西安科技大學(xué)自動(dòng)控制原理教學(xué)同步教程-第三章

1、3.1 典型輸入信號(hào)及系統(tǒng)暫態(tài)典型輸入信號(hào)及系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)響應(yīng)性能指標(biāo)3.1.13.1.1典型輸入信號(hào)及系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)1.典型輸入信號(hào) 在規(guī)定了系統(tǒng)的初始條件以后，考察系統(tǒng)的性能一般是以它對(duì)某一典型試驗(yàn)信號(hào)的輸出響應(yīng)為依據(jù)。采用什么樣的典型試驗(yàn)信號(hào)，取決于系統(tǒng)的常見工作狀態(tài)。因此，在選擇典型試驗(yàn)信號(hào)時(shí)，一是應(yīng)盡可能的接近實(shí)際工作時(shí)的外加信號(hào)；二是信號(hào)容易產(chǎn)生；三是信號(hào)能反應(yīng)系統(tǒng)最不利的工作條件。根據(jù)以上三條，工程中常用的典型試驗(yàn)信號(hào)有階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、拋物線函數(shù)、脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)。（1）階躍函數(shù) 0 t00 t)( Rtrtr(t)Rtr(t)Rtr(t)t021)( 0 t0

2、0 t)( SSRRttr321)( 0 t00 t)( SSRRttr（2）斜坡函數(shù)（勻速函數(shù)）（3）拋物線函數(shù)（勻加速函數(shù)）R=1時(shí)，稱為單位階躍函數(shù)，記為l(t) 。R(S)=1/S。R=1時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)。R=1/2時(shí)，稱為單位拋物線函數(shù)。 ht h t 0 t0)( hAtr及tr(t)1R(s) 0 t00 t(t) h0 sAR(S) )-tAsin(r(t) 22h1/htr(t)r(t)t（4）脈沖函數(shù)（5）正弦函數(shù)當(dāng) 時(shí)，則稱為單位脈沖函數(shù)。3.1.2 系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)及暫態(tài)性能指標(biāo) 若線性定常系統(tǒng)的輸入量為 ，輸出量為 ，則描述該系統(tǒng)的微分方程式一般形式為)(tr)(tc

3、 )( d)( d d)( d d)( d)( d)( d d)( d d)( d1111011110trbttrbttrbttrbtcattcattcattcammmmmmnnnnnn 規(guī)定系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零狀態(tài)，即： 。0)0()0()0( ccc 表明在輸入加于系統(tǒng)之前，被控量及其各階導(dǎo)數(shù)相對(duì)于平衡工作點(diǎn)的增量為零，系統(tǒng)處于相對(duì)平衡狀態(tài)。 初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型輸入信號(hào)作用下的輸出，稱為典型時(shí)間響應(yīng)。典型時(shí)間響應(yīng)由暫態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。 暫態(tài)過程：暫態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出由初始狀態(tài)到達(dá)最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。 穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸

4、入信號(hào)作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。 控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的性能指標(biāo)，通常由動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。 描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間t的變化狀況的指標(biāo)，稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。對(duì)于圖3-5所示單位階躍響應(yīng) ，其暫態(tài)性能指標(biāo)通常為： )(tc圖3-5控制系統(tǒng)的典型單位階躍響應(yīng)曲線)(c)(tc)()(ctcp)(ptcrtptstt0)(%25%c）（或允許偏差%100)()()(%100)()(%cctcctcppp1. 上升時(shí)間tr，指響應(yīng)曲線從終值10%上升到終值90%所需要的時(shí)間；對(duì)于有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為響應(yīng)從零開始，第一次上升到終值

5、所需要的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。2. 峰值時(shí)間tp，指響應(yīng)超過終值達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。3. 調(diào)節(jié)時(shí)間ts，指響應(yīng)達(dá)到并保持在終值5%（或2%）內(nèi)所需要的時(shí)間。 4. 超調(diào)量 ，指響應(yīng)的最大偏離量 與終值c()之差的百分比，即：%p)(ptc穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。若時(shí)間趨于無窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。3.2 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析 用一階微分方程式描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。工程中它是

6、最基本最簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，通過對(duì)一階系統(tǒng)的研究，引出對(duì)一般系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析的基本方法。圖3-6一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖3.2.1 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 當(dāng)輸入信號(hào)為單位脈沖信號(hào) 時(shí)， 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖3-7所示。)()(ttrTsTTssRsMsC/1/111)()()(TteTsCLtc/11)()(圖3-7一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 3.2.2 3.2.2 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 當(dāng)系統(tǒng)輸入 為單位階躍時(shí)，輸出響應(yīng)的拉氏變換為 取的拉氏反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) )( 1)(ttrTssTsssRsMsC/111) 1(1)()()() 0( ,1)()(/1te

7、sCLtcTt 圖3-8 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.2.3 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 當(dāng)參考輸入 為單位斜坡函數(shù)時(shí)，其拉氏變換 ，則一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)象函數(shù)為ttr)(2/1)(ssR) 1(1)()()(2TsssRsMsCTtTeTtsCLtc/1)()(其時(shí)域響應(yīng)為t-Ttc(t)()(t)0T圖3-9 一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)曲線3.3 二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 用二階微分方程式描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。在控制理論中，二階系統(tǒng)比一階系統(tǒng)更具有代表性，它的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系非常簡(jiǎn)明，分析、設(shè)計(jì)比較容易。而且在一定條件下，大多數(shù)高階系統(tǒng)都可近似為二階系統(tǒng)進(jìn)行處理，特

