彈簧振子實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、彈簧振子實(shí)驗(yàn)報(bào)告一、 引言實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 測定彈簧的剛度系數(shù)(stiffness coefficient).2. 研究彈簧振子的振動(dòng)特性，驗(yàn)證周期公式.3. 學(xué)習(xí)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)原理一根上端固定的圓柱螺旋彈簧下端懸一重物后，就構(gòu)成了彈簧振子.當(dāng)振子處于靜止?fàn)顩r時(shí)，重物所受的重力與彈簧作用于它的彈性恢復(fù)力相平衡，這是振子 的靜止位置就叫平衡位置.如用外力使振子離開平衡位置然后釋放，則振子將以平 衡位置為中心作上下振動(dòng).實(shí)驗(yàn)研究表明，如以振子的平衡位置為原點(diǎn)(x=0),則當(dāng) 振子沿鉛垂方向離開平衡位置時(shí)，它受到的彈簧恢復(fù)力F在一定的限度內(nèi)與振子 的位移x成正比，即?= _?式中的比例常數(shù)k稱為剛度

2、系數(shù)（stiffness coefficient）,它是使彈簧產(chǎn)生 單位形變所須的載荷這就是胡克定律式（1）中的負(fù)號表示彈性恢復(fù)力始終指向 平衡位置.當(dāng)位移x為負(fù)值，即振子向下平移時(shí)，力 F向上.這里的力F表示彈性 力與重力mg的綜合作用結(jié)果.根據(jù)牛頓第二定律，如振子的質(zhì)量為m ,在彈性力作用下振子的運(yùn)動(dòng)方程為：? ?鬲+ ? 02?+ ?呀=0，其解OO令? = ?，上式可化為一個(gè)典型的二階常系數(shù)微分方程?= ? ?（ 3（3）式表明.彈簧振子在外力擾動(dòng)后，將做振幅為 A，角頻率為？?）的簡諧振動(dòng)，式中的（？t+ ?）稱為相位，？稱為初相位.角頻率為?的振子其振動(dòng)周期2 n為?（?= ?，可

3、得?= 2?w（4）式表示振子的周期與其質(zhì)量、彈簧剛度系數(shù)之間的關(guān)系，這是彈簧振子的 最基本的特性.彈簧振子是振動(dòng)系統(tǒng)中最簡單的一種，它的運(yùn)動(dòng)特性（振幅，相 位，頻率，周期）是所有振動(dòng)系統(tǒng)共有的基本特性，研究彈簧振子的振動(dòng)是認(rèn)識更復(fù)雜震動(dòng)的基礎(chǔ)彈簧的質(zhì)量對振動(dòng)周期也有影響可以證明，對于質(zhì)量為？$的圓柱形彈簧,振子周期為?= 2 nk(5)式中稱為彈簧的等效質(zhì)量，即彈簧相當(dāng)于以？的3的質(zhì)量參加了振子的振動(dòng)非圓柱彈簧（如錐形彈簧）的等效質(zhì)量系數(shù)不等于1/3.我們選用短而輕的彈簧并配備適當(dāng)重量的砝碼組成振子，是實(shí)驗(yàn)條件與理論比較相符.在此基礎(chǔ)上測振子周期，考察振子質(zhì)量和彈簧剛度系數(shù)對周期的影響， 再

4、將所得結(jié)果與理論公式比較，并探討實(shí)驗(yàn)中存在的問題 實(shí)驗(yàn)儀器裝置游標(biāo)高度尺，電子天平，彈簧，砝碼，秒表實(shí)驗(yàn)步驟1. 測彈簧質(zhì)量和剛度系數(shù)先測出彈簧的質(zhì)量和剛度系數(shù)，測量時(shí)要分清彈簧的標(biāo)記色，避免測周期是把數(shù)據(jù)弄混彈簧的剛度系數(shù)可用靜力平衡法測定，即在懸掛好的彈簧下端逐次加掛砝碼，設(shè)其質(zhì)量為？，?，?4，?5，然后??？?為自變量、？?= ?為 因變量作直線擬合，斜率b的絕對值即為彈簧的剛度系數(shù)（也可對？?，？?擬合做-出直線斜率，再乘以g=9.801m ?）.為測準(zhǔn)？?？應(yīng)選一能正確反映彈簧伸長的標(biāo) 志線或面，而且要保證高度尺能方便地校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)中砝碼和彈簧質(zhì)量要求讀到 0.01g.2. 對同一彈簧測

