基于matlab的一級倒立擺自適應(yīng)仿真畢業(yè)論文

1、第一章 緒論1.1倒立擺系統(tǒng)的簡介1.1.1倒立擺系統(tǒng)的研究背景及意義倒立擺系統(tǒng)的最初分析研究開始于二十世紀五十年代，是一個比較復雜的不穩(wěn)定、多變量、帶有非線性和強耦合特性的高階機械系統(tǒng)，它的穩(wěn)定控制是控制理論應(yīng)用的一個典型范例1。倒立擺系統(tǒng)存在嚴重的不確定性，一方面是系統(tǒng)的參數(shù)的不確定性，一方面是系統(tǒng)的受到不確定因素的干擾。通過對它的研究不僅可以解決控制中的理論問題，還將控制理論涉及的相關(guān)主要學科：機械、力學、數(shù)學、電學和計算機等綜合應(yīng)用。在多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用中，特別是在工程中，存在一種可行性的實驗問題，將其理論和方法得到有效的驗證，倒立擺系統(tǒng)可以此提供一個從控制理論通過實踐的橋

2、梁。近些年來，國內(nèi)外不少專家、學者一直將它視為典型的研究對象，提出了很多控制方案，對倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題進行了大量研究，都在試圖尋找不同的控制方法實現(xiàn)對倒立擺的控制，以便檢查或說明該方法的嚴重非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制能力，其控制方法在軍工、航天、機械人領(lǐng)域和一般工業(yè)過程中都有著廣泛的用途，如精密儀器的加工、機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制、導彈攔截控制、航空對接控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等方面均涉及到倒置問題。因此，從控制這個角度上講，對倒立擺的研究在理論和方法論上均有著深遠意義。倒立擺系統(tǒng)是一個典型的自不穩(wěn)定系統(tǒng)，其中擺作為一個典型的振動和運動問題，可以抽象為許

3、多問題來研究。隨著非線性科學的發(fā)展，以前的采用線性化方法來描述非線性的性質(zhì)，固然無可非議，但這種方法是很有局限性，非線性的一些本質(zhì)特征往往不是用線性的方法所能體現(xiàn)的。非線性是造成混亂、無序或混沌的核心因素，造成混亂、無序或混沌并不意味著需要復雜的原因，簡單的非線性就會產(chǎn)生非常的混亂、無序或混沌。在倒立擺系統(tǒng)中含有極其豐富和復雜的動力學行為，如分叉、分形和混沌動力學，這方面的問題也值得去探討和研究。 無論哪種類型的倒立擺系統(tǒng)都具有如下特性2：(1)非線性倒立擺是一個典型的非線性復雜系統(tǒng)。實際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進行控制，也可以利用非線性控制理論對其進行控制，倒立擺的

4、非線性控制正成為一個研究的熱點。(2)不確定性主要是指建立系統(tǒng)數(shù)學模型時的參數(shù)誤差、量測噪聲以及機械傳動過程中的減速齒輪間隙等非線性因素所導致的難以量化的部分。(3)欠冗余性一般的，倒立擺控制系統(tǒng)采用單電機驅(qū)動，因而它與冗余機構(gòu)，比如說冗余機器人有較大的不同。之所以采用欠冗余的設(shè)計是要在不失系統(tǒng)可靠性的前提下節(jié)約經(jīng)濟成本或者節(jié)約有效的空間。研究者常常是希望通過對倒立擺控制系統(tǒng)的研究獲得性能較為突出的新型控制器設(shè)計方法，并驗證其有效性及控制性能。(4)耦合特性倒立擺擺桿和小車之間，以及多級倒立擺系統(tǒng)的上下擺桿之間都是強耦合的。這既是可以采用單電機驅(qū)動倒立擺控制系統(tǒng)的原因，也是使得控制系統(tǒng)的設(shè)計、

5、控制器參數(shù)調(diào)節(jié)變得復雜的原因。(5)開環(huán)不穩(wěn)定性倒立擺系統(tǒng)有兩個平衡狀態(tài)：垂直向下和垂直向上。垂直向下的狀態(tài)是系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點(考慮摩擦力的影響)，而垂直向上的狀態(tài)是系統(tǒng)不穩(wěn)定的平衡點，開環(huán)時微小的擾動都會使系統(tǒng)離開垂直向上的狀態(tài)而進入到垂直向下的狀態(tài)中。(6)約束限制由于實際機構(gòu)的限制，如運動模塊行程限制，電機力矩限制等。為制造方便和降低成本，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機功率都盡量要求最小，行程限制對于倒立擺的擺起尤為突出，很容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。倒立擺的以上特性增加了倒立擺的控制難度，也正是由于倒立擺的這些特性，使其更具有研究價值和意義3。1.1.2 倒立擺系統(tǒng)的分類倒立擺系統(tǒng)誕生之初為單級直

6、線形式，即僅有的一級擺桿一端自由，另一端鉸接于可以在直線導軌上自由滑動的小車上。在此基礎(chǔ)上，人們又進行拓展，產(chǎn)生了多種形式的倒立擺。按照基座的運動形式，主要分為三大類：直線倒立擺、環(huán)形倒立擺和平面倒立擺，每種形式的倒立擺再按照擺桿數(shù)量的不同可進一步分為一級、二級、三級及多級倒立擺等4。擺桿的級數(shù)越多，控制難度越大，而擺桿的長度也可能是變化的。多級擺的擺桿之間屬于自有連接(即無電動機或其他驅(qū)動設(shè)備)。目前，直線型倒立擺作為一種實驗儀器以其結(jié)構(gòu)相對簡單、形象直觀、構(gòu)件參數(shù)易于改變和價格低廉等優(yōu)點，已經(jīng)廣泛運用于教學5。關(guān)于直線倒立擺的控制技術(shù)已經(jīng)基本趨于成熟，在該領(lǐng)域所出的成果也相當豐富。盡管環(huán)形