8、別在初步對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)常要先做如此近似。所以對(duì)二階系統(tǒng)的分析是十分重要的。典型二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖3-12所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：) 1()2()(2TssKsssGnn圖3-12 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 2222)(nnnsssM式中 二階系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率，簡(jiǎn)稱無阻尼自振頻率； 時(shí)間常數(shù)； 阻尼系數(shù)。nT（3-22）由式(3-22)知，閉環(huán)特征方程為0222nnss其特征根，即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為（3-23）1221nnp ，即閉環(huán)特征根與和有關(guān)。根據(jù)值的不同，可分四種情況討論。（3-24）3.3.1 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) （1）過阻尼情況 當(dāng) 時(shí)為過阻尼情

9、況。由式（3-24）可得過阻尼時(shí)閉環(huán)特征根為兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根 11221nnp，根據(jù)式（3-22）可求得過阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為)()2()(212222pspssssssCnnnn22110psApsAsA其中系數(shù)由下式確定1)(00sssCA)1(121)(22111pspssCA)1(121)(22222pspssCA將系數(shù) 代入上式，并對(duì)取拉氏反變換得)(sC)0( ,1)1(exp1)1(exp1211)(22222ttttcnn與式（3-25）對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-14中 的單調(diào)上升曲線所示。 （3-25）1由式（3-25）可知，暫態(tài)分量由兩項(xiàng)組成，當(dāng)

10、 時(shí)，其中第二項(xiàng)的衰減指數(shù)比第一項(xiàng)的衰減指數(shù)大得多，所以第二項(xiàng)暫態(tài)分量只在響應(yīng)的前期對(duì)系統(tǒng)有影響，后期影響很小，因此第二項(xiàng)可以忽略，此時(shí)二階系統(tǒng)的響應(yīng)可近似為一階系統(tǒng)的響應(yīng)。實(shí)際工程中 當(dāng) 時(shí)，這種近似已足夠精確。15 . 1（2）欠阻尼情況 當(dāng) 時(shí)為欠阻尼情況。由式（3-24）可得欠阻尼時(shí)閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)10dnnjjp22, 11它們?cè)趕平面上的分布如圖3-13所示。欠阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為)(21)2()(222dndnnnnnjsjsssssssC2222)()(1dnndnnssss圖3-13 欠阻尼二階系統(tǒng)參數(shù)間的關(guān)系式中， 阻尼振蕩角頻率。21nd對(duì)上

11、式取拉氏反變換，則可得二階系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)tetetcdtdndtnnsincos1)()1sin(11122tentn式中， 表示二階系統(tǒng)欠阻尼時(shí)，特征根在s平面上的特征向量與負(fù)實(shí)軸的夾角，如圖3-13所示。21arctan（3-26）由式（3-26）可看出，二階系統(tǒng)欠阻尼響應(yīng)是一個(gè)衰減振蕩，其特性決定于閉環(huán)特征根，即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在s平面的位置。當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)，暫態(tài)分量振蕩衰減到零，衰減的速度決定于閉環(huán)特征根的實(shí)部 ；衰減振蕩的頻率決定于閉環(huán)特征根的虛部 ，衰減振蕩曲線如圖3-14中 的曲線所示。n21nd1（3）零阻尼情況 當(dāng) 時(shí)就是零阻尼情況。由式（3-22）

12、可知零阻尼時(shí)閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛虛根0njp2, 1根據(jù)式（3-26），當(dāng)可得零阻尼情況下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為ttcdcos1)(（3-27）即 時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)呈等幅振蕩，振蕩的角頻率為 。由于振蕩是不衰減的，因此稱 為無阻尼自然振蕩角頻率， 的物理意義是明確的。與式（3-27）所對(duì)應(yīng)的振蕩過程如圖3-14中 的曲線所示。0nnn0（4）臨界阻尼情況 當(dāng) 時(shí)是臨界阻尼情況，由式（3-24）可知閉環(huán)特征根為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)1np2, 1根據(jù)式（3-26），當(dāng) 時(shí)，可得臨界阻尼情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為1)1 (1)(tetcntn（3-28）與式（3-28）相對(duì)應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為圖3-14

13、中 時(shí)的單調(diào)上升曲線。1圖3-14不同 值時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)3.3.2 欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析 從以上的分析看出，二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能由阻尼系數(shù) 與無阻尼自振頻率 決定，因此它的暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)也可以由它們來描述。其中上升時(shí)間、峰值時(shí)間和最大超調(diào)量可以用 和 準(zhǔn)確表示，但調(diào)節(jié)時(shí)間很難用它們準(zhǔn)確表示，只能采用工程近似法計(jì)算。nn（1）上升時(shí)間rt由于上升時(shí)間是響應(yīng)曲線由零開始響應(yīng)，第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。其值為2211arctanndrt（3-29）（2）峰值時(shí)間 pt由于峰值出現(xiàn)在響應(yīng)曲線極值處，所以將 對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零即可求得峰值時(shí)間 )(tcptdnpt21（

