(完整版)信息與計(jì)算科學(xué)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別法畢業(yè)設(shè)計(jì)論文.doc

1、優(yōu)秀論文歸檔資料未經(jīng)允許切勿外傳學(xué)校代碼： 11517學(xué)號(hào)：HENANINSTITUTEOFENGINEERING畢業(yè)論文題目瑕積分的性質(zhì)與收斂判別法學(xué)生姓名向永安專業(yè)班級(jí)信息與計(jì)算科學(xué)1042 班學(xué)號(hào)系 （部）理學(xué)院指導(dǎo)教師 ( 職稱 )吳海華（講師）完成時(shí)間2014年5月10日河南工程學(xué)院論文版權(quán)使用授權(quán)書本人完全了解河南工程學(xué)院關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意如下各項(xiàng)內(nèi)容：按照學(xué)校要求提交論文的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保存論文的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、掃描、數(shù)字化或其它手段保存論文； 學(xué)校有權(quán)提供目錄檢索以及提供本論文全文或者部分的閱覽服務(wù)；學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國(guó)家有

2、關(guān)部門或者機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版； 在不以贏利為目的的前提下， 學(xué)校可以適當(dāng)復(fù)制論文的部分或全部?jī)?nèi)容用于學(xué)術(shù)活動(dòng)。論文作者簽名：年月日河南工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文 )原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文，是本人在指導(dǎo)教師指導(dǎo)下，進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、已公開發(fā)表或者沒有公開發(fā)表的作品的內(nèi)容。對(duì)本論文所涉及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。論文作者簽名：年月日河南工程學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書題目瑕積分的性質(zhì)與收斂判別法專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)學(xué)號(hào)姓名向永安主要

3、內(nèi)容、基本要求、主要參考資料等：主要內(nèi)容在數(shù)學(xué)分析教程中，對(duì)于無窮積分的性質(zhì)和收斂判別法的敘述較全面，且論證過程非常詳細(xì)；而對(duì)于瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法，只是簡(jiǎn)單羅列，并且沒有給出論證過程。鑒于此，本論文的主要工作就是對(duì)瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法給出全面的敘述，同時(shí)，給出這些結(jié)論的詳細(xì)論證過程。同時(shí)給出相關(guān)例題便于更好地理解和應(yīng)用瑕積分與收斂判別法?；疽笠樌耐瓿僧厴I(yè)論文必須做出以下工作要求：首先，必須保證每天至少8 小時(shí)的工作時(shí)間來完成畢業(yè)論文；其次，要參考 15 種以上的參考文獻(xiàn)， 其中至少兩篇英文文獻(xiàn)， 并且要認(rèn)真閱讀和掌握相關(guān)的知識(shí)；最后，對(duì)論文的進(jìn)度做以下整體安排第一階段認(rèn)真閱讀

4、參考文獻(xiàn)；第二階段撰寫開題報(bào)告，準(zhǔn)備開題答辯；第三階段撰寫文獻(xiàn)綜述、文獻(xiàn)翻譯，各自要求3000 字以上；第四階段撰寫畢業(yè)論文，完成論文的初稿；第五階段根據(jù)指導(dǎo)教師的意見，修改論文，進(jìn)一步完善畢業(yè)論文，最終定稿；第六階段寫出答辯 PPT 稿，準(zhǔn)備答辯。主要參考1 歐陽中華，朱學(xué)炎，金福臨，陳傳璋 . 數(shù)學(xué)分析 下冊(cè) M. 高等教育出版，2010：6569.2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) M. 高等教育出版社，2010： .3 陳紀(jì)修，於崇華，金路 . 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) M. 高等教育出版社，2009： .4 菲赫金哥爾茨 . 微積分教程 第二卷 M. 高等教育出版社， 2007：.5

