數(shù)學(xué)物理方法第2章復(fù)變函數(shù)積分2016

1、12.1. 復(fù)變積分的定義、性質(zhì)復(fù)變積分的定義、性質(zhì)2.2. 柯西定理、原函數(shù)與定積分公式柯西定理、原函數(shù)與定積分公式2.3. 柯西公式柯西公式 第二章 復(fù)變函數(shù)的積分 復(fù)變函數(shù)的復(fù)變函數(shù)的積分積分是研究解析函數(shù)的重要是研究解析函數(shù)的重要工具解析函數(shù)特有的積分性質(zhì)工具解析函數(shù)特有的積分性質(zhì): 柯西定理、柯西公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、柯西定理、柯西公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、 最大模定理等最大模定理等， 它們是今后解決許多理論與實(shí)際問題的它們是今后解決許多理論與實(shí)際問題的重要基礎(chǔ)重要基礎(chǔ).22.1.1 復(fù)變函數(shù)積分的定義復(fù)變函數(shù)積分的定義 設(shè)設(shè)L為復(fù)平面上的曲線，函為復(fù)平面上的曲線，函數(shù)數(shù)f(z)在在L上有定

2、義，將曲上有定義，將曲線線L任意分成任意分成n段，段，x xk是第是第k段段zk-1，zk上的任一上的任一點(diǎn)令點(diǎn)令n，且每一段的，且每一段的長(zhǎng)度長(zhǎng)度|D Dz|0時(shí)，若和式的時(shí)，若和式的極限極限l存在，且與弧段的分法及各存在，且與弧段的分法及各x xk的選取的選取無關(guān)無關(guān)，則稱此，則稱此極限為極限為f(z)沿曲線沿曲線L的積分，記作的積分，記作3 2.1.2 復(fù)變積分的計(jì)算方法復(fù)變積分的計(jì)算方法(1) 化為兩個(gè)實(shí)變線積分計(jì)算化為兩個(gè)實(shí)變線積分計(jì)算 將將 f(z) = u+iv 及及 dz = dx+idy 代入，即有代入，即有(2) 化為參數(shù)積分計(jì)算設(shè)積分曲線化為參數(shù)積分計(jì)算設(shè)積分曲線L的參數(shù)

3、方程為的參數(shù)方程為z(t)，將將z(t)及及dz(t)z (t)dt代入式代入式(2.1.4)，可得，可得 (2.1.3)4【例例2.1.1】計(jì)算積分計(jì)算積分I= 其中曲線其中曲線L是是l(1)沿沿1+ i 到到2+4 i 的直線，見圖的直線，見圖2.2(a)；l(2)沿沿1+ i 到到2+i，再到，再到2+4 i 的折線，見圖的折線，見圖2.2(b)；l(3)沿拋物線沿拋物線x=t, y=t2，其中，其中1 t 2，見圖，見圖2.2(c)5解解 (1) 直線方程為直線方程為 先將先將 z=x+iy 代入被積表達(dá)式，代入被積表達(dá)式，隨后將隨后將 y= =3x- -2 代入，即有代入，即有6(2

4、) 在在1+i到到2+i段段 有有 y=1，dy=o；在在2+i到到2+4i段段 有有 x=2，dx=0，因而因而7 (3) 將將z=x+iy=t(1+it)及及dz(1+i2t)dt 代入，即有代入，即有 l本題沿三個(gè)不同路徑的積分值相同，但是本題沿三個(gè)不同路徑的積分值相同，但是“積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)”這個(gè)結(jié)果不是必然的這個(gè)結(jié)果不是必然的 x=t, y=t28 2.1.3 復(fù)變積分的性質(zhì)復(fù)變積分的性質(zhì)l既然復(fù)變積分可歸結(jié)為實(shí)變積分，因此，復(fù)既然復(fù)變積分可歸結(jié)為實(shí)變積分，因此，復(fù)變積分的許多性質(zhì)是實(shí)變積分的直接推廣。變積分的許多性質(zhì)是實(shí)變積分的直接推廣。對(duì)于這些性質(zhì)，我們將不加證明地?cái)?/p>

