數(shù)學論文Gauss整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究

1、gauss整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究(孝感學院數(shù)學系 031114328)摘要:本文給出了gauss整數(shù)環(huán)的若干性質(zhì),并用一種新的初等方法解決了文獻1中提出的一個猜想: gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個數(shù)是.關鍵詞:gauss整數(shù)環(huán);商環(huán);素元;主理想;單位research the principal ideal and quotient ring of gaussian integral domainwang xiao-juan(department of mathematics,xiaogan university 031114328)abstract:this paper gives som

2、e proterties of gaussian integral domain, and proves the two conjectuires of arch.1 with a new and elementary method. in light of the gaussian integral domain,the number of elements of its ring of quotients is .key words: gaussian integral domain; quotient ring; prime element; principal ideal;unit.1

3、 介紹在文獻1中,提出兩個猜想 :(1) gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個數(shù)是;(2) 對于,顯然為素元,問形式的素元是否為無窮多.文獻1證明了:對 (或)以及但任意(或但任意)的情形有的元素個數(shù)恰為.近期有關gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)所含元素的個數(shù), 文獻都討論了這個問題,并得到了很好的結果,即=其中表示由所生成的主理想.本文以一種新的初等的方法明確了的元素個數(shù)就是,為了解決上述兩個猜想,首先給出gauss整數(shù)環(huán)的一些相關定義. 我們用表示集合的元素個數(shù)，的范數(shù)用來表示，表示gauss整數(shù)環(huán)中的元素的共軛.下面給出gauss整數(shù)環(huán)的一些相關定義：設表示整數(shù)環(huán)，表示虛數(shù)單位，則高斯整數(shù)環(huán)是指一切形如(

4、)的復數(shù)關于數(shù)的普通加法與乘法作成的環(huán), 高斯整數(shù)環(huán)中的元素稱為高斯整數(shù).因此我們有以下定義：定義1 設z表示整數(shù)環(huán),則環(huán)稱為gauss整數(shù)環(huán).定義2 若環(huán)的非空子集滿足下面條件:（1）是一個子加群；（2） 對任意, ,元素都在中.此時我們稱是環(huán)的一個理想.定義3 我們稱環(huán)(/,+,.)為環(huán)關于理想的商環(huán),其中/,= ,)+)=().(b+)=定義4 設為的一個主理想.2 性質(zhì)gauss整數(shù)環(huán)有下列顯然的基本性質(zhì):命題1 的單位(可逆元)是.證明 設， 可逆，其逆元為，則兩邊取模并平方，得到由于，故，于是 ，或，或，或即的單位(可逆元)是.命題2 是歐氏環(huán),因而是主理想環(huán)和唯一分解環(huán)證明 見文

5、獻3中.命題34 中的素元當且僅當是不可約元。證明 設為中的不可約元，并有（），由命題2知：，使得令,因為是zi的不可約元，故中必有一個是單位。若是單位，則即若是單位，由故可設，于是則，由于|及|，所以|,因此是中的素元。反之，設是zi的素元，若,則有|或|,不妨設|，可設,故，由是無零因子環(huán)，所以有，即得是單位，故是不可約的。命題 設，如果是z中的素數(shù)，則是zi的素元；若是zi中的素元則也是中的素元。證明設,由是zi中的素數(shù)，若是zi中的可約元，可設均不是zi中的單位，由均不為1，與是zi中的素數(shù)矛盾，所以是zi中的不可約元， 由命題3知是zi中的素元。設，則由可約可知可約，因此是zi中的素

6、元，則也是。命題 設是zi中的素數(shù)且,當且僅當p中zi中的可約元。由文獻5中的高斯平方和定理即知命題5成立。3 商環(huán)定理1 ，這里記，則元素z所在的陪集記為:，簡記為 引理1 設是環(huán)的一個理想，則，即的充分必要條件是定理1的證明當時，下證這個數(shù)在不同的陪集中，即 ,對,有，即設，有對任何,令即對任何0c都有 (反證法)假設，則有 由(2)式及得 m|ny, n|mx故，令并將其代入得 即再代入(1)式得 與上式0c矛盾當時有成立下證:對任意,必存在整數(shù)且使得 或 等式兩邊同乘以得 = = =其中在陪集中即 引理 設是一個環(huán),與都是的理想,則,由環(huán)的第二同態(tài)基本定理得 對gauss整數(shù)環(huán),主理想

7、若,則 且=若主理想則顯然且有下證:在中選取個元素: 其中 對中的任意兩個不同的元素與:其中不全相同，即坐標 則下證:(反證法)假設,則這顯然矛盾,故假設不成立即商環(huán)至少有個不同的陪集又對 由帶余除法,設,其中則所以這說明與元素在同一個陪集中,而必為中的一個元素，故商環(huán)中元素的個數(shù)為.即 .4 素元對于gauss整數(shù)環(huán),它的元素可以分為兩部分,一部分是整數(shù),另一部分是形如的元素.下面討論中的素元及形如的素元的個數(shù).首先，中的非素數(shù)肯定不是中的素元，因為素元要求除本身及單位外無其它因子，故只有素數(shù)才可能是中的素元但素數(shù)在中是素元，在中則不一定如素數(shù)2，在可分解為,都不是的相伴元顯然它不是中的素元

8、.引理 若，是素元,且 則應用反證法不難看出結論是顯然的。 引理 設，若有，使得(是一整數(shù))，則證明:由得到 即,必有整數(shù)使得：將方程組的解代入上式得：引理 若,且,則是素元的充要條件是：是素數(shù)。證明 （充分性）設有使得因是素數(shù)，或或是單位是素元（必要性）假設有自然數(shù)，使 ，另一方面，由于，而是素元或不妨設,即存在使得，根據(jù)引理1應有,進一步根據(jù)引理2，得有自然數(shù)使,代入，得到是素數(shù).參考文獻1王海坤.gauss整數(shù)環(huán)諸類問題探j.工科數(shù)學.1999,15(3):6769.2王芳貴.關于gauss整數(shù)環(huán)的商環(huán)元素個數(shù)的注記j.工科數(shù)學,2001,17(4):6263.3聶靈沼,丁石孫.代數(shù)學引

9、論m.北京:高等教育出版社,1988.4方輝. gauss整數(shù)環(huán)及其商環(huán)的若干性質(zhì)j.安徽教育學院學報,2002,20(6):1618.5馮克勤.代數(shù)數(shù)論m.北京:科學出版社,2000.6吳品三.近世代數(shù)m.北京:人民教育出版社,1979,127王向輝.整環(huán)zi上一類子環(huán)的構筑j.忻州師范學院學報,2006,22(4):5152.8宋文青,郇正良. gauss數(shù)環(huán)中的素元j.工科數(shù)學,2002,18(4):3234.9趙啟林. gauss整數(shù)環(huán)中素元的形成及剩余類環(huán)j.阜陽師范學院學報,2000,17(2)10姚光同,賈璐.關于環(huán)j.黑龍江大學自然科學學報,2004,21(3).11簡國明.唯一分解環(huán)的又一充要條件j.韶關大學韶關師專學報.1991,1.12魏裕博