5、吉林師范大學(xué)數(shù)分教研室編 . 數(shù)學(xué)分析講義 M. 吉林師大數(shù)學(xué)系， 2003.6 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系編 . 數(shù)學(xué)分析 M. 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系， 1999.完成期限：2014年 5 月 15號(hào)指導(dǎo)教師簽名：專業(yè)負(fù)責(zé)人簽名：年月日目錄摘要IABSTRACTII1 引言12 瑕積分收斂性的概念83 瑕積分收斂性的性質(zhì)94 瑕積分收斂性的判別法114.1 瑕積分的收斂判別法114.2 瑕積分的收斂判別法的應(yīng)用舉例15結(jié)束語18致謝19參考文獻(xiàn)20瑕積分的性質(zhì)與收斂判別法摘要本文首先給出瑕積分在不同瑕點(diǎn)收斂的定義，然后根據(jù)無窮限反常積分的性質(zhì)給出了瑕積分的性質(zhì)定理，并給出詳細(xì)的證明過程。最后，給出瑕積分收斂性

6、的判別方法，判斷瑕積分收斂的方法主要有定義法、比較法和柯西判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法，被積函數(shù)的原函數(shù)已知或易求的用定義法；滿足狄利克雷判別法條件的函數(shù)用狄利克雷判別法；滿足阿貝爾判別法條件的函數(shù)用阿貝爾判別法；含有正弦、余弦等有界函數(shù)或絕對(duì)收斂的函數(shù)可考慮用比較法來判斷。其中，對(duì)于每個(gè)收斂判別方法文章都給出了詳細(xì)的證明過程， 以方便讀者能夠熟練的應(yīng)用到解題當(dāng)中，最后結(jié)合相關(guān)的案例幫助更好的理解和應(yīng)用瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法。關(guān)鍵詞柯西準(zhǔn)則阿貝爾判別法狄利克雷判別法條件收斂絕對(duì)收斂DEFECT INTEGRAL PROPERTIES ANDCONVERGENCE CRITERIONA

7、BSTRACTFirstly, this paper gives the definition of convergenceof the defect integrals at different flaw, then gives the nature of the theorems about defect integrals to the nature of the infinite improper integrals and gives a detailed proof. Finally, it gives the convergence of defect integralsdisc

8、riminant methods to determine defect integrals, convergent methods mainly law,Abel and Dirichlet discrimination law, the original function integrated function known or easy to find use the definition of law; meet the conditions of Dirichlet criterion use Dirichlet discrimination law; meet the condit

9、ions of Abel criterion use Abel discrimination law; containing sine, cosine, etc. bounded function or absolute convergence function can be considered to determine with the comparative method. Whereas, for each convergent discriminant methods, the article gives a detailed certification process in ord

10、er to facilitate the reader can skillfully apply to solving them, and finally with related cases .KEYWORDSCauchy Criterion, Abel Criterion, Dirichlet Criterion,ConditionalConvergence, Absolute Convergence1 引言在定積分中，我們總是假定積分區(qū)間是有限的，而被積分函數(shù)（如果可積的話）一定是有界的。但在理論中或?qū)嶋H應(yīng)用中都有需要去掉這兩個(gè)限制，把定積分的概念拓廣為無限區(qū)間上的積分和無界函數(shù)的積分。

11、下面先討論無限區(qū)間上的積分引入條件，再由此引入無界函數(shù)的反常積分的研究。黎曼積分要求積分區(qū)間有限且被積函數(shù)在區(qū)間上有界 .但在生活實(shí)際應(yīng)用中 ,上述條件并不滿足 ,仍需要另外形式的積分。因此 ,積分的概念需要進(jìn)一步的推廣。由（第二宇宙速度的問題）在地球表面垂直發(fā)射火箭，要是火箭克服地球引力無限遠(yuǎn)離地球，試問初速度至少要多大？設(shè)地球的半徑為 ,火箭質(zhì)量為， 地球表面的重力加速度為。 根據(jù)萬有引力定律 ,在距地心處火箭所受的引力為：于是火箭從地面升到距離地心為處需作的功為：當(dāng)時(shí)，其極限就是火箭無限遠(yuǎn)離地球需作的功?？傻胢gR2dxlimr mgR2dx mgRRx2Rx2r最后，由機(jī)械守恒定律可求