5、不同振子質(zhì)量？時(shí)的周期？?？驗(yàn)證? ?之間的規(guī)律選一彈簧，測量5或6個(gè)不同質(zhì)量下的振動(dòng)周期，每次固定讀取連續(xù) 100 個(gè)（或50個(gè)）周期的時(shí)間間隔，同一質(zhì)量下測3次，取其平均值來計(jì)算結(jié)果? 實(shí)驗(yàn)前預(yù)先擬好數(shù)據(jù)表格.（5）式改寫為方程?=厶？ - -04?；3對測量數(shù)據(jù)作以？為自變量、m為因變量的最小二乘法直線擬合可由直線 的斜率與截距求得剛度系數(shù)k與彈簧的質(zhì)量？?）.3. 對幾乎相同的振子質(zhì)量測不同彈簧的周期，驗(yàn)證 ？?？?之間的規(guī)律.砝碼質(zhì)量可選定大于0.300kg的某合適值，用不同彈簧測量振子周期，每次測量仍固定讀取連續(xù)100個(gè)（或50個(gè)）周期的時(shí)間間隔，同一彈簧測3次周期, 取其平均值作

6、為結(jié)果?不同彈簧的振子總等效質(zhì)量可能略有不同下面的數(shù)據(jù)處理中計(jì)算總振子質(zhì) 量時(shí)，近似的統(tǒng)一加上彈簧平均質(zhì)量的1/3，經(jīng)過分析可以得知，這樣不同彈簧的振子總等效質(zhì)量與近似值的差別不大于0.15%，折合成的等效周期測量誤差不大于0.08%，即使不對質(zhì)量因素進(jìn)行修正，其影響也不太大方程（5）可以變換成In ?= In (2 nS?+ ?3)- j In?可對測量數(shù)據(jù)作以In?為自變量、In?為因變量進(jìn)行直線擬合數(shù)據(jù)分析1.砝碼質(zhì)量與彈簧質(zhì)量其中質(zhì)量測量的不確定度均為S m =0.0001g砝碼123456789編號砝碼10.310.410.210.010.310.210.310.210.1質(zhì)量?（g

7、）191796446表1砝碼的質(zhì)量帶標(biāo)記的彈簧無（較小）紅色黃色橙色藍(lán)色無（較大）質(zhì)量?紿?30.1633.2034.6039.2340.7243.61（g）表2彈簧的質(zhì)量2.測量彈簧的k值其中長度測量的不確定度均為S l = 0.01mm.表中長度單位均為mm.讀數(shù)指彈簧最下端在游標(biāo)高度尺上的讀數(shù)懸掛砝碼數(shù)0456789懸掛砝碼041.0751.4561.7272.0682.3092.46總質(zhì)量(g)?(N)00.4030.5040.6050.7060.8070.906無（較小）403.376.8369.9362.7355.4347.6340.8彈簧讀數(shù)4紅色彈簧402.380.2370.8

8、361.4352.2343.1333.7讀數(shù)3黃色彈簧404.389.5380.4368.3355.0342.8330.6讀數(shù)5橙色彈簧讀數(shù)375.7315.7299.8284.2267.2252.5236.0藍(lán)色彈簧381.320.3303.3286.0267.0250.5233.5讀數(shù)2無（較大）369.286.5264.7241.8219.8196.4173.0彈簧讀數(shù)5表3 懸掛不同砝碼的各彈簧讀數(shù)F面是以讀數(shù)為自變量,?為因變量進(jìn)行直線擬合所得的圖像038 潤琢三型洲祥塾4R2 H 0.9991國一出(越寧)牖mg-x忌掛硅眄的棗力CNo5033 0,34 0 35 0.36 口37