14、3）最大超調(diào)量%p最大超調(diào)量發(fā)生在 時(shí)刻， pt%100)1exp(%100%212ep（3-30）（3-31）（4）調(diào)節(jié)時(shí)間 調(diào)節(jié)時(shí)間 是滿足（3-26）條件的暫態(tài)響應(yīng)最小時(shí)間。其中調(diào)節(jié)時(shí)間的誤差帶寬度通常取5%或2%。則，求取調(diào)節(jié)時(shí)間 的關(guān)系式為st)05. 002. 0()1arctan1sin(1222或snttesnstnnst221lnln11ln1解得因此由式（3-31）得 的近似表達(dá)式為st（3-32）（3-33）nnst42ln100lnnnst35ln100ln（取2%） （取5%） （3-34）（3-35）例例3-33-3 設(shè)單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 是可調(diào)的。

15、求當(dāng) 時(shí)的單位階躍響應(yīng)及其性能指標(biāo) 、及 。)5 .34(75)()(ssKsEsCrrK100rKrt%pst解解 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為100rK)5 .34(75)()(ssKsEsCr閉環(huán)傳遞函數(shù)為75005 .347500)(2sssM閉環(huán)特征方程為075005 .342ss一對(duì)共軛復(fù)根為86.8425.172, 1jp相應(yīng)的阻尼系數(shù)和自振頻率分別為2 . 086.8425.1725.17cos22nn25.862 . 025.17n由于 是欠阻尼情況，所以它的階躍響應(yīng)由式（3-26）可得2 . 0)2 . 02 . 01arctan86.84sin(2 . 011)(2225

16、.862 . 0tetct)46.7886.84sin(02. 1125.17tet利用計(jì)算性能指標(biāo)的相應(yīng)公式，可分別計(jì)算暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)為 、 ； （取0.05）或 （取0.02）。str02. 0%66.52% psts174. 0sts232. 03.3.3 二階系統(tǒng)性能的改善二階系統(tǒng)性能的改善 可以考慮比例-微分控制、測(cè)速負(fù)反饋控制來減小系統(tǒng)的超調(diào)量。 （1）比例-微分控制 比例-微分控制時(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-18所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：)2() 1()(2ndnsssTsG閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 222)21(2) 1()(nnnddnsTssTsM圖3-18 附加比例-微分控制的二階系

17、統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的阻尼比為： nddT21（3-36） 可見，采用比例-微分控制，增加了系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，且不影響穩(wěn)態(tài)值及系統(tǒng)的自然頻率。需要注意的是，采用比例-微分控制后，系統(tǒng)為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，不再是典型二階系統(tǒng)，性能指標(biāo)計(jì)算公式為：21dndpt a)峰值時(shí)間 %1001%212dpdtderb)超調(diào)量 nddnndszzt)1ln(21ln)2ln(213222c)調(diào)節(jié)時(shí)間 其中 ，dT1z )1arctan(22dd)1arctan( )(1arctan22ddnddnz)1/(2222dnndzzr (2)測(cè)速反饋控制 測(cè)速反饋控制時(shí)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)

18、的開環(huán)傳遞函數(shù)為：12112)2(1)2()(222sKsKsssKsssGntnntnnntnn閉環(huán)傳遞函數(shù)為：222)21(2)(nnntnsKssM系統(tǒng)的阻尼比為： nttK21圖3-19 附加測(cè)速反饋的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(3-37) 可見，測(cè)速反饋控制不影響系統(tǒng)的自然頻率，增大了系統(tǒng)的阻尼比，減小了系統(tǒng)的超調(diào)量，另外，測(cè)速反饋控制降低了系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而加大了系統(tǒng)在斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。采用測(cè)速反饋控制后，系統(tǒng)仍為典型二階系統(tǒng)，性能指標(biāo)的計(jì)算公式同前。(3)比例-微分控制與測(cè)速反饋控制的比較 對(duì)于理想的線性控制系統(tǒng)，在比例-微分控制和測(cè)速反饋方法中，可以任取一種來改善系統(tǒng)性能。然而，

19、實(shí)際控制系統(tǒng)有許多必須考慮的因素，例如系統(tǒng)的具體組成、作用在系統(tǒng)上噪聲的大小及頻率、系統(tǒng)的線性范圍和飽和程度等。下面僅討論幾種主要差別： 附加阻尼來源：微分控制的阻尼作用來源于系統(tǒng)輸入端誤差信 號(hào)的速度，而測(cè)速反饋控制的阻尼作用來源于系統(tǒng)輸出端響應(yīng)的速 度，因此對(duì)于給定的開環(huán)增益和指令輸入速度，后者對(duì)應(yīng)較大的穩(wěn) 態(tài)誤差值。 使用環(huán)境：微分控制對(duì)噪聲具有明顯的放大作用，當(dāng)系統(tǒng)輸 入端噪聲嚴(yán)重時(shí)，一般不宜選用微分控制；同時(shí)微分器的輸入信號(hào) 為系統(tǒng)的誤差信號(hào)，其能量水平低，需要相當(dāng)大的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，要求選用高質(zhì)量的放大器。測(cè)速反饋控制對(duì)系統(tǒng)輸入端的噪聲有濾波作用，同時(shí)測(cè)速發(fā)電機(jī)的輸