12、得初速度至少應(yīng)使可得因此，引出了人們對(duì)無窮限反常積分的研究。國(guó)內(nèi)外關(guān)于無窮積分的性質(zhì)與收斂性判別方法的研究非常豐富,取得了很好的成果。 在數(shù)學(xué)分析一系列教材中，對(duì)于無窮積分的性質(zhì)和收斂性判別法的敘述比較全面，且論證過程非常詳細(xì)。無窮限反常積分收斂性的判斷是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，判斷無窮限反常積分收斂的方法有多種,數(shù)學(xué)分析 教材上給出的常用的方法主要有定義法、比較法、柯西判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。下面簡(jiǎn)單給出無窮積分的定義的引入：我們先考察位于曲線之下，軸之上而夾在直線，之間區(qū)域的面積當(dāng)時(shí)，有自然，可以把這一極限了解為位于曲線之下，軸之上，直線之右向右無限延展的區(qū)域面積。但是，如果對(duì)曲

13、線，考察同樣的問題，有A 1Adx ln A1 x在這種情況下，無限延展的區(qū)域就沒有有限的面積了。由此，我們可以給出以下定義：定義設(shè)函數(shù)在有定義，并且對(duì)于任意的在區(qū)間上可積，當(dāng)極限存在時(shí)，稱這極限值為在區(qū)間上（或是從到）的反常積分，記作這時(shí)也稱積分是收斂的， 它的值就是上述極限值。 如果上述的極限不存在，稱積分是發(fā)散的。類似地可定義反常積分。對(duì)反常積分當(dāng)和都收斂時(shí)（是一個(gè)任意固定的數(shù)） ，我們就說收斂，并且有f x dxaf x dxf x dxa這時(shí)，顯然有必須注意的是：這里和兩者之間是獨(dú)立變化的，如果上式右邊的極限不存在，就稱發(fā)散。下面簡(jiǎn)單給出無窮積分的收斂的柯西準(zhǔn)則：定理 1無窮積分收斂

14、的充要條件是：任給，存在，只要，便有u2u1u2f x dxf x dxf x dxaau1下面簡(jiǎn)單給出無窮積分的相關(guān)性質(zhì)：性質(zhì) 1若與都收斂，為任意常數(shù)，則也收斂，且ak1 f1xk2 f 2 x dx k1 a f1 x dx k2 a f2 x dx性質(zhì) 2 若在任何有限區(qū)間上可積， ，則與同斂態(tài)（即同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散），且有bf x dxf x dxf x dxaab其中右邊第一項(xiàng)是定積分。性質(zhì) 2 相當(dāng)于定積分的積分區(qū)間可加性，由它又可導(dǎo)出收斂的另一充要條件：任給，存在，當(dāng)時(shí)，總有事實(shí)上，這可由f x dxuf x dxf x dxaau結(jié)合無窮積分的收斂定義而得。若，在任意上可積，

15、且和都收斂，則收斂。性質(zhì) 3若在任何有限區(qū)間上可積，且有收斂，則亦必收斂，并有性質(zhì) 4 設(shè)在連續(xù)，又如果下面的等式中有兩項(xiàng)存在，那么第三項(xiàng)也存在，并且等式成立。這就是反常積分的分部積分法。其中，當(dāng)收斂時(shí)，稱為絕對(duì)收斂。我們稱收斂而不絕對(duì)收斂者為條件收斂。下面給出無窮限積分收斂性判別的定理以及推論：定理 2 （非負(fù)函數(shù)無窮積分判別法）設(shè)定義在上的非負(fù)函數(shù)在任何上可積，則收斂的充要條件是：存在，使，定理 3（比較判別法）設(shè)定義在上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù)，在任何有限區(qū)間上可積，且存在，滿足，則當(dāng)積分收斂，那么積分也收斂；當(dāng)積分發(fā)散，那么積分也發(fā)散。例 1 判別的收斂性。解顯然，由于收斂，因此收斂。例 2 設(shè)