9、 038 0 4 S 042s.s 三)一函2笛牖棗mgx 一o036 038 04 042 04451 3M牖棗 mgx22 ntf2J12 onR2 = 0.99960.240i260i28030.320.340 360 38橙魚彈奏讀數(shù)圖4橙色彈簧的mg-x0.220.240260280.30 320 340 360.380 4藍(lán)色彈簧讀數(shù)Cm)1 8 6 4 2 Q o o O MJ圖5藍(lán)色彈簧的mg-x圖6無（較大）彈簧mg-x由擬合直線的斜率可以求得各彈簧的剛度系數(shù)見下表彈簧無（較?。┘t黃橙藍(lán)1藍(lán)無（較大）剛度系數(shù)k14.4112.7910.986.4836.0894.613（N/

10、m）表4各彈簧的剛度系數(shù)3.對同一彈簧測不同振子質(zhì)量？時(shí)的周期？務(wù)驗(yàn)證? ?之間的規(guī)律選定藍(lán)色的彈簧，測量不同振子質(zhì)量？時(shí)的周期?如下表:砝碼個(gè)數(shù)3456砝碼質(zhì)量?30.999841.067451.454361.7169（g）50個(gè)周期時(shí)28.0030.9133.6536.22間（1）（秒）50個(gè)周期時(shí)27.9730.8733.6636.16間（2）（秒）50個(gè)周期時(shí)28.0330.9733.6936.22間（3）（秒）平均每個(gè)周期0.5600.6180.6730.724時(shí)間?（秒）T?（秒 A2）0.3140.3820.4530.524表5同一彈簧測不同振子質(zhì)量？?時(shí)的周期?以T?為自變量，

11、?為因變量進(jìn)行線性擬合，得到下圖T2圖7m-T?擬合直線由直線可得m-T?滿足線性關(guān)系由斜率計(jì)算藍(lán)色彈簧得剛度系數(shù)為5.772N/m.由截距算的藍(lán)色彈簧的質(zhì)量為 44.49g.4. 對幾乎相同的振子質(zhì)量測不同彈簧的周期，驗(yàn)證 ？?？?之間的規(guī)律.選定4個(gè)砝碼不變.換用不同的彈簧，測得周期數(shù)據(jù)如下表：彈簧?In ?50個(gè)周50個(gè)周50個(gè)周平均每In ?期時(shí)間期時(shí)間期時(shí)間個(gè)周期（1）（2）（3）時(shí)間?（秒）（秒）（秒）（秒）紅12.792.54921.8821.9321.900.438-0.826黃10.982.39622.1022.0622.030.441-0.819橙6.4831.86929.

12、0029.0029.000.58-0.545藍(lán)6.0891.80630.9130.8730.970.618-0.481無（較4.6131.52935.1935.1635.160.703-0.35大）2圖8不同彈簧的？? ?之間的規(guī)律四、 誤差分析1. 測量彈簧的k值的誤差分析見下表彈簧無（較小）紅黃橙藍(lán)無（較大）剛度系數(shù)（N/m ）14.4112.7910.986.4836.0894.613r0.0180.0230.0290.0910.1030.179 ?0.0100.0460.0950.0060.0140.010不確定度0.200.801.480.050.120.06(N/m )綜上，各彈簧

13、的剛度系數(shù)見下表彈簧無（較?。┘t黃橙藍(lán)無（較大）剛度系數(shù)14.41 12.79 10.98 6.483 6.089 4.613 (N/m)0.200.801.480.050.120.062. 驗(yàn)證? ?之間的規(guī)律的誤差分析r= 0.098y = 8.62 X10-5?- = B = 5.499 X10-44?由上式得出k = 4? B = 0.0217N/m所以由擬合直線計(jì)算藍(lán)色彈簧的剛度系數(shù)為k = 5.7717 0.0217 (N/m)這個(gè)結(jié)果與重力平衡法測得的剛度系數(shù)仍有一定差距，可能是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)中長度讀數(shù)誤差或者彈簧的剛度系數(shù)在實(shí)驗(yàn)中發(fā)生改變造成的.A = 1.844 X 10-4?)=從 X3 = 5.532 X10-4所以藍(lán)色彈簧的質(zhì)量? = 0.04449 5.532