7、倒立擺的基座運動形式與直線倒立擺有所差異，但二者相同之處是基座僅有一個自由度，可以借鑒比較成熟的直線倒立擺的研究經(jīng)驗，所以近幾年來也產(chǎn)生了大量的理論成果。平面倒立擺是倒擺系統(tǒng)中最復雜的一類，這是因為平面倒立擺的基座可以在平面內(nèi)自由運動，并且擺桿可以沿平面內(nèi)的任一軸線轉(zhuǎn)動，使系統(tǒng)的非線性、耦合性、多變量等特性更加突出，從而增加了控制的難度，而且機械和電子器件發(fā)展遇到瓶頸性的困難，給平面倒立擺的工程實現(xiàn)也帶來了一定的難度。按擺桿的材質(zhì)不同，倒立擺系統(tǒng)分為剛體擺桿倒立擺系統(tǒng)和柔性倒立擺系統(tǒng)。在柔性倒立擺系統(tǒng)中，擺桿本身己經(jīng)變成了非線性分布參數(shù)系統(tǒng)。根據(jù)研究的目的和方法不同，倒立擺系統(tǒng)又分為懸掛式倒立

8、擺、球平衡系統(tǒng)和平行式倒立擺。其中，研究比較多的是懸掛式倒立擺。這種倒立擺開始工作時，擺桿處于自由下垂狀態(tài)?？刂崎_始時，首先使擺桿按自由振蕩頻率擺動，隨著擺桿振蕩幅度的加大，當擺桿接近于倒立擺豎直倒立位置時，自動轉(zhuǎn)換控制方法，使其穩(wěn)定于倒置狀態(tài)。根據(jù)導軌的形狀小同，倒立擺的運動軌道可以是水平的，也可以是傾斜的。傾斜倒立擺對實際機器人的步行穩(wěn)定控制研究非常有意義。盡管倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式多種多樣，但是無論屬于哪一種結(jié)構(gòu)，就其本身而言，都是一個非線性、多變量、強耦合、絕對不穩(wěn)定性系統(tǒng)6。1.1.3 倒立擺系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀倒立擺系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值，對其控制研究是控制領(lǐng)域研究的熱門課

9、題之一，國內(nèi)外的專家學者對此給予了廣泛的關(guān)注。倒立擺系統(tǒng)研究最早始于上世紀50年代，麻省理工學院(mit)機電工程系的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計出一級倒立擺實驗裝置7。1966年schaefer和cannon應(yīng)用bangbang控制理論將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置。其實，正式提出倒立擺概念的是60年代后期。在此基礎(chǔ)上，世界各國專家和學者對倒立擺進行了拓展，產(chǎn)生了直線二級倒立擺、三級倒立擺、多級倒立擺、柔性直線倒立擺、環(huán)形倒立擺、平面倒立擺、環(huán)形并聯(lián)多級倒立擺以及斜坡倒立擺等實驗設(shè)備，并用不同的控制方法對其進行了控制，使研究成為了具有挑戰(zhàn)性的課題之一。1976年mori etc首先把倒立擺

10、系統(tǒng)在平衡點附近線性化，利用狀態(tài)空間方法設(shè)計比例微分控制器實現(xiàn)了一級倒立擺的穩(wěn)定控制。1980年，furuta etc等人基于線性化方法，實現(xiàn)了二級倒立擺的控制。1984年，furuta等人應(yīng)用最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器理論首次實現(xiàn)雙電機三級倒立擺實物控制；wattes研究了lqr(linear quadratic regulator)方法控制倒立擺。80年代后期開始，較多的研究了倒立擺系統(tǒng)中的非線性特性，提出了一系列的基于非線性分析的控制策略。1992年，furuta等人提出用變結(jié)構(gòu)控制來控制倒立擺。1993年，wiklund等人應(yīng)用基于李亞普諾夫的方法控制了環(huán)形一級倒立擺。bouslama利用一個簡單

11、的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來學習模糊控制器的輸入輸出數(shù)據(jù)，設(shè)計了新型控制器。1995年，fradkov等人提出的基于無源性的控制；yamakita等人給出了環(huán)形二級倒立擺的實驗結(jié)果；li利用兩個并行的模糊滑模來分別控制小車和擺桿偏角；deris利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學習能力來整定pid控制器參數(shù)。1997年，gordillo比較了lqr方法和基于遺傳算法的控制方法，結(jié)論是傳統(tǒng)控制方法比遺傳算法控制效果更好8。國內(nèi)對倒立擺的研究始于80年代，雖然起步較晚但發(fā)展迅速，取得了可喜的成果。對于單級倒立擺口釘和二級倒立擺系統(tǒng)的研究已經(jīng)歷了很長的歷程，并且有很多控制成功的報道。在此基礎(chǔ)上，三級倒立擺b53及多級倒立擺的研究也取

12、得了很大進展，不僅在系統(tǒng)仿真方面，而且在實物實驗中，都出現(xiàn)了控制成功的范例。尹征琦等成功的以模擬的降維觀測器實現(xiàn)了二級倒立擺的控制。梁任秋等針對二級倒立擺系統(tǒng)給出了三種實用的數(shù)字控制器和降維觀測器。1994年，北京航空航天大學教授張明廉將人工智能與自動控制理論相結(jié)合，提出“擬人智能控制理論”，實現(xiàn)了用單電動機控制三級倒立擺實物以及后來實現(xiàn)對二維單倒立擺控制。張乃堯等用雙閉環(huán)模糊控制方法對倒立擺進行了控制。李祖樞等人利用擬人智能控制理論研究了二級倒立擺的起擺和控制問題。李德毅教授利用反映語言值中蘊涵的模糊性和隨機性，給出云發(fā)生器的生成算法，解釋多條定性推理規(guī)則同時被激活時的不確定性推理機制，利用

13、這種智能控制方法有效地實現(xiàn)了單電機控制的一、二、三級倒立擺的多種不同動平衡姿態(tài)，顯示其魯棒性，并給出了詳細試驗結(jié)果。北京師范大學李洪興教授領(lǐng)導的模糊系統(tǒng)與模糊信息研究中心暨復雜系統(tǒng)實時智能控制實驗室采用變論域自適應(yīng)模糊控制理論，分別于2001年6月和2002年8月完成了四級倒立擺系統(tǒng)的仿真和實物實驗。朱江濱等人提出了一種基于專家系統(tǒng)及變步長預(yù)測控制的實時非線性系統(tǒng)控制方法，仿真實現(xiàn)了二級倒立擺的擺起及穩(wěn)定控制側(cè)。王永等通過對多級倒立擺動力學分析，得到了任意級旋轉(zhuǎn)倒立擺的數(shù)學模型。2005年國防科學技術(shù)大學的羅成教授等人利用基于lqr的模糊插值實現(xiàn)了五級倒立擺的控制?？傊沽[系統(tǒng)是檢驗各種控