5、對(duì)于這些性質(zhì)，我們將不加證明地?cái)⑹鍪鰈(1)若曲線若曲線L依次由依次由n段線段段線段l1, l2, ln組成，則組成，則l(2)掉轉(zhuǎn)積分路徑的方向，積分變號(hào)，即掉轉(zhuǎn)積分路徑的方向，積分變號(hào)，即l 式中式中l(wèi)- -與與l重合，但方向相反重合，但方向相反 9(3) 若若f1(z)與與f2(z)沿沿L的積分存在，則的積分存在，則 上式還可推廣為有限多項(xiàng)函數(shù)和、差的情形上式還可推廣為有限多項(xiàng)函數(shù)和、差的情形(4) 被積函數(shù)中的任意復(fù)常數(shù)被積函數(shù)中的任意復(fù)常數(shù)a 可提出積分號(hào)外，可提出積分號(hào)外，即即 (2.1.10)10l證明由實(shí)變函數(shù)線積分的定義出發(fā)，并利用證明由實(shí)變函數(shù)線積分的定義出發(fā)，并利用“矢量

6、之和的長(zhǎng)度不大于矢量長(zhǎng)度之和矢量之和的長(zhǎng)度不大于矢量長(zhǎng)度之和” ，以及復(fù)變積分的定義，即有以及復(fù)變積分的定義，即有(5) 復(fù)變積分的模不大于被積函數(shù)的模沿曲線復(fù)變積分的模不大于被積函數(shù)的模沿曲線的實(shí)變線積分，即的實(shí)變線積分，即11 (6)若在曲線若在曲線 l 上上, max|f(z)|=M, 曲線曲線 l 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為l ，則，則12【2.1.2】試證明，若試證明，若z在上半平面及實(shí)軸上趨在上半平面及實(shí)軸上趨于于時(shí)時(shí), zf(z)一致地趨于零一致地趨于零(與輻角無關(guān)與輻角無關(guān))，即，即l則則f(z)沿圖沿圖2.3中無窮大半圓周中無窮大半圓周CR的積分的積分l 證明證明 式式(2.1.16)

7、中的中的積分是一個(gè)復(fù)數(shù)，只積分是一個(gè)復(fù)數(shù)，只要證明，當(dāng)要證明，當(dāng)R時(shí)這時(shí)這個(gè)復(fù)數(shù)的模為零，則個(gè)復(fù)數(shù)的模為零，則式式(2.1.16)得證得證.13根據(jù)復(fù)變積分性質(zhì)根據(jù)復(fù)變積分性質(zhì)(5)及式及式(2.1.15)，易得，易得 14【2.1.3】試證明試證明 若當(dāng)若當(dāng)(Jordan)不等式不等式l證明證明 分別作出分別作出y1=2q/p q/p 及及 y2 = sinq q 的函數(shù)的函數(shù)曲線圖曲線圖(圖圖2.4).l易見在開區(qū)間易見在開區(qū)間 (0,p p/2)中，有中，有sinq q 2q/pq/p ；l而在閉區(qū)間而在閉區(qū)間0,p p/2 的端點(diǎn)，有的端點(diǎn)，有sinq q = 2q/pq/p。15【2

8、.1.4】試證明試證明 若當(dāng)引理若當(dāng)引理：若：若z在上半平在上半平面及實(shí)軸上趨于面及實(shí)軸上趨于時(shí)，時(shí)，f(z)一致地趨于零一致地趨于零(與輻角無關(guān)與輻角無關(guān))，則，則 式中式中m0，CR是以原點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心、為圓心、R為半徑的上為半徑的上半圓周，參看圖半圓周，參看圖2.3.16證明證明 當(dāng)當(dāng)z 在在CR上時(shí)，上時(shí)，z=Reiq q，由復(fù)變積，由復(fù)變積分性質(zhì)分性質(zhì)(5)可得可得l將積分將積分(2.1.19)分為兩項(xiàng)分為兩項(xiàng): 0由由p/2p/2的積分與由的積分與由p/2p/2到到p p的積分第二項(xiàng)先作變換的積分第二項(xiàng)先作變換 q = p-jq = p-j，再用，再用q q表示表示j j，兩項(xiàng)合