20、入信號(hào)能量水平較高，因此對(duì)系統(tǒng)組成元件沒有過高的質(zhì)量要求，使用場(chǎng)合比較廣泛。 對(duì)開環(huán)增益和自然頻率的影響：微分控制對(duì)系統(tǒng)的開環(huán)增益和自然頻率均無影響，測(cè)速反饋雖不影響自然頻率，但會(huì)降低開環(huán)增益。因此，對(duì)于確定的常值穩(wěn)態(tài)誤差，測(cè)速反饋控制要求有較大的開環(huán)增益，開環(huán)增益的加大，必然導(dǎo)致系統(tǒng)自然頻率的增加，在系統(tǒng)存在高頻噪聲時(shí)，可能引起系統(tǒng)共振。 對(duì)動(dòng)態(tài)性能的影響：微分控制相當(dāng)于在系統(tǒng)中加入實(shí)零點(diǎn)，可以加快上升時(shí)間。在相同阻尼比的情況下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量會(huì)大于測(cè)速反饋控制系統(tǒng)的超調(diào)量。3.4 高階系統(tǒng)的時(shí)域分析高階系統(tǒng)的時(shí)域分析 3.4.1 高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 在控制工程中，幾乎所有的控制

21、系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)，即用高階微分方程描述的系統(tǒng)。對(duì)于不能用一、二階系統(tǒng)近似的高階系統(tǒng)來說，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的確定是比較復(fù)雜的。工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析，從而得到高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的估算式。對(duì)于圖示高階系統(tǒng)，圖3-20 高階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖其閉環(huán)傳遞函數(shù)為)()(1)()()()(sHsGsGsRsCsM（3-38）在一般情況下， 和 都是s的多項(xiàng)式之比，故式（3-36）可以寫為)(sG)(sHnnnnmmmmasasasabsbsbsbsDsNsM11101110)()()(nm （3-39） 為了便于求出高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，應(yīng)將式（3-39）的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式進(jìn)

22、行因式分解。這種分解方法，可采用高次代數(shù)方程的近似求根法，也可以使用計(jì)算機(jī)的求根程序。因而，式（3-39）必定可以表示為如下因式乘積形式：njjmiipszsKsDsNsRsCsM11)()()()()()()(式中， ； 為 之根，稱為閉環(huán)零點(diǎn)； 為 之根，稱為閉環(huán)極點(diǎn)。由于 和 均為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故 和 只可能是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。在實(shí)際控制系統(tǒng)中，所有的閉環(huán)極點(diǎn)通常都不相同，因此在輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉氏變換式可表示為00/abK iz0)(sNjp0)(sD)(sN)(sDizjpssspszsKsCrkkkkqjjmii1)2()()()(12211式中， ，q為實(shí)數(shù)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)

23、；r為共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的對(duì)數(shù)。將上式展成部分分式，并設(shè) ，可得nrq 210kqjrkkkkkkjjssCsBpsAsAsC112202)(（3-40）其中， 是 在輸入極點(diǎn)處的留數(shù)，其值為閉環(huán)傳遞函數(shù)（3-39）中的常數(shù)項(xiàng)比值，即0A)(sCnmsabssCA)(lim00（3-41） 是 在閉環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn) 處的留數(shù)，可按下式計(jì)算：jA)(sCjp)()(limsCpsAjpsjjqj, 2 , 1 和 是與 在閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn) 處的留數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。（3-42）kBkC)(sC21kkkkjs將式（3-40）進(jìn)行拉氏反變換，并設(shè)初始條件全部為零，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)rkrktkktkkkkkk

24、kktkqjtsjteBCteBeAAtckkkkj112210)1sin(1)1cos()(0t（3-43）上式表明，高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，是由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)項(xiàng)組成的。如果高階系統(tǒng)所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，即所有閉環(huán)極點(diǎn)都位于左半s平面，那么隨著時(shí)間t的增大，式（3-43）的指數(shù)項(xiàng)和阻尼正弦（余弦）項(xiàng)趨近于零，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)輸出量為 。0A 顯然，對(duì)于穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，閉環(huán)極點(diǎn)負(fù)實(shí)部的絕對(duì)值越大，其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量衰減得越迅速；反之，則衰減緩慢。應(yīng)當(dāng)指出，系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的類型雖然取決于閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)和大小，然而時(shí)間響應(yīng)的形狀卻與閉環(huán)零點(diǎn)有關(guān)。這一結(jié)論可從式（3-43）看出

25、：輸入量 的極點(diǎn)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)輸出項(xiàng) ，而高階系統(tǒng)自身的閉環(huán)極點(diǎn)則全部包含在指數(shù)項(xiàng)和阻尼正弦項(xiàng)的指數(shù)中；至于閉環(huán)零點(diǎn)，雖不影響這些指數(shù)，但卻影響留數(shù)的大小和符號(hào)，而系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線，既取決于指數(shù)項(xiàng)和阻尼正弦項(xiàng)的指數(shù)，又取決于這些項(xiàng)的系數(shù)。)(sR0A3.4.2 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子 在工程應(yīng)用中，實(shí)際系統(tǒng)往往是一個(gè)高階系統(tǒng)，而對(duì)高階系統(tǒng)的分析和研究一般是比較復(fù)雜的。這就要應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，并利用這個(gè)概念對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行近似分析。 所謂主導(dǎo)極點(diǎn)是指在系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點(diǎn)中，距離虛軸最近且周圍無閉環(huán)零點(diǎn)的極點(diǎn)，而其余極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸，那么距虛軸最近的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量在系統(tǒng)響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，這樣的閉