14、制算法、研究控制理論很有效的實驗設(shè)備9。目前應(yīng)用在倒立擺上的算法主要有以下幾類：(1)經(jīng)典控制理論：pid控制。通過對倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺系統(tǒng)的動力學模型，設(shè)計pid控制器實現(xiàn)控制。(2)現(xiàn)代控制理論：狀態(tài)反饋。通過對倒立擺系統(tǒng)物理模型的分析，建立系統(tǒng)的動力學模型，然后使用狀態(tài)空間理論推導出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋，實現(xiàn)對倒立擺的控制。常見的方法有：1）極點配置，2）線性二次型最優(yōu)控制，3）魯棒控制，4）狀態(tài)反饋控制10。(3)模糊控制理論：主要是確定模糊規(guī)則，克服系統(tǒng)的非線性和不確定性實現(xiàn)對倒立擺的穩(wěn)定控制。(4)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制理論。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠充分逼近復雜的非線性關(guān)系

15、，學習與適應(yīng)嚴重不確定系統(tǒng)的動態(tài)特性，與其他控制方法結(jié)合實現(xiàn)對倒立擺的穩(wěn)定控制。(5)擬人智能控制理論。不需要了解被控對象的數(shù)學模型，憑借人的知識與直覺經(jīng)驗并借助計算機快速模擬控制經(jīng)驗，把人的思維中的定性分析與控制理論中的定量計算相互結(jié)合，從而實現(xiàn)對倒立擺的控制。(6)云模型控制理論。用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機制。這種方法不要求給出對象的精確的數(shù)學模型，而僅依據(jù)人的經(jīng)驗、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達的控制經(jīng)驗，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題。(7)自適應(yīng)控制理論。主要是為倒立擺設(shè)計出自適應(yīng)控制器。(8)非線性控

16、制理論。應(yīng)用非線性控制的方法研究倒立擺的控制。(9)遺傳算法。以要尋優(yōu)的參數(shù)組成染色體，通過模擬生物從父代到子代，再從子代到孫代，不斷地進化演變的過程來進行迭代求解的。其模擬生物界優(yōu)勝劣汰的進化過程來實現(xiàn)參數(shù)的尋優(yōu)。（10）支持向量機聆劌。提出最優(yōu)超平面的概念并且與核空間相結(jié)合，以一個凸二次優(yōu)化及其wolfe對偶來構(gòu)造分類問題，并且在此基礎(chǔ)上發(fā)展成多類分類和函數(shù)回歸問題。(11)變結(jié)構(gòu)控制理論：滑?？刂?。（12）幾種控制算法相結(jié)合的控制方式。充分利用各控制算法的優(yōu)越性，來實現(xiàn)一種組合式的控制方法，比如：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制與模糊控制理論結(jié)合的方法，遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制結(jié)合的方法，模糊控制與pid控制

17、結(jié)合的方法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制與預(yù)測控制算法相結(jié)合的方法，遺傳算法與模糊控制理論結(jié)合的方法，支持向量機與模糊控制相結(jié)合的方法等。1.1.4 倒立擺的控制方法倒立擺系統(tǒng)的輸入為小車的位移(即位置)和擺桿的傾斜角度期望值，計算機在每一個采樣周期中采集來自傳感器的小車與擺桿的實際位置信號，與期望值進行比較后，通過控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動電機實現(xiàn)倒立擺的實時控制。電機通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運動，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地擺動。作用力平行于軌道的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車沿著水平導軌運動。當沒有作用力時，擺桿處于垂直的穩(wěn)定

18、的平衡位置(豎直向下)。為了使擺桿擺動或者達到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動。因此，倒立擺系統(tǒng)的控制原理可簡述如下：用一種強有力的控制方法對小車的速度作適當?shù)目刂?，從而使擺桿倒置穩(wěn)定于小車正上方。倒立擺剛開始工作時，首先使小車按擺桿的自由振蕩頻率擺動，擺桿隨之大幅度擺動。經(jīng)過幾次擺動后，擺桿能自動直立起來。這種被控量既有角度，又有位置，且它們之問又有關(guān)聯(lián)，具有非線性、時變、多變量耦合的性質(zhì)。1.2 matlab簡介matlab是美國math works 軟件公司于1984年推出的一種用于科學計算的高性能語言。它集數(shù)值計算、圖形圖像顯示以及編程于一體, 是常用

19、的控制系統(tǒng)分析與設(shè)計工具12。1990 年, mathworks軟件公司為matlab 提供了新的控制系統(tǒng)圖形化模型輸入與仿真工具simulink。這是matlab的一個擴展軟件模塊。該模塊提供了一個建模、分析與仿真等多種物理與數(shù)學問題的軟件環(huán)境, 并為圖形用戶界面提供了動態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方塊圖模型, 從而使用戶可以既快又方便地對系統(tǒng)進行建模、仿真, 而不必寫任何代碼程序。因此該工具很快就在控制工程界獲得了廣泛的認可,并使仿真軟件進入了系統(tǒng)模型的圖形組態(tài)階段13。1.2.1 simulink仿真環(huán)境介紹simulink環(huán)境是1990年前后由mathworks公司推出的產(chǎn)品，原名simulab，19

20、92年改為simulink。其名字有兩重含義，仿真(simu)與模塊連接(1ink)，表示該環(huán)境可以用框圖的方式對系統(tǒng)進行仿真14。simulink是用來建模、分析和仿真各種動態(tài)系統(tǒng)的交互環(huán)境，包括連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)和混合系統(tǒng)。simulink提供了采用鼠標拖放的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形交互平臺。通過simulink提供的豐富的功能塊，可以迅速地創(chuàng)建動態(tài)系統(tǒng)模型。同時simulink還集成了stateflow，用來建模、仿真復雜事件驅(qū)動系統(tǒng)的邏輯行為。另外，simulink也是實時代碼生成工具real-time workshop的支持平臺?？刂葡到y(tǒng)仿真研究的一種很常見的需求，系統(tǒng)在某些信號驅(qū)

