第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一

1、導(dǎo)數(shù)及英應(yīng)用第2講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)【2013年高考會(huì)這樣考】1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2由函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求參數(shù)的范圍.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)理順導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的意義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù) 有關(guān)問(wèn)題時(shí)的工具性作用，重點(diǎn)解決利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單 調(diào)區(qū)間.U,KAOJIZUHUDAOKUE亠 + 一一“ 一一一 十一“ 一一一亠一-一亠“一一“八一一十一一 “十一一“一一一 +“ 一亠“一01$ 署基自主導(dǎo)學(xué)樂(lè)考必世J載學(xué)相悵基礎(chǔ)梳理1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y= f(x)在x = X0處的導(dǎo)數(shù)f (xo)是曲線y= f(x)在點(diǎn)(xo

2、，f(xo)處切線I的斜率， 切線 I 的方程是 yf(xo) = f (xo)(xxf.2. 導(dǎo)數(shù)的物理意義若物體位移隨時(shí)間變化的關(guān)系為s= f(t)，則f (to)是物體運(yùn)動(dòng)在t = to時(shí)刻的瞬時(shí)速度.3. 函數(shù)的單調(diào)性在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x), f (x)在(a, b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f (x)0?函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增;f (x) 0?函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減.助學(xué) 0(f L (x.) o.時(shí)，f(x).在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù);當(dāng).f L. (x) 0 解得 xv 0,或 x2.答案(x, 0), (2,+x)U2 $ 齊向探究導(dǎo)析研析琴向清例

3、寒破考向一求曲線切線的方程【例 11 ?已知函數(shù) f(x) =x3 4x2 + 5x 4.(1) 求曲線f(x)在x = 2處的切線方程；(2) 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2, 2)的曲線f(x)的切線方程.審題視點(diǎn)由導(dǎo)數(shù)幾何意義先求斜率，再求方程，注意點(diǎn)是否在曲線上，是否為 切點(diǎn).解(1)f (x) = 3x2 8x + 5f (2) = 1,又 f(2) = 2曲線f(x)在x = 2處的切線方程為y ( 2) = x 2,即卩 x y 4 = 0.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(X0, x0 4x2 + 5x0 4)f(X0)= 3x0 8x0 + 5則切線方程為y ( 2) = (3x0 8X0 + 5)(x

4、2),又切線過(guò)(X0, x3 4x0+ 5x0 4)點(diǎn)，則 x0 4x2+ 5xo 2= (3x0 8xo + 5)(xo 2),整理得(xo 2)2(xo 1) = 0,解得 xo = 2,或 xo = 1,因此經(jīng)過(guò)A(2, 2)的曲線f(x)的切線方程為x y 4= 0,或y+ 2= 0.ms 首先要分清是求曲線y=f(x)在某處的切線還是求過(guò)某點(diǎn)曲線的切線.求曲線y= f(x)在x=xo處的切線方程可先求f (xo),利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出所求切線方程；(2)求過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線方程要先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)后再寫(xiě)切線方程. 【訓(xùn)練11若直線y= kx與曲線y= x3 3x2 + 2x相切，試

5、求k的值.解 設(shè) y= kx 與 y=x3 3x2 + 2x 相切于 P(xo, yo)則 yo = kxo，yo = xo 3xq+ 2xo,又 y = 3x2 6x + 2， k = y x=xo= 3xo 6xo + 2, 由得：(3xd 6xo + 2)xo=xo 3xj + 2xo,即(2xo 3)xo = o.xo= o 或 xo32,考向二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【例21 ?已知函數(shù)f(x) =x3 ax2 3x.(1) 若 f(x)在1,+x)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2) 若 x = 3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.審題視點(diǎn)函數(shù)單調(diào)的充要條件是f (x) o或f

6、 (x)o,得 a 1時(shí),t(x)是增函數(shù)，3-t(x)min =歹1 1) = o. aw o.由題意，得 f (3)= o,即 27 6a 3= o, a=4.二 f(x)=x3 4x2 3x, f (x)= 3x2 8x 3.xoo I ，3丿131, 3 3丿3(3,+o)f (x)+0一0+f(x)極大值極小值當(dāng)X變化時(shí)，f (x)、f(x)的變化情況如下表:當(dāng) x3，3時(shí)，f(x)單調(diào)遞3 X, 3 , 3,)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x 卜1令 f (x) = 0,得 Xi =1門(mén)3, X2 = 3.減.-函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)大于或等于0(小于或等