26、環(huán)極點(diǎn)稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)極點(diǎn)，也可以是復(fù)數(shù)極點(diǎn)，或是它們的組合。除閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)外，其他閉環(huán)極點(diǎn)由于其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量隨時(shí)間的推移而迅速衰減，對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程影響甚微，因而統(tǒng)稱為非主導(dǎo)極點(diǎn)。 此外，如果存在一對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)，該閉環(huán)零、極點(diǎn)之間的距離比它們本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則這一對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)就構(gòu)成了一對(duì)偶極子。偶極子對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程影響甚微，在分析高階系統(tǒng)的性能時(shí)，可以忽略偶極子的影響。A3.4.3 高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能估算 運(yùn)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和偶極子的概念，可對(duì)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能作出估算。設(shè)高階系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn) ，而非主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部的模比主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部的模大3倍以

27、上，則其單位階躍響應(yīng)近似為：2, 1p)()(cos)()(21)(111111sDssNtesDssNtcdt（3-44）根據(jù)上式，可以估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。（1）峰值時(shí)間 )()(13111njjmiidppszst（3-45）由上式可以得出如下結(jié)論：a) 閉環(huán)零點(diǎn)的作用為減小峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，并且閉環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，這種作用便越顯著。b) 閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用為增大峰值時(shí)間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢。c) 若閉環(huán)零、極點(diǎn)彼此接近，則它們對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)速度的影響相互削弱。(2)超調(diào)量 %100%ptPQe|111133imiimiiniinizzsQsssP(3-46)其中， 由上式可

28、以得出如下結(jié)論：a) 若閉環(huán)零點(diǎn)距虛軸較近，將使超調(diào)量增大，表明閉環(huán)零點(diǎn)會(huì)減小系統(tǒng)阻尼。b) 若閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸較近，將使超調(diào)量減小，表明閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)可以增大系統(tǒng)阻尼。(3)調(diào)節(jié)時(shí)間 根據(jù)定義，利用方程（3-43）可得到調(diào)節(jié)時(shí)間st33nst44nst (誤差帶5%)或 (誤差帶2%)（3-47）由上式可以得出如下結(jié)論：a) 若閉環(huán)零點(diǎn)距虛軸較近，將使調(diào)節(jié)時(shí)間增大。因此，閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能總的影響是減小峰值時(shí)間，增大系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間，這種作用將隨閉環(huán)零點(diǎn)接近虛軸而加劇。b) 若閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)距虛軸較近，將使調(diào)節(jié)時(shí)間減小。因此，閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能總的影響是增大峰值時(shí)間，

29、減小系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。3.5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1 3.5.1 穩(wěn)定的概念和定義 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實(shí)際工作過程中，總會(huì)受到各種各樣的擾動(dòng)，如果線性系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí)，偏離了平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，線性系統(tǒng)仍能逐漸恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的，如果系統(tǒng)不能恢復(fù)或越偏越遠(yuǎn)，則線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是擾動(dòng)消失后系統(tǒng)自身的一種恢復(fù)能力，是線性系統(tǒng)的一種固有特性。這種固有的穩(wěn)定性只取決于線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入以及初始狀態(tài)無關(guān)。穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定圖3-21 穩(wěn)定性示意圖 分析線性的穩(wěn)定性，給出保

30、證系統(tǒng)特別是高階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本任務(wù)之一。 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義：若線性系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間推移逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.5.2 3.5.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件 設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，作用一個(gè)理想單位脈沖 ，這時(shí)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為脈沖響應(yīng) 。這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下，輸出信號(hào)偏離原平衡工作點(diǎn)的問題。若時(shí) ， ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。)(t)(tct0)(tc設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)2()()()(22111kkkrkjqjimisspszsKsM當(dāng)輸

31、入為單位脈沖信號(hào)時(shí)，1)()()(sRttrrkkktkkkkkkrkkktkqjtsjteBCteBeAtckkkkj122121)1sin(1)1cos()(上式表明，若系統(tǒng)的特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上正實(shí)部根，則時(shí)， ，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)特征根全部具有負(fù)實(shí)部，才有 時(shí)， ，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若系統(tǒng)特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上零實(shí)部根，而其余的特征根均具有負(fù)實(shí)部，則 時(shí)， 趨于常數(shù)或趨于等幅正弦振蕩，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，屬不穩(wěn)定系統(tǒng)。(3-48)t)(tct0)(tct)(tc由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均應(yīng)嚴(yán)格位于