16、，是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，證明：若和收斂，則收斂。證明由于，而f 2 xg 2 x1f212dx2x dx2g x dx 收斂，a2aa因此收斂。同時(shí)它有下面的極限形式。推論 1（比較判別法的極限形式）設(shè)非負(fù)函數(shù)，在任何上可積，且（ 1）若，則和收斂性相同；（ 2）若，則由收斂可得收斂；（ 3）若，則由發(fā)散可得發(fā)散。推論 2（柯西判別法）設(shè)是定義在上的非負(fù)函數(shù)，在任何有限區(qū)間上可積。（ 1）若，則收斂；（ 2）若，則發(fā)散。推論 3（柯西判別法的極限形式）設(shè)是定義在上的非負(fù)函數(shù)，在任何有限區(qū)間上可積。若，則（ 1）當(dāng)時(shí)，積分收斂；（ 2）當(dāng)時(shí)，積分發(fā)散。例 3 討論的收斂性解（1）時(shí)， lim xx

17、1 p2ln k xlimln k x0xpp 1xx 2因此由推論 3 可得收斂；（2）時(shí)， lim xln k x1 plnkxxplim xxx由此同理可得發(fā)散。定理 4 （積分第二中值定理）設(shè)函數(shù)在上可積，而在上單調(diào)，那么在上存在，使bbf x g x dxg af x dxg bf x dxaa特別，如果單調(diào)增加且，那么有，使bbf x g x dxg bf x dxa如果單調(diào)減少且，那么有，使bf x dxf x g x dx g aaa定理 5（阿貝爾判別法）如果收斂，在上單調(diào)有界，那么積分收斂。定理 6（狄利克雷判別法）若在上有界，在上單調(diào)，且，則無窮反常積分收斂。例 4證明積

18、分收斂，而不絕對(duì)收斂證明因?yàn)锳c o s c o s1 2，又由單調(diào)而且當(dāng)時(shí)趨于零，s i nx d xA1由狄利克雷判別法知收斂。但再應(yīng)用狄利克雷判別法可知收斂，因?yàn)锳1sin 2 A sin 2 1cos 2xdx12又由。然而發(fā)散，因此發(fā)散，所以收斂，而不絕對(duì)收斂。例 5 證明積分sin x arctan xdx 011 x證明因?yàn)槭諗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)有界，由阿貝爾判別法可知sin x arctan xdx 01 收斂。1 x以上是文獻(xiàn) 1-6中關(guān)于無窮積分給出的一些性質(zhì)定理和無窮限積分的收斂性判別法，關(guān)于更多詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn) 7-17。然而在數(shù)學(xué)分析相關(guān)教程中對(duì)于瑕積分的性質(zhì)和收斂判

19、別法只是簡(jiǎn)單羅列，并且沒有給出論證過程，甚至有些教材只字未提。瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解決實(shí)際應(yīng)用問題中有著舉足輕重的作用，所以熟練掌握瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法，并能獨(dú)立完成各種性質(zhì)與收斂判別法證明過程和靈活應(yīng)用是必要的條件。因此本文將根據(jù)無窮積分的性質(zhì)和收斂性判別法給出一下內(nèi)容：1.瑕積分收斂性的性質(zhì)2.瑕積分收斂性的判別方法3.所有結(jié)論的的論證過程4.瑕積分的相關(guān)的應(yīng)用舉例2 瑕積分收斂性的概念文獻(xiàn) 1給出了瑕積分的性質(zhì)定義定義在區(qū)間上,在點(diǎn)的任一右鄰域內(nèi)無界,但在任何閉區(qū)間上有界且可積.如果存在極限,則稱此極限為無界函數(shù)在上的反常積分,記作并稱反常積分收斂 .如果極限