21、動下，觀測系統(tǒng)的時域響應(yīng)，從中得出期望的結(jié)論。對于簡單線性系統(tǒng)來說，可以利用控制系統(tǒng)工具箱中的相應(yīng)函數(shù)來對系統(tǒng)進行分析15。對于復雜的系統(tǒng)來說，單純采用上述的方法有時難以完成仿真任務(wù)。比如說，若想研究結(jié)構(gòu)復雜的非線性系統(tǒng)，用前面介紹的方法則需要寫出系統(tǒng)的微分方程，這是很復雜的。如果有一個基于框圖的仿真程序，則解決這樣的問題就輕而易舉了。simulink環(huán)境就是解決這樣問題的理想工具，它包含一個龐大的模塊庫，用戶可以通過鼠標點擊和拖拉模塊既快速又方便地對系統(tǒng)進行建模仿真，而不必編寫任何程序代碼。它還能在同一屏幕上進行仿真、資料顯示和輸出波形。simulink環(huán)境是解決非線性系統(tǒng)建模、分析與仿真的

22、理想工具。simulink是matlab環(huán)境下的模擬工具，其文件類型為.mdl，simulink為用戶提供了方便的圖形化功能模塊，以便連接一個模擬系統(tǒng)，簡化設(shè)計流程，減輕設(shè)計負擔。更重要的是，simulink能夠用matlab自身的語言或其它語言，根據(jù)s.函數(shù)的標準格式，寫成定義的功能模塊。因此其擴充性很強，同時也能調(diào)用.dll文件類型的應(yīng)用程序，實現(xiàn)與其集成應(yīng)用的目的。在倒立擺系統(tǒng)的仿真過程中會用到simulink的基本操作和用法。1.2.2 s-函數(shù)簡介 simulink中的函數(shù)也稱為系統(tǒng)函數(shù)，簡稱s-function。它是simulink為用戶提供的一種強大的編程機制。它采用一種特殊的調(diào)

23、用規(guī)則來實現(xiàn)用戶與simulink內(nèi)部解法器的互換。這種互換同simulink內(nèi)部解法器與內(nèi)置的模塊之間的互換非常相似，并且這種交互可以適用于不同性質(zhì)的系統(tǒng)，如連續(xù)系統(tǒng)、離散系統(tǒng)及混合系統(tǒng)。通過編寫s-函數(shù)，用戶可以向s-函數(shù)中添加自己的算法，該算法可以用matlab編寫，也可以用標準c語言或其他匯編語言進行編寫。1.3本文的主要工作本文圍繞直線一級倒立擺的動力學建模、控制算法設(shè)計、仿真等一系列工作展開。本文的具體內(nèi)容安排如下：第一章為緒論，主要介紹一級倒立擺系統(tǒng)的研究背景及意義、分類、研究現(xiàn)狀、控制方法等并簡單介紹了matlab及simulink相關(guān)知識。第二章介紹了一級倒立擺系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)

24、、建立其動力學模型得出其傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達式。同時分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性及可觀測性。第三章介紹了一級倒立擺系統(tǒng)的各種算法。第四章著重介紹pid控制算法并對系統(tǒng)進行matlab仿真。第五章對論文工作做總結(jié)，并對一級倒立擺系統(tǒng)作了進一步展望。第二章 一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型的建立建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的前提。系統(tǒng)建?？梢苑譃闄C理建模和實驗建模。機理建模是對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的基本定律，如電學中的克?；舴蚨?，力學中的牛頓定律，熱力學中的熱力學定律等，即利用各個專門學科領(lǐng)域提出的物質(zhì)和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)設(shè)備的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導出模型，這種

25、方法得出的數(shù)學模型稱之為理論模型或解析模型，這種建立模型的方法稱之為解析法；實驗建模是根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)所提供的信息，進行數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理，并用適當?shù)臄?shù)學模型去逼近，從而得到關(guān)于系統(tǒng)模型的參數(shù)，這種方法是實驗方法或稱統(tǒng)計建模法，也稱系統(tǒng)辨識。由于倒立擺系統(tǒng)是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。在分析它的運動規(guī)律基礎(chǔ)上，經(jīng)過一定的假設(shè)，忽略一些次要的因素后，可通過機理建模方式建立其數(shù)學模型。本章將應(yīng)用牛頓-歐拉法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的動力學模型。2.1一級倒立擺系統(tǒng)動力學分析2.1.1直線一級倒立擺系統(tǒng)的硬件組成以及工作原理倒立擺系統(tǒng)包含倒立擺本體、電控箱及出計算機和運動控制卡組成的控

26、制平臺三大部分，組成了一個閉環(huán)系統(tǒng)。其結(jié)構(gòu)件圖如圖2.1所示：圖2.1 一級倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖其中電控箱內(nèi)主要有以下部件：(1)交流伺服驅(qū)動器；(2)io接口板；(3)開關(guān)電源。控制平臺主要部分組成：(1)與ibm pcai機兼容的pc機，帶pcisci總線插槽；(2)gt400一svpci運動控制卡；(3)gt400svpci運動控制卡用戶接口軟件。電機通過同步帶驅(qū)動小車在滑桿上來回運動，以保持擺桿平衡。直線一級倒立擺系統(tǒng)的工作原理如圖2.2所示：計算機運動控制卡伺服驅(qū)動器伺服電機擺桿光電碼盤1光電碼盤2圖2.2 倒立擺系統(tǒng)工作原理框圖電機編碼器和角碼器向運動控制卡反饋小車和擺桿位置，小車的

27、位移可以根據(jù)光ffl碼盤l的反饋通過換算獲得，速度信號可以通過對位移的差分得到，并同時反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡；擺桿的角度由光電碼盤2測量得到，而角速度信號可以通過對角度的差分得到，并同時反饋給控制卡和伺服驅(qū)動器。計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù)，確定控制決策(小車向哪個方向移動，移動速度，加速度等)，并由運動控制卡來實現(xiàn)控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機轉(zhuǎn)動，帶動小車運動，保持擺桿平衡。下面來介紹一級倒立擺系統(tǒng)的一些硬件組成：（1）伺服電機伺服電機又稱為執(zhí)行電動機，在自動控制系統(tǒng)中作為執(zhí)行元件，它將輸入的電壓信號變換成轉(zhuǎn)軸的角位移或者角速度輸出。輸入的電壓信號又稱為控制信號或者控制電壓。