7、于0),只要不在一段連續(xù)區(qū)間上恒等于0即可，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解f (x)0(或 f (x)0)即可.【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x) = ex ax 1.(1) 求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2) 是否存在a,使f(x)在(2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存 在，說(shuō)明理由.解 f (x) = ex a,(1) 若 a0,即f(x)在 R上遞增，若 a0, e a0,二 exa, x In a.因此f(x)的遞增區(qū)間是In a,+x).(2) 由 f (x) = ex a 0 在(2,3)上恒成立. aeX在x ( 2,3)上恒成立.又I 2x3,.e 2exe3.當(dāng) a = e3 時(shí)

8、 f (x)=e3在 x ( 2,3)上, f (x) e3.故存在實(shí)數(shù)a e3，使f(x)在(2,3)上單調(diào)遞減.考向三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題【例3】？設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) = ex 2x + 2a, x R.(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2) 求證：當(dāng) a In 2 1 且 x 0 時(shí)，ex x2 2ax+ 1.審題視點(diǎn)第問(wèn)構(gòu)造函數(shù)h(x)= ex x2 + 2ax 1,利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(1)解 由 f(x)= e 2x+ 2a, x R 知 f (x)= ex 2, x R.令f (x) = 0,得x = In 2,于是當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f(x)的變化情況如下表

9、.x(x, In 2)In 2(In 2,+x)f (x)一0+f(x)單調(diào)遞減2(1 In 2+ a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(, In 2,單調(diào)遞增區(qū)間是In 2, + ),f(x)在 x = In 2 處取得極小值，極小值為 f(ln 2)= eln 2 2ln 2+ 2a= 2(1 In 2+ a).(2)證明設(shè) g(x) = ex x2 + 2ax 1, x R ,于是 g (x) = ex 2x + 2a, x R.由知當(dāng)a In 2 1時(shí)，g (x)的最小值為g (In 2)= 2(1 In 2 + a)0.于是對(duì)任意x R，都有g(shù) (x)0,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增

10、.于是當(dāng)aIn 2 1時(shí)，對(duì)任意x (0,+)，都有g(shù)(x) g(0).而 g(0) = 0,從而對(duì)任意 x (0,+x), g(x)0.即 ex x2 + 2ax 1 0,故 eTx2 2ax+ 1.-利用導(dǎo)數(shù)證明不等式要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問(wèn)題.比如要證明對(duì) ？x a, b都有f(x) g(x)，可設(shè)h(x)=f(x) g(x)只要利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明h(x)在a, b上的最小值為0即可.【訓(xùn)練3】 已知m R，函數(shù)f(x)= (x2 + mx+m)ex(1) 若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍；(2) 當(dāng) m= 0 時(shí)，求證 f(x)x2 +x3.(1)

11、解 由已知條件f(x) = 0無(wú)解，即x2 + mx+ m = 0無(wú)實(shí)根，則= m2 4m0,解得0m g(0)即 ex x 10,因此 x2(ex x 1)0,整理得x2.03x2ex x3+x2,即f(x) x3KAOTIZHUANXIANGTUPO - -3 考題專項(xiàng)突破閱卷報(bào)告2書(shū)寫(xiě)不規(guī)范失分【問(wèn)題診斷】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，這類問(wèn)題求解并 不難，即只需由f x 0或f x v 0,求其解即得.但在求解時(shí)會(huì)因書(shū)寫(xiě)不規(guī)范而 導(dǎo)致失分【防范措施】對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間，中間用“，”或“和”連接，而不能用符號(hào)“U”連接.1【示例】？設(shè)函數(shù)f(x)

12、=x(ex1) x2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.錯(cuò)因 結(jié)論書(shū)寫(xiě)不正確，也就是說(shuō)不能用符號(hào)“U”連接，應(yīng)為 ( , 1)和(0, + x)實(shí)錄 f (x)= eT 1 + xeT x =1)(x+ 1),令 f (x) 0 得，xv 1 或 x 0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為( x, 1)U (0,+x).1正解 因?yàn)?f(x)=x(ex 1) 2x2,所以 f (x) = ex 1+xexx = (ex 1) (x+ 1).令f (x)0,即(ex 1)(x + 1)0,得 xv 1 或x0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一x, 1)和(0,+x ).【試一試】設(shè)函數(shù)f(x)= ax3 3x2, (a R)，且x = 2是y= f(x)的極值點(diǎn)，求函數(shù)g(x) = ex f(x)的單調(diào)區(qū)間.嘗試解答f (x) = 3ax2 6x = 3x(ax 2).因?yàn)閤= 2是函數(shù)y= f(x)的極值點(diǎn).所以 f (2) = 0, 即卩 6(2a 2)= 0,因此 a= 1,經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a= 1時(shí)，x = 2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以 g(x) = ex(x3 3x2),g (x) = ex(x3 3x