20、不存在 ,這時(shí)也說反常積分發(fā)散。在定義中 ,被積函數(shù)在點(diǎn)附近是無界的,這時(shí)點(diǎn)稱為的瑕點(diǎn) ,而無界函數(shù)反常積分又稱為瑕積分。同理,可定義瑕點(diǎn)為時(shí)的瑕積分：其中在有定義 ,在點(diǎn)的任一左鄰域內(nèi)無界,但在任何上可積。若的瑕點(diǎn) ,則可得瑕積分bcbubf (x)dxf ( x) dxf ( x) dxlimf ( x)dxlimf ( x)dx.aacucavcv其中在上有定義 ,在 點(diǎn) 的任一鄰域內(nèi)無界 ,但在任何和上都可積 .當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí) ,左邊的瑕積分才是收斂的。又若、兩點(diǎn)都是的瑕點(diǎn) ,而在任何上可積 ,這時(shí)定義瑕積分bcbcvf (x)dxf ( x)dxf ( x) dxli

21、mf ( x) dxlimf ( x)dx,aacuauvbc其中為內(nèi)任一實(shí)數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)上式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí),左邊的瑕積分才是收斂的。例 1瑕積分的值解被積函數(shù)在上連續(xù) ,從而在任何上可積 ,為其瑕點(diǎn) .根據(jù)定義可得1dxlimudxlim arcsinu.02021 xu 11 xu 123 瑕積分收斂性的性質(zhì)文獻(xiàn) 1-6中給出了瑕積分的定理和性質(zhì)定理 1瑕積分（瑕點(diǎn)為）收斂的充要條件是：任給，存在只要，總有bxdxbu2ff x dxf x dxu1u 2u1證明blimblim F u由于 f x dxf x dxauauu a又因?yàn)槭諗看嬖谌谓o，存在只要，總有u2bbf x dx

22、f x dxf x dx F u1 F u2u1u 1u 2性質(zhì) 1設(shè)函數(shù)和的瑕點(diǎn)同為，為常數(shù)，則當(dāng)瑕積分與都收斂時(shí)，瑕積分必定收斂，并有bbbak1 f1xk2 f 2 x dx k1 a f1 x dx k2 a f 2 x dx證明由于與都收斂，則和存在。所以bbk1limf1x dx k2limf2 x dxu a uu au所以收斂，且bbbak1 f1xk2 f 2 x dx k1 a f1 x dx k2 a f 2 x dx 。性質(zhì) 2設(shè)函數(shù)的瑕點(diǎn)為，為任一常數(shù)，則瑕積分與同斂態(tài)，并有bcbf x dxf x dxf x dxaac其中為定積分。證明由于limcbf x dxf

23、 x dxu auc（3-1）所以和同時(shí)存在或同時(shí)不存在，即與同斂態(tài)。又根據(jù)（3-1）式bcbf x dxf x dxf x dx 。aac性質(zhì)3設(shè)函數(shù)的瑕點(diǎn)為， 在的任意內(nèi)閉區(qū)間上可積。則當(dāng)收斂時(shí)也必定收斂，并有。證明 根據(jù)柯西準(zhǔn)則，收斂則任給，存在只要，總有由定積分絕對(duì)值不等式，得又由柯西準(zhǔn)則可得收斂。由于對(duì)任意的，有又因?yàn)楹褪諗?，則可得bf x dx limblimf x dxu a uu au即當(dāng)收斂時(shí)，稱為絕對(duì)收斂。又稱收斂而不絕對(duì)收斂的瑕積分是條件收斂的。4 瑕積分收斂性的判別法4.1 瑕積分的收斂判別法參考文獻(xiàn) 7-13給出瑕積分的收斂判別法，如下定理 2若定義在上的非負(fù)函數(shù)，在