28、改變控制電壓可以變更伺服電機的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。自動控制系統(tǒng)對伺服電機的基本要求如下:1）寬廣的調(diào)速范圍伺服電機的轉(zhuǎn)速隨著控制電壓的改變能在寬廣的范圍內(nèi)實現(xiàn)連續(xù)調(diào)節(jié)。2）機械特性和調(diào)節(jié)特性均為線性伺服電機的機械特性是指控制電壓一定時轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)距的變化關(guān)系;調(diào)節(jié)特性是指電機轉(zhuǎn)矩一定時，轉(zhuǎn)速隨控制電壓的變化關(guān)系。線性的機械特性和調(diào)節(jié)特性有利于提高自動控制系統(tǒng)的動態(tài)精度。3）無“自轉(zhuǎn)”現(xiàn)象伺服電機在控制電壓為零時，能夠自行停轉(zhuǎn)。4）快速響應(yīng)電機的機電常數(shù)要小，相應(yīng)的伺服電機要有較大的堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩和較小的轉(zhuǎn)動慣量。這樣，電機的轉(zhuǎn)速便能隨著控制電壓的改變而迅速變化。(2) 編碼器編碼器作為檢測轉(zhuǎn)速、線速度、角速度、

29、線位移、角位移的一種傳感器，是利用碼盤將這些信號轉(zhuǎn)換成亮、暗光信號，再用各種光電器件的光電效應(yīng)將信號轉(zhuǎn)換成電信號輸出?？梢哉f是一種最簡單的數(shù)字式傳感器，精度高且可靠，應(yīng)用非常廣泛。編碼器有兩種形式:增量式編碼器和絕對編碼器。(3)限位開關(guān)限位開關(guān)又稱行程開關(guān),可以安裝在相對靜止的物體(如固定架、門框等，簡稱靜物)上或者運動的物體（如行車、門等，簡稱動物）上。當動物接近靜物時，開關(guān)的連桿驅(qū)動開關(guān)的接點引起閉合的接點分斷或者斷開的接點閉合。由開關(guān)接點開、合狀態(tài)的改變?nèi)タ刂齐娐泛蜋C構(gòu)的動作。限位開關(guān)也可分為旋轉(zhuǎn)限位開關(guān)及直行限位開關(guān)。 (4)運動控制器2.1.2建立單級倒立擺的數(shù)學模型數(shù)學模型是分析

30、、設(shè)計、預(yù)報和控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。建立系統(tǒng)數(shù)學模型有兩種方法:一種是從基本物理定律，即利用各個專門學科領(lǐng)域提出來的物質(zhì)和能量的守恒性、連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導出模型。這種方法得出的數(shù)學模型稱為機理模型或解析模型，這種建立模型的方法稱為解析法。另一種是系統(tǒng)運行和實驗數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的模型(模型結(jié)構(gòu)和參數(shù))，這種方法稱為系統(tǒng)辨識。倒立擺的形狀較為規(guī)則，而且是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，無法通過測量頻率特性方法獲取其數(shù)學模型，故適合用數(shù)學工具進行理論推導16。直線倒立擺系統(tǒng)是一個機電一體化系統(tǒng)，由小車和擺桿組成。小車可以沿水平方向上的導軌運動，導軌的一端固定有位置傳感器，可以測量小車的位移；擺桿通過轉(zhuǎn)軸固定在

31、小車上，小車和擺桿的連接處固定有共軸角度傳感器，用以測量擺桿的角度。直流永磁力矩電機和位置傳感器固定在同一側(cè)，直流電機通過傳送帶驅(qū)動小車沿導軌運動。導軌的兩端裝有行程開關(guān)，限制小車的左右位置。為了在數(shù)學上推導和處理問題的方便，可作出如下假設(shè)：（1） 擺桿在運動中是不變形的剛體；（2） 齒型帶與輪之間無相對滑動，齒型帶無拉長現(xiàn)象；（3） 小車在運動過程中，摩擦系數(shù)一定；（4） 忽略空氣阻力； 基于以上幾點，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)（圖2.3）mmuxf0圖2.3 一級倒立擺小車擺桿位置圖在本文中，將應(yīng)用牛頓一歐拉法對倒立擺進行數(shù)學建模17。在上面的圖2.3中假設(shè):x小車

32、位移，單位(m);擺桿與垂直方向的夾角，單位(rad);m小車的質(zhì)量，單位(kg);m擺桿的質(zhì)量，單位(kg);l擺桿的轉(zhuǎn)動軸心到擺桿質(zhì)心的長度，單位m;j擺桿對重心的轉(zhuǎn)動慣量，單位();u電機對小車施加的作用力，單位(n);f小車所受的等效摩擦力，單位(n);b小車所受的等效摩擦系數(shù)，單位(n/m/s);f擺桿所受的摩擦阻力矩系數(shù)，單位();首先，對小車進行受力分析，小車的受力分析如圖2.4所示。mufup圖2.4 小車隔離受力圖其中，n和p為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。其余字母同圖2.3中的說明。圖24中，n和p為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向分量，f為小車受到的作用

33、力，x為小車位移，為擺桿與垂直向上方向的夾角，為擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下)。分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程: （2-1） （2-2）其次，對擺桿進行受力分析，擺桿的受力如圖2.5所示。mgp圖2.5 擺桿受力分析圖 （2-3）即： （2-4）把這個等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個運動方程：得 （2-5）為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析(圖25)，可以得到下面方程： （2-6）即： （2-7）力矩平衡方程為 （2-8）注意：此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有負號。為了推出系統(tǒng)的第二個運動方程，我們合并這兩個方程，約

34、去p和n，得到第二個運動方程： （2-9）用u來代表被控對象的輸入力f，則運動方程組為：設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè)無限趨近于零，則可以進行近似處理：，用u來代表被控對象的輸入力f，線性化后兩個運動方程如下： （2-10）對上式做拉普拉斯變換，得： （2-11）注意：推導傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度為，求解方程組(2-11)的第一個方程，可以得到： （2-12）把式(212)代入方程組(29)的第二個方程，得到：整理后得到傳遞函數(shù)為18： （2-13）由于系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達式為： （2-14）方程組（2-14）對，解代數(shù)方程，得到解如下： （2-15）式2-15為

35、直線一級倒立擺系統(tǒng)在平衡點附近局部線性化以后得到的狀態(tài)方程。將該式寫成矩陣形式可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為19：（2-16） （2-17）由此可見，一級倒立擺實際上是一個單輸人多輸出的系統(tǒng)。只要將直線一級倒立擺的實際結(jié)構(gòu)參數(shù)（，）代入上面兩式，得：對應(yīng)系數(shù)矩陣為：， 2.2直線一級倒立擺系統(tǒng)分析 在得到系統(tǒng)的數(shù)學模型之后，為進一步了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對系統(tǒng)的特性進行分析，最主要的是對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性的分析20。豎直向上位置是直線一級倒立擺系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點，可以設(shè)計穩(wěn)定控制器來使直線一級倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在這個點。既然需要設(shè)計控制器穩(wěn)定系統(tǒng)，那么就要考慮系統(tǒng)是否能控。我們所關(guān)心的是系統(tǒng)