32、左半s平面。3.5.3 3.5.3 穩(wěn)定判據(jù) (1)胡爾維茨判據(jù) 設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：)0(0)(01110aasasasasDnnnn線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：由系統(tǒng)特征方程系數(shù)所構(gòu)成的主行列式 及其各階順序主子式 全部為正。其中：) 1,.,2 , 1(niin000000000000012031420531aaaaaaaaaaaan(3-49)31420531320312110aaaaaaaaaaaaa(2) 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為：)0(0)(01110aasasasasDnnnn根據(jù)特征方程式的系數(shù)，可建立勞斯陣列如下： 10112121315121213113

33、17061315041213021127531164200rsqsppsbbaabcbbaabcsaaaaabaaaaabaaaaabsaaaasaaaasnnnn 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯陣列中第一列系數(shù)全部為正。勞斯判據(jù)指出，若勞斯陣列中第一列系數(shù)全部為正，則所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面；若勞斯陣列第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明有閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面，位于右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)正好等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。例例3-7 3-7 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：05432)(234sssssD試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解：建立勞斯陣列5065104253101234ss

34、sss勞斯陣列中第一列系數(shù)符號(hào)改變2次，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(3) 勞斯判據(jù)中的特殊情況a) 勞斯陣列第一列出現(xiàn)系數(shù)為零。例例3-8 3-8 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為：05422)(334sssssD試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解：建立勞斯陣列：0123450042521sssss若勞斯陣列某行第一列系數(shù)為零，則勞斯陣列無法計(jì)算下去，可以用無窮小的正數(shù)代替0，接著進(jìn)行計(jì)算，勞斯判據(jù)結(jié)論不變。5104504252101234sssss由于勞斯陣列中第一列系數(shù)有變號(hào)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。b)勞斯陣列中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零例例3-9 3-9 設(shè)線性系統(tǒng)特征方程式為： 01616201282)(23456ssssss

35、sD試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解：建立勞斯陣列：234560016122016122162081sssss 勞斯陣列中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零，這是因?yàn)樵谙到y(tǒng)的特征方程中出現(xiàn)了對(duì)稱于原點(diǎn)的根（如大小相等，符號(hào)相反的實(shí)數(shù)根；一對(duì)共軛純虛根；對(duì)稱于原點(diǎn)的兩對(duì)共軛復(fù)數(shù)根），此時(shí)可由全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程式 來求這些根。同時(shí)用輔助多項(xiàng)式 對(duì) 求導(dǎo)一次后所得的多項(xiàng)式系數(shù)來代替全零行，繼續(xù)計(jì)算勞斯陣列。 需要指出的是，一旦勞斯陣列中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零，則系統(tǒng)的特征方程中出現(xiàn)了對(duì)稱于原點(diǎn)的根，系統(tǒng)必是不穩(wěn)定的。勞斯陣列中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程式根中位于右半s平面的根的數(shù)目。對(duì)于本例：0

36、)(sF)(sFs16616166248161220161221620810123456sssssssssss24816122324結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由輔助方程式可以求得系統(tǒng)對(duì)稱于原點(diǎn)的根:220)4)(2(0864, 32, 12224jsjsssss 利用長除法，可以求出特征方程其余的根 。根據(jù)行列式計(jì)算的規(guī)則，可知在勞斯陣列的計(jì)算過程中，允許某行各系數(shù)同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)，而不影響穩(wěn)定性結(jié)論。116, 5js（4）穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 a) 利用穩(wěn)定判據(jù)，可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。b) 利用穩(wěn)定判據(jù)，可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，參數(shù)的取值范圍。例例3-11 3-11 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：)

37、14 . 005. 0()(2sssKsG試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。解：解：系統(tǒng)的特征方程式為：04 . 005. 023Ksss建立勞斯陣列：KsKsKss012305. 04 . 04 . 0105. 0系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，要求 。80 K利用穩(wěn)定判據(jù)，也可以衡量一個(gè)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 應(yīng)用代數(shù)判據(jù)只能給出系統(tǒng)是否穩(wěn)定，即只解決了絕對(duì)穩(wěn)定性的問題。在處理實(shí)際問題時(shí)，只判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定是不夠的。因?yàn)?，?duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，如果一個(gè)負(fù)實(shí)部的特征根緊鄰虛軸，盡管滿足了穩(wěn)定條件，但其暫態(tài)過程具有過大的超調(diào)量和過于緩慢的響應(yīng)，甚至由于系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的微小變化，就是其特征根轉(zhuǎn)移到s右半平面，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定?？紤]這些

38、因素，往往希望知道系統(tǒng)距離穩(wěn)定邊界有多少裕量，這就是相對(duì)穩(wěn)定性或者穩(wěn)定裕量的問題。 在系統(tǒng)的特征方程 中，令 ，得到 ，利用穩(wěn)定判據(jù)，若 的所有解都在 平面左邊，則原系統(tǒng)的特征根在 左邊。我們就認(rèn)為系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量 。0)(sDass10)(1sD0)(1sDas 1sa例例3-12 3-12 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)極點(diǎn)在 左邊，試確定K的取值范圍。解：解：系統(tǒng)的特征方程式為：) 14 . 005. 0()(2sssKsG1s04 . 005. 023Ksss11 ss令025. 035. 025. 005. 001) 1(4 . 0) 1(05. 01213112131

