湖南衡陽(yáng)市高三第二次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、湖南衡陽(yáng)2015高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)文一. 選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. ）1. 命題，；命題，則下列命題中為真命題的是（ ）a. b. c. d. 2. 設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），的共軛復(fù)數(shù)為，則等于（ ）a. b. c. d. 3. 甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)、兩變量的線性相關(guān)試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)如下表：則這四位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果能體現(xiàn)出、兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是（ ）a. 甲b. 乙c. 丙d. 丁4. 下列函數(shù)中，圖象的一部分如圖1所示的是（ ）a. b. c. d. 5. 已知等差數(shù)列滿足，（）

2、，則的值為（ ）a. b. c. d. 6. 在三棱錐中，側(cè)棱、兩兩垂直，并且、的面積分別為、，則該三棱錐外接球的表面積為（ ）a. b. c. d. 7. 如圖2所示是用模擬方法估計(jì)圓周率值的程序框圖，表示估計(jì)的結(jié)果，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入（ ）a. b. c. d. 8. 已知雙曲線（，）與拋物線（）有一個(gè)共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則此雙曲線的離心率等于（ ）a. b. c. d. 9. 下列不等式對(duì)任意的恒成立的是（ ）a. b. c. d. 10. 已知函數(shù)，若. . 互不相等，且，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 二. 填空題（本大題共5小題，每小題5分，

3、共25分. ）11. 若集合，則集合的子集有 個(gè). 12. 已知曲線的極坐標(biāo)方程為（，），曲線在點(diǎn)處的切線為，若以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則的直角坐標(biāo)方程為 .13. 已知中，點(diǎn)、的坐標(biāo)依次是、，邊上的高為，則的坐標(biāo)是 .14. 若，滿足，則的最大值為 .15. 若對(duì)任意的，均有成立，則稱函數(shù)為函數(shù)到函數(shù)在區(qū)間上的“折中函數(shù)”. 已知函數(shù)，且是到在區(qū)間上的“折中函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的值構(gòu)成的集合是 .三. 解答題（本大題共6小題，共75分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明. 證明過(guò)程或演算步驟. ）16. （本小題滿分12分）如圖，某污水處理廠要在一正方形污水處理池內(nèi)修建一個(gè)三角形隔離

4、區(qū)以投放凈化物質(zhì)，其形狀為三角形，其中位于邊上，位于邊上. 已知米，設(shè)，記，當(dāng)越大，則污水凈化效果越好.求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求定義域；求的最大值，并指出等號(hào)成立條件？17. （本小題滿分12分）某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到資料如下表：從3月1日至3月5日中任選2天，記發(fā)芽的種子數(shù)分別為，求事件“，均不小于25”的概率；請(qǐng)根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；現(xiàn)選取3月1日與3月5日的兩組數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出

5、的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(wèn)中所得的線性回歸方程是否可靠？（參考公式：回歸直線的方程是，其中，）18. （本小題滿分12分）一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖4所示，其中俯視圖中. 為側(cè)棱的中點(diǎn).求證：平面；若為側(cè)棱上的一點(diǎn)，且，則為何值時(shí)，平面？并求此時(shí)幾何體的體積.19. （本小題滿分13分）如圖5，曲線是以原點(diǎn)為中心，為焦點(diǎn)的橢圓的一部分. 曲線是以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，是曲線和的交點(diǎn)，且為鈍角，若，.求曲線和的方程；設(shè)點(diǎn)是上一點(diǎn)，若，求的面積.20. （本小題滿分13分）已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和滿足（，）.求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

6、設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；設(shè)（為非零整數(shù)，），是否存在確定的值，使得對(duì)任意，有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.21. （本小題滿分13分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底，）.求的解析式；設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，且，恒成立；是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考公式：（）參考答案一. 選擇題：本題有10小題，每小題5分，共50分。題號(hào)12345678910答案bcddabcacc二. 填空題：本題有5小題，每小題5分，共25分。11. ；12. ；13. ；14. ；15. 三. 解答題：本題有6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)

7、出文字說(shuō)明. 證明過(guò)程或演算步驟。16. 解：（1）因?yàn)?2分4分5分，6分（2）-9分當(dāng)時(shí)，即時(shí)11分答：當(dāng)時(shí)，的最大值為3. 12分17. 解：（1）的所有取值情況有：（23,25），（23,30），（23,26），（23,16），（25,30），（25,26），（25,16），（30,26），（30,16），（26,16），即基本事件總數(shù)為10. 2分設(shè)“m，n均不小于25”為事件a，則事件a包含的基本事件為（25,30），（25,26），（30,26）. 4分所以，故事件a的概率為. 5分（2）由數(shù)據(jù)，求得，.，.由公式，求得，8分. 9分所以y關(guān)于x的線性回歸方程為. 10分（3）當(dāng)

8、x=10時(shí)，|2223|2；同樣，當(dāng)x=8時(shí)，|1716|2.所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的. 12分18. （1）證明：由三視圖可知該四棱錐的底面abcd是菱形，且有一角為，邊長(zhǎng)為2，錐體高度為1。1分設(shè)ac，bd和交點(diǎn)為o，連oe，oe為dpb的中位線，2分oe/pb，eo面eac，pb面eac，pb/面aec5分（2）解：過(guò)o作ofpa垂足為f在rtpoa中，po=1，ao=，pa=2，po2=pfpa，2pf=1，7分在菱形中bdac，又因?yàn)閜o面abcd，所以bdpo，及bd面apo，所以bdpa,又ofpa，從而pa平面bdf9分當(dāng)時(shí)，在poa中過(guò)f作fh/po，則fh面

9、bcd，fh=. 12分19. 解：（1）設(shè)橢圓方程為1（ab0），則2a|af1|af2|6，得a3. 1分設(shè)a（x，y），f1（c,0），f2（c,0），則（xc）2y2（）2，（xc）2y2（）2，兩式相減得xc2分由拋物線的定義可知|af2|xc，3分則c1，x或x1，c. 又af2f1為鈍角，則x1，c不合題意，舍去. 當(dāng)c1時(shí)，b2，5分所以曲線c1的方程為1（3x），6分曲線c2的方程為y24x（0x）. 7分（2）過(guò)點(diǎn)f1作直線l垂直于x軸，過(guò)點(diǎn)c作cc1l于點(diǎn)c1，依題意知|cc1|cf2|.在rtcc1f1中，|cf1|cf2|cc1|，所以c1cf145，所以cf1f2c

10、1cf145. 9分在cf1f2中，設(shè)|cf2|r，則|cf1|r，|f1f2|2.由余弦定理得22（r）222rcos45r2，解得r2，11分所以cf1f2的面積s|f1f2|cf1|sin4522sin452. 13分20. （1）證明：由已知，,即（n2，nn*），且. 1分?jǐn)?shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，. 3分（2）解：由（1）知，4分設(shè)它的前n項(xiàng)和為兩式相減可得：所以7分（3）解：，8分要使恒成立，則恒成立恒成立，恒成立. 10分（）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，有最小值為1，1. 11分（）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最大值2，2. 即21，又為非零整數(shù)，則=1. 12分綜上所述，存在=1，使得對(duì)任意nn*，都有. 13分21. （1）解：設(shè)，則，所以又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以故函數(shù)的解析式為2分（2）證明：當(dāng)且時(shí)，設(shè)因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，所以4分又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，所以5分所以當(dāng)時(shí)，即6分（3）解：假設(shè)