36、在平衡點附近的性質(zhì)，因而可以采用線性化模型來分析。系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一般可以應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)。對于系統(tǒng)在平衡點鄰域的穩(wěn)定性可以根據(jù)系統(tǒng)的線性模型進行分析。在對時不變系統(tǒng)進行定性分析時，一般要用到線性控制理論中的穩(wěn)定性、能控性和能觀性判據(jù)。2.2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析 在經(jīng)典控制理論中，對線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念是這樣定義的：如果系統(tǒng)由于受到擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài)，當擾動去除后，如果能恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。求解線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問題最簡單的方法是求出該系統(tǒng)的所有極點，并觀察是否含有實部大于零的極點(不穩(wěn)定極點)。如果有這樣的極點，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的

37、，否則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。要得出傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)和狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的所有極點，只需簡單的調(diào)用matlab函數(shù)roots(den)或eig(a)即可，這樣就可以由得出的極點位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。在matlab中，將實際系統(tǒng)的模型參數(shù)m=1.096kg，m=o.109kg，b=0.1nms， l=0.25m，i=0.0034kgmm代入式通過計算得到傳遞函數(shù)。仿真程序見下：m=1.096；m=0.109；b=0.1；1=0.25；i=0.0034；g=9.8；q=(m+m)*(1+m*l2)-(m*1)2；num=m*lq 0 0den=1 b*(i+m*l2)q-(m+m)*m*g*lq-b

38、*m*g*lq 0g=tf(num，den)；gl=ss(g)；eig(gia)t=0：0.005：5impulse(num，den，t)；axis(0 1 0 60)grid結(jié)果如下：num=2.3566 0 0den=1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0ans= o5.2727-5.2780-0.0830因此，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的表達式為：系統(tǒng)的開環(huán)極點為s=0，s=52727，s=-52780，s=-00830。由于有一個開環(huán)極點位于s平面的右半部，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。2.2.2系統(tǒng)可控性分析所謂系統(tǒng)的可控性是指系統(tǒng)的狀態(tài)是否能夠被控制。對于一個線性定常系統(tǒng)（a,b,c

39、）,其狀態(tài)向量x屬于n維實空間，即。若對r空間中任意一個狀態(tài)x(t)狀態(tài)與r空間中另任意一個狀態(tài)x(t)狀態(tài)，存在一個有限的時間t t及輸入u(t, t),能在t內(nèi)使x(t)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到x(t)，則系統(tǒng)叫做完全可控（簡稱可控）?？煽匦愿拍顑H僅要求輸入u能在有限的時間內(nèi)，使系統(tǒng)由狀態(tài)的任意一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一任意狀態(tài)。沒有規(guī)定轉(zhuǎn)移的軌跡，也沒有限制輸入量的大小。如果系統(tǒng)至少有一個狀態(tài)是不可控的，那么系統(tǒng)就是不完全控制的（簡稱不可控）?？紤]線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程：，, 其中，x是狀態(tài)向量，u是輸入向量，a，b都是常數(shù)陣?？梢愿鶕?jù)矩陣a和b確定系統(tǒng)的能控性。線性定常系統(tǒng)對于完全能控的充要條件是下列命題中

40、任何一個成立：（1） 矩陣的行在0,）上線性獨立。（2） 對于任何t, t0和；如下定義的格蘭姆矩陣非奇異： (3) ,其中, (4) 矩陣(si-a)b的行線性獨立。 式(2-15)中n是系統(tǒng)的階次。矩陣稱為系統(tǒng)的能控變換矩陣，該矩陣可以由matlab控制系統(tǒng)工具箱中的ctrb()函數(shù)自動產(chǎn)生出來。其調(diào)用格式為：，可求出系統(tǒng)的能控矩陣：矩陣的秩rank()稱為系統(tǒng)的能控性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能控狀態(tài)的數(shù)目。如果rank()=n，則系統(tǒng)完全能控。利用matlab可以求出rank()=4，即矩陣滿秩，可知系統(tǒng)可控，具體程序見附錄。2.2.3 系統(tǒng)可觀測性分析若一個n維線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程為：其

41、中a、b、c、d分別為nn、nr、mn、mr常數(shù)矩陣。若在有限時間t- t內(nèi)，根據(jù)輸出值y(t)與給出的u(t)，能夠確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t)的每一個分量,則稱此系統(tǒng)為完全可觀測的。若系統(tǒng)中至少有一個狀態(tài)變量是不可測的，則稱此系統(tǒng)為不完全可測的。系統(tǒng)的可觀測性只取決于狀態(tài)方程的a、c矩陣，可以構(gòu)造一個變換矩陣：上式中n是系統(tǒng)的階次。矩陣稱為系統(tǒng)的能觀測變換矩陣，該矩陣可以由matlab控制系統(tǒng)工具箱中的obsv(a，c)函數(shù)自動產(chǎn)生出來。其調(diào)用格式為：同理，可求出系統(tǒng)的能觀測矩陣：矩陣的秩rank()稱為系統(tǒng)的能觀測性指數(shù)，它的值是系統(tǒng)中能觀測狀態(tài)的數(shù)目。如果rank()=n，則系統(tǒng)完全能觀

42、測。由式子 其中 我們可知 rank()=4，即矩陣乃滿秩，系統(tǒng)可觀測，具體程序見附錄。我們可以看出，一級倒立擺系統(tǒng)的能控性矩陣和能觀性矩陣的秩均為4，所以系統(tǒng)是完全能控、完全能觀的。綜上所述，可以得知直線一級倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定且能控能觀系統(tǒng)21。2.3 本章小結(jié)本章應(yīng)用newton法建立直線一級倒立擺系統(tǒng)的動力學模型，推導了該系統(tǒng)的運動方程，求出了直線一級倒立擺系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型及空間狀態(tài)方程模型，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、能控性及能觀性進行了分析，得出直線一級倒立擺系統(tǒng)是線性不穩(wěn)定、完全能控、完全能觀系統(tǒng)結(jié)論。第三章 直線一級倒立擺的穩(wěn)定控制方案3.1 倒立擺的穩(wěn)定控制方案比較模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