39、KsssKsssKKsKsKss05. 01 . 025. 005. 01 . 025. 025. 035. 005. 001112131系統(tǒng)滿足要求時(shí)，要求 。225. 0 K3.6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 前面所討論的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)定性是線性控制系統(tǒng)的重要特性，而控制系統(tǒng)的另一個(gè)重要特性是和系統(tǒng)的誤差有關(guān)的?？刂葡到y(tǒng)輸入量的改變不可避免的會(huì)引起動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程中的誤差，并且還會(huì)引起系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。這一誤差與許多因素有關(guān)，如傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的靜摩擦、間隙，放大器的零點(diǎn)漂移、電子元件的老化等都會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生誤差。 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)是表征系統(tǒng)控制精度的性能指標(biāo)，通常用穩(wěn)態(tài)下輸出量的期望值與實(shí)際值之間

40、的差衡量。一個(gè)符合工程要求的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差必須控制在允許的范圍之內(nèi)。例如工業(yè)加熱爐的爐溫誤差若超過其允許的限度，就會(huì)影響加工產(chǎn)品的質(zhì)量?；鹋诟櫟恼`差超過允許限度就不能用于戰(zhàn)斗等，這些都說明了穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)質(zhì)量的一個(gè)重要性能指標(biāo)。 討論穩(wěn)態(tài)誤差的前提是系統(tǒng)必須穩(wěn)定，一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不存在穩(wěn)態(tài)誤差的。 對(duì)于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，它的穩(wěn)態(tài)性能一般是根據(jù)階躍、斜坡或加速度輸入所引起的穩(wěn)態(tài)誤差來判斷的。在本節(jié)中，所研究的穩(wěn)態(tài)誤差是指由于系統(tǒng)不能很好跟蹤特定形式的輸入而引起的穩(wěn)態(tài)誤差。3.6.1 3.6.1 誤差與穩(wěn)態(tài)誤差 如圖3-22所示的一般控制系統(tǒng)，其誤差的定義通常有兩種方式。 通常將產(chǎn)生控制作用的

41、控制信號(hào)與反饋信號(hào)之差)()()(tbtrte)()()(sBsRsE（3-50）稱為系統(tǒng)的作用誤差。而將輸出響應(yīng)的期望值和實(shí)際值之差圖3-22)()()(sCsCsr（3-51）稱為系統(tǒng)誤差。 實(shí)際上式（3-50）與式（3-51）是誤差的兩種定義方法，前者是從輸入端定義的，在實(shí)際物理系統(tǒng)中，它可以測(cè)量，便于實(shí)施控制；后者是由輸出端定義的，在實(shí)際物理系統(tǒng)中有時(shí)不能測(cè)量，因而一般只具有數(shù)學(xué)意義，其物理實(shí)現(xiàn)往往是借助與前者完成的。 對(duì)于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，兩種定義方法是一致的。在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中，一般采用按輸入端定義誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是指誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)值，即：若系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為 ，則 ，若 滿足拉氏變

42、換終值定理的條件（要求系統(tǒng)穩(wěn)定，且 的所有極點(diǎn)在左半平面），可以利用終值定理來求穩(wěn)態(tài)誤差，即 )(limteetss)(sMe)()()(sRsMsEe)(sE)(sR)(lim0ssEesss（3-53）（3-52）3.6.2 系統(tǒng)類型系統(tǒng)類型 實(shí)際的控制系統(tǒng)，對(duì)于某些類型的輸入往往是允許穩(wěn)態(tài)誤差存在的。一個(gè)系統(tǒng)對(duì)于階躍輸入可能沒有穩(wěn)態(tài)誤差，但對(duì)于斜坡輸入?yún)s可能出現(xiàn)一定的穩(wěn)態(tài)誤差，而能夠消除這個(gè)誤差的一種是改變系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)。對(duì)于某一類型的系統(tǒng)，系統(tǒng)是否會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的形式。這就是下面要研究的問題。 設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：njjmiisTssKsHsG11)

43、 1() 1()()( 其中K稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益。 ，系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)， ，系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)， ，系統(tǒng)稱為型系統(tǒng)，。由于型以上的系統(tǒng)實(shí)際上很難使之穩(wěn)定，所以型以上的系統(tǒng)在控制工程中一般不太使用。注意，這種分類方法與按系統(tǒng)的階次來分類不同。當(dāng)增加類型的數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度提高，但穩(wěn)定性變差。 下面，基于系統(tǒng)的類型，研究在各種典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算。0123.6.3 單位階躍信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差單位階躍信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求：)()(11lim1)()(11lim)()()(11lim)(lim)()()(11)(0000sHsGssHsGs

44、sRsHsGsssEesRsHsGsEssssss定義系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù) )()(lim0sHsGKsp（3-54）10KKp有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為： 1001111KKepss（3-55） 上述結(jié)論表明，如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中沒有積分環(huán)節(jié)，那么它對(duì)單位輸入的響應(yīng)包含穩(wěn)態(tài)誤差，其大小與系統(tǒng)的開環(huán)增益K近似地成反比。如果要求系統(tǒng)對(duì)于階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則系統(tǒng)必須是型或高于型。3.6.4 單位斜坡信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，在單位斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差可用終值定理來求：)()(1lim1)()(11lim)()()(11lim)(lim)()()(11)(02000sHssGss

