǎn)形函數(shù)用于與六面體單元聯(lián)合，解決邊界用于與六面體單元聯(lián)合，解決邊界形狀不規(guī)則物體的分析。形狀不規(guī)則物體的分析。11(1,2,3)2inlii課堂練習(xí)：建立課堂練習(xí)：建立15結(jié)點(diǎn)五面體單元形函數(shù)。結(jié)點(diǎn)五面體單元形函數(shù)。2 2）三維等參元列式）三維等參元列式 基本思想和平面問題一樣，具基本思想和平面問題一樣，具體列式參看體列式參看p.101p.104。l1l2312645112inli+3

11、軸對稱問題軸對稱問題 工程中有一類結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件及工程中有一類結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件及作用的荷載都對稱于某一固定軸作用的荷載都對稱于某一固定軸( (可視為子午面內(nèi)平可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果) )，其力學(xué)分析稱為軸對，其力學(xué)分析稱為軸對稱問題。典型例子為煙囪、儲(chǔ)液罐等受恒載作用。稱問題。典型例子為煙囪、儲(chǔ)液罐等受恒載作用。1 1 離散化離散化 由于由于可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果轉(zhuǎn)一周的結(jié)果，2 2 應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變 對軸對稱問題進(jìn)行分析一般取柱對軸對稱問題進(jìn)行分析一般取柱坐標(biāo)系，對稱軸為

12、坐標(biāo)系，對稱軸為z軸，徑向?yàn)檩S，徑向?yàn)閞 軸，環(huán)向?yàn)檩S，環(huán)向?yàn)檩S。軸。 因此軸對稱問題分析可在子午面內(nèi)因此軸對稱問題分析可在子午面內(nèi)劃分單元，實(shí)際是取子午面內(nèi)圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)所劃分單元，實(shí)際是取子午面內(nèi)圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)所得得“圓環(huán)形單元圓環(huán)形單元”對物體進(jìn)行離散。對物體進(jìn)行離散。 因此可用的單元因此可用的單元與平面問題一樣。與平面問題一樣。軸對稱問題軸對稱問題 在柱坐標(biāo)下軸對稱問題的幾何方程為在柱坐標(biāo)下軸對稱問題的幾何方程為根據(jù)具體單元根據(jù)具體單元, ,代入所建立的位移模式代入所建立的位移模式, ,即可得應(yīng)變矩即可得應(yīng)變矩陣陣b。0010rzrzurrwuzzwurruwzrzr 軸向位移軸向

13、位移徑向位移徑向位移 教材上教材上有推導(dǎo)有推導(dǎo)的示意的示意圖，參圖，參考彈性考彈性力學(xué)。力學(xué)。由于算子中有由于算子中有1/r，所以三角形環(huán)單元所以三角形環(huán)單元b不再是常不再是常數(shù)矩陣。數(shù)矩陣。軸對稱問題軸對稱問題 根據(jù)具體單元，即可得應(yīng)變、應(yīng)力矩陣等。根據(jù)具體單元，即可得應(yīng)變、應(yīng)力矩陣等。ed10101-1-1-1-10101-1-1-1-= =1+1-21+1-210101-21-22 1-2 1- d = 0式中式中對稱對稱對線彈性問題，在上述應(yīng)變分量條件下，物理方程為對線彈性問題，在上述應(yīng)變分量條件下，物理方程為 以三角形環(huán)單元為例，其位移模式為以三角形環(huán)單元為例，其位移模式為12223

14、2(1,2,3)eeiinnnnl idiiin軸對稱問題軸對稱問題 根據(jù)軸對稱問題的算子矩陣，單元應(yīng)變矩陣為根據(jù)軸對稱問題的算子矩陣，單元應(yīng)變矩陣為t123tt00100200eeeiiiiiiiiiiinnnbgcrrzbcbnnzrbbb ba n123t1111211212(1)(1)(1 2 )/( , ),/(1),(1 2 )/2/(1)rzrzeeeiiiiiiiiiiiiiiiiibagabagabga ceaccaca bgarbc z rg r zaadbsssss應(yīng)力矩陣：應(yīng)力矩陣： 由于應(yīng)變矩陣的特點(diǎn)，應(yīng)力分量中除剪應(yīng)力為由于應(yīng)變矩陣的特點(diǎn)，應(yīng)力分量中除剪應(yīng)力為常量外

15、，其余三項(xiàng)正應(yīng)力均不再是常數(shù)。常量外，其余三項(xiàng)正應(yīng)力均不再是常數(shù)。軸對稱問題軸對稱問題 由于由于b b 中含有坐標(biāo)變量，因此積分運(yùn)算較平面中含有坐標(biāo)變量，因此積分運(yùn)算較平面問題復(fù)雜，精確積分參見問題復(fù)雜，精確積分參見zienkiewicz (finite zienkiewicz (finite element method, 5th edelement method, 5th ed，2000)2000)。 教材上對三角形環(huán)單元具體介紹了教材上對三角形環(huán)單元具體介紹了ke和和fee的有的有關(guān)計(jì)算過程。請自學(xué)相關(guān)內(nèi)容。關(guān)計(jì)算過程。請自學(xué)相關(guān)內(nèi)容。t2dekr ab db 單元?jiǎng)偠染仃嚾钥砂凑掌矫鎲?/p>