43、控制、pid控制、狀態(tài)反饋控制、最優(yōu)控制等均可以用于倒立擺系統(tǒng)進行穩(wěn)定控制，這些方法各具優(yōu)缺點，下面對這幾種控制方法進行比較分析22。3.1.1 模糊控制算法模糊控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可以分為5個不同的部分：（1）定義變量：包括模糊控制器的輸入變量和輸出變量。輸入變量一般為誤差e和誤差變化率ec，輸出變量為系統(tǒng)的控制量；（2）模糊化：將輸入變量以適當?shù)谋壤D(zhuǎn)換到論域的數(shù)值；（3）知識庫：包括數(shù)據(jù)庫和規(guī)則庫。數(shù)據(jù)庫提供必要的定義，規(guī)則庫由語言控制規(guī)則描述控制目標和策略；（4）邏輯判斷：運用模糊邏輯進行模糊推理得到模糊控制信號；（5）解模糊化：將邏輯判斷階段得到的模糊控制信號變?yōu)閷嶋H的控制信號。模糊控制器

44、是一種語言變量控制器，控制規(guī)則策略簡單、直觀，不需要復雜的推理計算，是解決倒立擺這類不確定性系統(tǒng)的一種有效途徑。將模糊控制理論用于倒立擺系統(tǒng)中，仿真證明，控制效果并不理想，主要原因是模糊控制規(guī)則確定起來比較困難，控制規(guī)則不全，系統(tǒng)極易失控。3.1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個并行和分布式的信息處理網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)一般由多個神經(jīng)元組成，每個神經(jīng)元有一個單一的輸出，它可以連接到很多其它的神經(jīng)元，其輸入有多個連接通路，每個連接通路對應(yīng)一個連接權(quán)系數(shù)。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一樣，必須經(jīng)過學習才能具有智能特性。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學習過程，實際上就是調(diào)節(jié)權(quán)值和閡值的過程。 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制有許多

45、優(yōu)秀控制特性：（1）可以并行分布處理信息；（2）具有學習功能，具有對輸入數(shù)據(jù)歸納優(yōu)化的功能；（3）不僅可以用于線性控制，也可以用于非線性控制；（4）具有較強的自適應(yīng)能力。雖然神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制具有諸多優(yōu)點，在對倒立擺系統(tǒng)進行控制時不是非常有效，這是因為：（1）對于要滿足什么樣的條件才能實現(xiàn)非線性逼近的問題，討論的很少，這一問題解決比較困難；（2）研究建模算法和控制系統(tǒng)的收斂性和穩(wěn)定性有很大的難度，一般的方法未必適用；（3）目前的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本身就存在一些不足，特別是在線學習難以滿足要求。將模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相結(jié)合，提出了自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)。自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)(anfis，adaptive n

46、eural network based fuzzy inference system)是一種將模糊邏輯(fl)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(nn)有機結(jié)合的新型的模糊推理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從功能上與模糊推理系統(tǒng)等價的自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)。自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)為模糊建模過程學習一個數(shù)據(jù)集的信息提供了一種方法，計算隸屬度函數(shù)參數(shù)最好允許相關(guān)的模糊推理系統(tǒng)跟蹤給定的輸入輸出數(shù)據(jù)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)自動調(diào)整前提參數(shù)和結(jié)論參數(shù)。3.1.3 pid控制當今的自動控制技術(shù)大多基于反饋的概念。反饋理論的要素包括三個部分：測量、比較和執(zhí)行。pid控制的基本思想是：通過測量輸出變量，與期望值相比較，用這個誤差調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)。pid(比例一積分一微分)控制是一

47、種簡單而又優(yōu)秀的控制方法，關(guān)鍵是，在做出正確的測量和比較后，能更好地調(diào)節(jié)被控系統(tǒng)。pid控制器作為最早實用化的控制器己有50多年歷史，現(xiàn)在仍然是應(yīng)用廣泛的工業(yè)控制器。pid控制器結(jié)構(gòu)簡單，使用中不需要精確的系統(tǒng)模型，因而應(yīng)用最為廣泛。pid控制有其固有的優(yōu)點：首先，pid控制本身應(yīng)用范圍廣。雖然倒立擺模型是非線性的，但通過對其線性化可以變成線性系統(tǒng)，這樣pid控制就可以運用到倒立擺系統(tǒng)中了。pid控制還可以應(yīng)用于時變系統(tǒng)。另外，pid控制器參數(shù)比較容易整定。也就是，pid控制器的參數(shù)可以根據(jù)過程的動態(tài)特性及時整定。如果過程的動態(tài)特性變化，例如，倒立擺在穩(wěn)定控制中，外界給擺桿一個擾動，就可容易對

48、pid參數(shù)重新整定。但pid控制也有其固有的缺點：pid控制在控制像倒立擺這樣的非線性、強耦合及參數(shù)和結(jié)構(gòu)不確定的控制對象時，控制效果不理想。3.1.4 lqr控制算法 如果研究的系統(tǒng)為線性，所取的性能指標為狀態(tài)變量與控制變量的二次型函數(shù)，那么這種動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題，稱為線性二次型問題。線性二次型最優(yōu)控制問題的最優(yōu)解可以由黎卡提方程求得，具有統(tǒng)一的解析表達式，且可以與輸入構(gòu)成一個簡單的線性狀態(tài)反饋控制律，容易計算和實現(xiàn)閉環(huán)反饋控制，成為最優(yōu)控制理論及應(yīng)用最成熟的部分。最優(yōu)控制理論主要是依據(jù)龐德犀亞金的極值原理，通過對性能的優(yōu)化尋找可以使目標極小的控制器。其中線性二次型性能指標因為可以通過求解

49、riccati方程得到控制器參數(shù)，并且隨著計算機技術(shù)的進步，求解過程變的越來越簡便，因而在像倒立擺這樣的線性多變量系統(tǒng)的控制器設(shè)計中應(yīng)用很廣。利用線性二次型性能指標設(shè)計的控制器稱作lqr控制器。倒立擺系統(tǒng)的設(shè)計屬于連續(xù)系統(tǒng)的二次型設(shè)計。kr+-yx圖3.1 最優(yōu)控制方法系統(tǒng)圖線性二次型最優(yōu)控制不僅易于設(shè)計，容易實現(xiàn)、具有工程性，最優(yōu)控制的結(jié)果還可以應(yīng)用于非線性系統(tǒng)，但是該非線性系統(tǒng)必須工作在小信號條件下的，用線性二次型最優(yōu)控制方法計算和實現(xiàn)比非線性方法容易。線性二次型最優(yōu)控制器還可以用于求解非線性最優(yōu)控制問題。3.2 本章小結(jié)倒立擺的穩(wěn)定控制由來已久，本章主要是提出了多種控制算法，如模糊控制、