45、HsGssRsHsGsssEesRsHsGsEssssss定義系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù) )()(lim0sHssGKsv（3-56）2100KKv有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為： 201101KKevss（3-57） 由以上分析可以看出，由于0型系統(tǒng)輸出信號(hào)的速度總是小于輸入信號(hào)的速度，致使兩者之間的差距不斷增大，從而導(dǎo)致0型系統(tǒng)的輸出不能跟蹤單位斜坡信號(hào)。型系統(tǒng)能夠跟蹤單位斜坡輸入信號(hào)，但有穩(wěn)態(tài)誤差存在。在穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)的速度與輸入信號(hào)的速度相等，但存在一個(gè)位置誤差。此誤差與系統(tǒng)的開環(huán)增益成反比。型或高于型的系統(tǒng)在單位斜坡信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，故能準(zhǔn)確的跟蹤單位斜坡信號(hào)的輸入。表明型或高于型

46、的系統(tǒng)在單位斜坡信號(hào)的作用下，系統(tǒng)輸出量與輸入信號(hào)不僅速度相等，而且它們的位置也相同。3.6.5 單位加速度信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，在單位加速度信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差可用終值定理來求：)()(1lim1)()(11lim)()()(11lim)(lim)()()(11)(203000sHsGsssHsGssRsHsGsssEesRsHsGsEssssss定義系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù))()(lim20sHsGsKsa（3-58）3210KKa有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為： 302111KKeass（3-59）當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為： 時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：221021)( 1)(tRtRtRtra

47、vpssKRKRKRe2101 表3-1給出了三種類型的靜態(tài)誤差系數(shù)。注意，位置誤差、速度誤差和加速度誤差均指在輸出位置上的誤差。有限的速度誤差意味著控制系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)過程結(jié)束后，輸入和輸出以同樣的速度變化，但在位置上有一個(gè)有限的偏差。表3-1 靜態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)類型的關(guān)系pKvKaK靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 表3-2給出了0型、型及型系統(tǒng)在各種典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。由表3-2可以看出，在對(duì)角線上，穩(wěn)態(tài)誤差是一個(gè)有限值，而在對(duì)角線以上，穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大；在對(duì)角線以下，則穩(wěn)態(tài)誤差為零。表3-2 穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的類型、輸入信號(hào)的關(guān)系1)(trttr)(221)(ttr

48、pK11vK1aK1單位斜坡輸入單位加速度輸入單位階躍輸入3.6.6 3.6.6 動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法 利用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)誤差傳遞函數(shù)在的鄰域內(nèi)展開，可得 2)0(! 21)0()0()()(11)(sMsMMsHsGsMeeee )()()()()0(! 21)()0()()0()()()(22102sRscssRcsRcsRsMssRMsRMsRsMsEeeee則該級(jí)數(shù)收斂于s0的鄰域，相當(dāng)于t時(shí)成立?；蛘哒f，在t時(shí)有： )()()()(210trctrctrctess（3-60）上式即為穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算公式，需要注意，上式中的輸入信號(hào)，是指t時(shí)的表達(dá)式，在輸入信號(hào)中，那些隨時(shí)間增長而趨于0的分量應(yīng)予

49、以舍去。定義c0為動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)，c1為動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)，c2為動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)，可以用下式計(jì)算：)0(!1)(ieiMic （3-61）實(shí)際計(jì)算時(shí)，常采用長除法計(jì)算，即令：22101122102210)(scsccssasasaasbsbsbbsMnnnmme3.6.7 3.6.7 擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 對(duì)于圖3-23示系統(tǒng)，設(shè) 系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下的理想輸出應(yīng)為0，若按輸入端定義擾動(dòng)作用下的誤差：0)(tr)()()()(1)()()(212sNsHsGsGsHsGsEn若按輸出端定義誤差：)()()()(1)()(0)(212sNsHsGsGsGsCsEn（3-62）圖3-23 含有

50、擾動(dòng)作用的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖若En(s)滿足拉氏變換終值定理?xiàng)l件，可利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差:)(lim0ssEenssn（3-63）2210)()()(scsccsNsEsMnnnnen令圖3-23 含有擾動(dòng)作用的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖則可用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法求擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差： )()()()(210tnctnctnctennnsn（3-64）例例3-15 3-15 對(duì)于圖3-24示系統(tǒng)，試求，時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1()(21TssKKsG為型二階系統(tǒng)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的,在 ，穩(wěn)態(tài)誤差ttr)(21111KKKevss圖3-24 例3-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖在擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差表達(dá)式為：)() 1()() 1(1) 1()(212212sNKKTssKsNTssKKTssKsEn 時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為：系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為)( 1)(ttn1021)(limKssEensss1212111KKKeeessssss3.6.8 3.6.8 減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施 系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差包括輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差和擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差兩部分。要減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)從分別減小或消除這兩部分穩(wěn)態(tài)誤差入手。 結(jié)合例3-15，可采取以下措施：（1）增大系統(tǒng)開環(huán)增益或擾動(dòng)作用點(diǎn)之前系統(tǒng)的前向通道增益。在輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)開環(huán)增益成反比，增大系統(tǒng)開環(huán)增