16、題的方法建立，但單元?jiǎng)偠染仃嚾钥砂凑掌矫鎲栴}的方法建立，但需注意體積積分應(yīng)在整個(gè)環(huán)上進(jìn)行。需注意體積積分應(yīng)在整個(gè)環(huán)上進(jìn)行。 實(shí)踐證明采用近似積分也能達(dá)到一定的精度，實(shí)踐證明采用近似積分也能達(dá)到一定的精度，具體對于三角形環(huán)單元用形心處坐標(biāo)代替應(yīng)變矩陣具體對于三角形環(huán)單元用形心處坐標(biāo)代替應(yīng)變矩陣中的坐標(biāo)變量。中的坐標(biāo)變量。如何進(jìn)一步改進(jìn)積分精度？如何進(jìn)一步改進(jìn)積分精度？軸對稱問題等參元分析軸對稱問題等參元分析 教材上教材上p.111p.111具體給出了單剛和等效荷載結(jié)果具體給出了單剛和等效荷載結(jié)果。t12;uwnne12dnnii單元位移場：單元位移場：單元描述：單元描述：tt1122;erzrz

17、rzernrriiiiiiiiiiiinnrzrzjrznnrz11112221223;iiiiiiinnnnnhjjhjjhn ri圓柱坐標(biāo)系下圓柱坐標(biāo)系下雅可比矩陣：雅可比矩陣：t132210;(1,2,)00ihhhihhe12ebbbb應(yīng)變矩陣：應(yīng)變矩陣： 如果軸對稱體上作用的非軸對稱荷載，如煙囪上作如果軸對稱體上作用的非軸對稱荷載，如煙囪上作用的風(fēng)荷載及地震荷載等，此時(shí)結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變用的風(fēng)荷載及地震荷載等，此時(shí)結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力將不再是軸對稱的，需按照空間問題求解。和應(yīng)力將不再是軸對稱的，需按照空間問題求解。軸對稱問題非軸對稱荷載軸對稱問題非軸對稱荷載此時(shí)求解費(fèi)用將大大增加，如

18、何進(jìn)行簡化？此時(shí)求解費(fèi)用將大大增加，如何進(jìn)行簡化？ 采用半解析有限元方法，將此類問題化為若干采用半解析有限元方法，將此類問題化為若干軸對稱問題疊加進(jìn)行求解。此處將軸對稱體上作用軸對稱問題疊加進(jìn)行求解。此處將軸對稱體上作用的一般荷載的一般荷載p p( (r,zr,z, ,) )沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解，并沿沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解，并沿方向展開成付氏級數(shù)：方向展開成付氏級數(shù)：011011011( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )sin( , )cosnniiiinniiiinniiiir r z

19、r r zr r zir r ziz r zzr zz r ziz r zit r zt r zt r zit r zi軸對稱軸對稱對稱對稱反對稱反對稱扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)軸對稱問題非軸對稱荷載軸對稱問題非軸對稱荷載非軸對稱荷載的分解：非軸對稱荷載的分解： r0、z0 與與無關(guān)，是無關(guān)，是軸對稱荷載；軸對稱荷載；t0 與與無關(guān)、沿?zé)o關(guān)、沿 方向，是方向，是扭轉(zhuǎn)荷載；扭轉(zhuǎn)荷載；ri(r,z)cosi等是關(guān)于等是關(guān)于=0平面的對稱荷載；平面的對稱荷載；ri(r,z)sini等是關(guān)于等是關(guān)于=0平面的反對稱荷載；平面的反對稱荷載；對稱對稱反對稱反對稱軸對稱問題非軸對稱荷載軸對稱問題非軸對稱荷載將位移作類似的分解

20、：將位移作類似的分解： u0、w0 軸對稱位移；軸對稱位移；v0 扭轉(zhuǎn)位移；扭轉(zhuǎn)位移；ui(r,z)cosi、 wi(r,z)cosi 、vi(r,z)sini是關(guān)于是關(guān)于=0平面對稱的位移；平面對稱的位移；ui(r,z)cosi 、wi(r,z)cosi、 vi(r,z)cosi是關(guān)于是關(guān)于=0平平面反對稱的位移。面反對稱的位移。011011011( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )cos( , )sin( , , )( , )( , )sin( , )cosnniiiinniiiinniiiiu r zu r zu r ziu r ziw r zw r zw r ziw r ziv r zv r zv r ziv r zi軸對稱軸對稱對稱對稱反對稱反對稱扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)軸對稱問題非軸對稱荷載軸對稱問題非軸對稱荷載 對稱荷載作用下的計(jì)算：對稱荷載作用下的計(jì)算： 對稱荷載引起的位移是對稱的：對稱荷載引起的位移是對稱的：111t11111( , )coscos00( , )cos(0cos0)( , )sin00sinijinnmiijjiijiijnniimmmiiiuuu r ziiww r ziinwvv r ziivnnuvnnie ei33iuii n sym11tttt11coscos00( , , )cos