9、并后利用若當(dāng)不等式，即有，兩項(xiàng)合并后利用若當(dāng)不等式，即有1718綜合式綜合式(2.1.20)和式和式(2.1.19)式，并利用題設(shè)條件式，并利用題設(shè)條件(2.1.21)l由復(fù)變積分性質(zhì)由復(fù)變積分性質(zhì)(5)導(dǎo)出的例導(dǎo)出的例2.1.2和例和例2.1.4這這兩個(gè)結(jié)論，將會(huì)啟發(fā)我們?cè)鯓佑昧魯?shù)定理計(jì)兩個(gè)結(jié)論，將會(huì)啟發(fā)我們?cè)鯓佑昧魯?shù)定理計(jì)算實(shí)變積分，見算實(shí)變積分，見4.2節(jié)節(jié)l對(duì)于解析函數(shù)的積分，還具有一些特有的性對(duì)于解析函數(shù)的積分，還具有一些特有的性質(zhì)，由質(zhì)，由2.2節(jié)、節(jié)、2.3節(jié)介紹的柯西定理、柯西公節(jié)介紹的柯西定理、柯西公式、最大模定理等反映式、最大模定理等反映2.2 解析函數(shù)的柯西定理柯西定理

10、原函數(shù)原函數(shù)與定積分公式定積分公式柯西定理：解析函數(shù)積分理論的基本定理，從 積分的角度給出解析函數(shù)在其解析 區(qū)域取值的關(guān)聯(lián)性C-R條件: 在解析點(diǎn), f(z)的實(shí)部與虛部取值的 關(guān)聯(lián)性；20 2.2.1 單通區(qū)域的柯西定理單通區(qū)域的柯西定理l定理定理 若函數(shù)若函數(shù)f(z)在單通區(qū)域在單通區(qū)域D內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則f(z)在在D內(nèi)沿任意內(nèi)沿任意閉曲線的積分為零閉曲線的積分為零l f(z)dz = 0 (2.2.1)l證明證明 這個(gè)定理的嚴(yán)格證明比較復(fù)這個(gè)定理的嚴(yán)格證明比較復(fù)雜雜, 為簡(jiǎn)單起見為簡(jiǎn)單起見, 我們?cè)谖覀冊(cè)凇癴(z)在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)” 附加條件下證明這個(gè)定附加條件下證明這個(gè)定理理l先

11、將復(fù)變積分化為兩個(gè)實(shí)變積先將復(fù)變積分化為兩個(gè)實(shí)變積分的線性疊加分的線性疊加(2.2.2)21其次其次, 考查上述兩個(gè)實(shí)變積分在什么條件下為零？考查上述兩個(gè)實(shí)變積分在什么條件下為零？ 設(shè)設(shè)l為為D內(nèi)任一閉曲線內(nèi)任一閉曲線(圖圖2.5), 若函數(shù)若函數(shù)P(x,y), Q(x,y) 以及以及 在在D內(nèi)連續(xù)，則內(nèi)連續(xù)，則格林公式格林公式成立成立l由由f(z)在在 D內(nèi)解析及內(nèi)解析及 f(z)在在D內(nèi)連續(xù)可得內(nèi)連續(xù)可得u,v 及及ux,uy,vz,vy連續(xù)，將格林公式與連續(xù)，將格林公式與C-R條件條件 代入式代入式(2.2.2)，可得，可得xvyuyvxu-=22推論推論1 若若f(z)在閉單通區(qū)域在閉