24、任意閉區(qū)間上可積，則收斂的充要條件是：存在 ,對(duì)任意的，。證明因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減。充分性：由于在上有界，所以存在。即收斂；必要性：因?yàn)殍Ψe分（瑕點(diǎn)為）收斂，則存在，那么在上有界。又由于在任意閉區(qū)間上可積，則在上連續(xù)，那么在上有界。因此可得。定理 3(比較法則 )設(shè)定義在上的兩個(gè)函數(shù)與， 瑕點(diǎn)同為，在任何上都可積，且滿足則（ 1）當(dāng)收斂時(shí)，必定收斂；（ 2）當(dāng)發(fā)散時(shí)，亦必發(fā)散。證明設(shè)，由于，則有bbbf x dxg x dxg x dxuua即在上有上界，所以收斂。推論 1又若時(shí)，且，則有：（ 1）當(dāng)時(shí)，與同斂態(tài) ;（ 2）當(dāng)時(shí)，由收斂可推知也收斂；（ 3）當(dāng)時(shí)，由發(fā)散可推知也發(fā)散。證明

25、 （ 1），取，存在時(shí)，即由比較法則得與同斂態(tài)。（2），對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，存在即由比較法則可得收斂可推知也收斂。（3），對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，存在即有比較法則可得發(fā)散可推知也發(fā)散。當(dāng)選用作為比較對(duì)象時(shí)，比較法則及其 2 推論 1 成為如下推論 2 設(shè)定義于，為其瑕點(diǎn)，且在任何上可積，則有（ 1）當(dāng)，且，收斂；（ 2）當(dāng)，且，發(fā)散。推論 3設(shè)定義于，為其瑕點(diǎn)，且在任何上可積，如果則有（ 1）當(dāng)時(shí)，收斂；（ 2）當(dāng)時(shí)，發(fā)散。定理 4 （積分第二中值定理）設(shè)函數(shù)在上可積，而在上單調(diào)，那么在上存在，使bf x g x dx g abaf x dx g b f x dxa特別，如果單調(diào)增加且，那么有，使bg bbf

26、 x g x dxf x dxa如果單調(diào)減少且，那么有，使bg af x dxf x g x dxaa定理 5（阿貝爾判別法）設(shè)在有瑕點(diǎn)，如果收斂，在上單調(diào)有界，那么積分收斂。證明由于在上有界，則存在，使。又由于收斂，則存在任意，當(dāng)，有又當(dāng)時(shí)，根據(jù)積分第二中值定理：或者，使得u 2f x dx g u 2u 2f x g x dx g u1f x dxu1u1g u1f x dx g u2u2f x dxu1因此得出積分收斂。定理 6（狄利克雷判別法）設(shè)在有瑕點(diǎn)，如果在上有界，在上單調(diào)且，那么積分收斂。證明因?yàn)樵谏嫌薪?，則存在，使。因?yàn)?，則對(duì) ，使得當(dāng) ，有又當(dāng)時(shí)，根據(jù)積分第二中值定理：或者，

27、使得u 2g u1u 2f x dxf x g x dxu1f x dx g u 2u1g u1f x dx g u2u2f x dxu1所以積分收斂。4.2 瑕積分的收斂判別法的應(yīng)用舉例文獻(xiàn) 15-17中給出以下應(yīng)用舉例例 1判別下列瑕積分的收斂性：(1)；(2)解本例兩個(gè)瑕積分的被積函數(shù)在各自的積分區(qū)間上分別保持同號(hào)在上恒為負(fù) ,在上恒為正 ,所以它們的瑕積分收斂與絕對(duì)收斂是同一回事。(1)此瑕積分的瑕點(diǎn)為。由上述推論3,當(dāng)取時(shí) ,有3ln xln x410lim x4lim(x4)xlim1,x 0x 04x 0x所以瑕積分 (1)收斂。(2)此瑕積分的瑕點(diǎn)為。當(dāng)取時(shí),由lim( x 1