50、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、pid控制等，并對各種方案進行比較分析。通過比較分析，我們可以看出上述方案各有優(yōu)缺點。由于一級倒立擺系統(tǒng)比較簡單，我們選擇用pid控制算法來進行控制。下一章，我們著重介紹pid控制算法并對倒立擺進行仿真。第四章 直線一級倒立擺系統(tǒng)的pid控制4.1 pid調(diào)節(jié)簡述pid調(diào)節(jié)又叫pid控制，是比例、積分、微分調(diào)節(jié)的簡稱。在自動控制的發(fā)展歷程中，pid調(diào)節(jié)歷史悠久、控制性能最強的基本調(diào)解方式。pid調(diào)節(jié)原理簡單，易于整定，使用方便；按照pid調(diào)節(jié)功能工作的各類調(diào)節(jié)器廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)部門，適用性較強；pid調(diào)節(jié)性能指標對于受控對象的特性的稍許變化不很敏感，這就極大地保證了調(diào)節(jié)的有效性

51、；pid調(diào)節(jié)可用于補償系統(tǒng)使之達到大多數(shù)品質(zhì)指標的要求。直到目前為止，pid調(diào)節(jié)仍然是最廣泛應(yīng)用的基本控制方式23。具有pid特點的調(diào)解器既可以作為控制器，叫pid控制器；也可以作為校正器，叫pid校正器。pid校正是一種負反饋閉環(huán)控制器。pid調(diào)校正器通常與被控對象串聯(lián)連接，設(shè)置在負反饋閉環(huán)控制的前向通道上。若校正器與系統(tǒng)的前向通道或者前向通道的一部分構(gòu)成負反饋閉環(huán)連接，這種校正叫做反饋校正。pid控制系統(tǒng)原理框圖如圖4.1所示yout(k)k比例微分積分被控對象rin(k)+-+圖4.1 典型pid校正器的結(jié)構(gòu)框圖pid控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值r(f)與實際輸出值y(t)構(gòu)成控

52、制偏差。其中 （4-1）將偏差的比例(p)、積分(i)和微分(d)通過線性組合構(gòu)成控制量，對被控對象進行控制，故稱為pid控制器。其控制規(guī)律為： （4-2）其傳遞函數(shù)形式為： （4-3）式子中為比例系數(shù)，為積分時間常數(shù)，為微分時間常數(shù)。在控制系統(tǒng)設(shè)計和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫成： （4-4）該式子中為比例系數(shù)，為積分時間常數(shù)，為微分時間常數(shù)。簡單地說，pid控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：(1) 比例調(diào)節(jié)(p)成比例的反映控制系統(tǒng)的偏差p(f)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減小偏差。比例系數(shù)的大小決定了比例調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)的快慢程度，但過大會使系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)或振蕩現(xiàn)象，過小又起不到調(diào)節(jié)作用。比例

53、控制無法消除余差。(2) 積分調(diào)節(jié)(i)主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，積分作用的強弱取決于積分時間常數(shù)，越大，積分作用越弱，越小，積分作用越強。增大積分時間乃，有利于減小超調(diào)，減小振蕩，使系統(tǒng)更加穩(wěn)定。因此，積分常數(shù)大小的選擇要得當。(3) 微分調(diào)節(jié)(d)反映偏差信號的變化趨勢，并能在偏差信號值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個有效的早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，來抑制偏差的變化，使系統(tǒng)更趨于穩(wěn)定，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。增大微分時間靠，有利于加快系統(tǒng)的響應(yīng)，使超調(diào)量減小，穩(wěn)定性增加，但系統(tǒng)對擾動的抑制能力減弱，對擾動有較敏感的響應(yīng)。4.2 直線一級倒立擺pld控制器設(shè)計直線一級倒立擺的輸出量主要考慮

54、兩個，即擺桿的角度和小車的位置。因此要設(shè)計合適的pid控制器對擺桿的角度和小車的位置進行控制24。4.2.1 直線一級倒立擺擺桿角度控制直線一級倒立擺的初始位置為垂直向上，給系統(tǒng)施加一個擾動，觀察擺桿的響應(yīng)。系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)框圖如下圖所示：pid控制器kd（s）被控對象g(s)f(s)=fu(s)+y(s)e(s)r(s)=0+-圖4.2 擺桿角度控制結(jié)構(gòu)框圖上圖中，kd(s)是pid控制器的傳遞函數(shù)，g(s)是被控制對象的傳遞函數(shù)。設(shè)輸入r(s)=0，則圖4.2結(jié)構(gòu)框圖變?yōu)閳D4.3所示結(jié)構(gòu)框圖。pid控制器kd（s）被控對象g（s）u(s)f(s)=fy(s)圖4.3 變換后擺桿角度控制結(jié)構(gòu)框

55、圖由圖4.3可得系統(tǒng)的輸出為：（4-6） 上式中num表示被控對象傳遞函數(shù)的分子項，den表示被控對象傳遞函數(shù)的分母項，num表pio控制器傳遞函數(shù)的分子項，den表示pid控制器傳遞函數(shù)的分母項。由第二章我們得到以輸入力u為輸入量，以擺桿擺角為輸出量的傳遞函數(shù)： （4-7）上式中， pid控制器的傳遞函數(shù)為： (4-8)只需調(diào)節(jié)pid控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。4.2.2 直線一級倒立擺小車位置控制當輸出為小車的位置時，系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)框圖如圖4.4所示。pid控制器kd（s）被控對象2g(s)被控對象1g(s)u(s)f(s)=fe(s)r(s)=0x(s)(s)+-+圖4.4 小車位置控制結(jié)構(gòu)框圖圖4.4中，g(s)為擺桿傳遞函數(shù)，g(s)為小車傳遞函數(shù)。設(shè)輸r(s)=0，則圖4.4結(jié)構(gòu)框圖變?yōu)閳D4.5所示結(jié)構(gòu)框圖。圖4.5中的反饋環(huán)表示前面設(shè)計的擺桿的