28、)xlimx11,x1ln xx1ln x故該瑕積分發(fā)散。例 2討論反常積分的收斂性解這是一個(gè)既是無窮積分又是瑕積分的例子1xa 1xdx把反常積分寫成： (a)dx I (a) J (a) 。0 1x0 1 x(i) 先討論 .當(dāng) ,即時(shí)它是定積分；當(dāng)時(shí)它是瑕積分 ,瑕點(diǎn)為。由于,根據(jù)推論 2,當(dāng)即且時(shí) ,瑕積分收斂；當(dāng) ,即且 =1 時(shí),發(fā)散。(ii) 再討論 ,它是無窮積分 .由于2x1lim1lim x1x11,xxx根據(jù)推論 2,當(dāng) ,即且時(shí) ,收斂；而當(dāng) ,即且 1 時(shí),發(fā)散。綜上所述，討論結(jié)果如下：(1)當(dāng)時(shí)，發(fā)散，收斂，發(fā)散；(2)當(dāng)時(shí)，收斂，收斂，收斂；(3)當(dāng)時(shí)，是定積分，

29、發(fā)散，發(fā)散；由此可見 ， 反常積分只有當(dāng)時(shí)才是收斂的。例 3 討論反常積分的收斂性。解 ,由 ,可得瑕積分收斂 ,又因?yàn)榭梢缘贸鰺o窮積分收斂 ,因此可可得反常積分是收斂的。例 4 討論瑕積分收斂性：(1) （2）(3)解（1） ln axln a1() ()a ,() ,可得 時(shí)收斂時(shí)發(fā)散。x 1x 1x 1,根據(jù)柯西判別法 ,由上式可令 , lim(x1) a1lim11 可以得出 時(shí)收斂 ,x 1lnaxx 1lnax時(shí)發(fā)散。（ 2）積分可轉(zhuǎn)化為ln xdx1212ln xdx0p1q0112p1qxx2xx在中 0 是瑕點(diǎn)，在和中 1 是瑕點(diǎn)，是無窮限反常積分。討論，當(dāng)時(shí)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，取使

30、，有，而，所以，而收斂，故時(shí)收斂。討論 ,因?yàn)?ln xln 1x1x1 x1 ，所以，于是當(dāng)時(shí)，即時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。討論，和相同，當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。討論，因?yàn)?，得時(shí)收斂（這是因?yàn)閷?duì)任何，與相比，可以不考慮） 。當(dāng)時(shí)發(fā)散。(3)被積函數(shù)的瑕點(diǎn)為1 和 2，可得2x3x2xdx2dxdx J1 J2111131( x2(x22(x2)( x)( x)( x)3x31xJ12dx2dx1111( x2x( x2)( x)與同收斂 .根據(jù)柯西判別法 ,可以得出收斂。同理與同收斂，根據(jù)柯西判別法 ,可以得出收斂 ,由瑕積分的性質(zhì)可得整式收斂。通過以上實(shí)例我們可以知道瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中

31、有著舉足輕重的作用。我們不但要掌握瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法，還要能夠自己獨(dú)立的證明，只有熟練掌握它們的原理才能夠很好的應(yīng)對(duì)各種題型的變換。結(jié)束語本文根據(jù)無窮積分的性質(zhì)和收斂判別法給出了瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法。并且給出了一些結(jié)論的證明過程，文中還列舉了瑕積分應(yīng)用方面的一些案例幫助理解和應(yīng)用。瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)，由于本人所學(xué)的知識(shí)有限，并不能完全解決瑕積分解題遇見的一些困難，希望在以后的工作學(xué)習(xí)當(dāng)中能夠進(jìn)一步的學(xué)習(xí)瑕積分的性質(zhì)和收斂判別法以及他們的應(yīng)用方法，能夠使瑕積分的性質(zhì)和判別法越來越完善。致謝這篇文章之所以能夠順利的完成，除了自我的努力之外，還與我的母校河南工程學(xué)院的栽培和理學(xué)院所有老師的指導(dǎo)和幫助是分不開的，在這里我要對(duì)所有幫助過我的人表示感謝！首先，我要感謝的就是我的指導(dǎo)老師吳海華，正是因?yàn)樗母叨鹊呢?zé)任感和悉心的指導(dǎo)鼓勵(lì)著我順利完成這篇論文。從選題開始她一直保持跟我的聯(lián)系細(xì)心的督促論文完成的進(jìn)度并且?guī)椭v解論文完成的思路和一些重