12、單通區(qū)域 中解析，則中解析，則f(z)沿沿 的邊界的邊界L的積分為零的積分為零l證明證明 按定義按定義, f(z)在包含在包含 的某個(gè)開區(qū)域的某個(gè)開區(qū)域D+內(nèi)內(nèi)解析，這樣解析，這樣 的邊界線的邊界線L就是就是D +內(nèi)部的一條內(nèi)部的一條閉曲線根據(jù)柯西定定理可知閉曲線根據(jù)柯西定定理可知, f(z)沿沿L的積分的積分為零為零 (2.2.5)23推論推論2 若若f(z)在單通區(qū)域在單通區(qū)域D內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則 l f(z)dz 與路徑無關(guān)。與路徑無關(guān)。l證明證明 設(shè)設(shè)A、B分別為兩積分分別為兩積分曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，如圖曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，如圖2.6所示所示l因?yàn)橐驗(yàn)閘1,與與l2- - (l2- -

13、與與l2重合但反重合但反向向)構(gòu)成閉曲線構(gòu)成閉曲線l，由柯西定，由柯西定理可得理可得 (2.2.6)l移項(xiàng)，利用復(fù)變積分的性質(zhì)移項(xiàng)，利用復(fù)變積分的性質(zhì)(2)，即有，即有(2.2.7)24 2.2.2 原函數(shù)與定積分公式原函數(shù)與定積分公式既然單通區(qū)域中既然單通區(qū)域中解析函數(shù)解析函數(shù)的積分與路徑無關(guān)，的積分與路徑無關(guān)，設(shè)積分路徑的起點(diǎn)為定點(diǎn)設(shè)積分路徑的起點(diǎn)為定點(diǎn)z0，終點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，終點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)z, 則則積分上限的函數(shù)積分上限的函數(shù) (2.2.8) 是單通區(qū)域內(nèi)的單值函數(shù)，現(xiàn)在證明它是是單通區(qū)域內(nèi)的單值函數(shù)，現(xiàn)在證明它是f (z)的原函數(shù)的原函數(shù)25定理定理 若若f(z)是單通區(qū)域是單通區(qū)域D內(nèi)的解析函

14、數(shù)，則內(nèi)的解析函數(shù)，則也是也是D內(nèi)的解析函數(shù)，且內(nèi)的解析函數(shù)，且l證明證明 由由 先計(jì)算先計(jì)算 F(z+ +D Dz)- -F(z)。利用。利用式式(2.2.8)及復(fù)變積分及復(fù)變積分的性質(zhì)的性質(zhì)(1)，可得，可得26l由于解析函數(shù)的積分與路徑無由于解析函數(shù)的積分與路徑無關(guān)，不妨取關(guān)，不妨取z到到z+ +D Dz的積分路的積分路徑為直線徑為直線(圖圖2.7).考慮到解析考慮到解析函數(shù)必連續(xù)，因而任給函數(shù)必連續(xù)，因而任給e e0，必存在必存在d d0，使當(dāng)，使當(dāng)|x x-z|d d,有有|f(x x)-f(z)|e e (2.2.11)l利用式利用式(2.2.10)和式和式(2.2.11)，以及復(fù)

15、變積分，以及復(fù)變積分的性質(zhì)的性質(zhì)(5)，可得，可得2728 這表明，當(dāng)這表明，當(dāng)D Dz0 0時(shí)，時(shí)， 的極限為的極限為f(z)，即，即l定理得證定理得證lf(z)的原函數(shù)不是唯一的的原函數(shù)不是唯一的(2.2.13)29f(z)的原函數(shù)不是唯一的的原函數(shù)不是唯一的 l式中式中C為任意復(fù)常數(shù)由于為任意復(fù)常數(shù)由于lG(z)也是也是f(z)的原函數(shù)的原函數(shù) 令令z=z0代入式代入式(2.2.14)，可得，可得 l將將C=G(z0)代入式代入式(2.2.14)得得30l這就是解析函數(shù)的定積分公式，它與實(shí)變這就是解析函數(shù)的定積分公式，它與實(shí)變函數(shù)中的牛頓函數(shù)中的牛頓-萊布尼茨公式具有相同的形萊布尼茨公式

16、具有相同的形式式 。l通常把通常把f(z)的原函數(shù)的集合的原函數(shù)的集合 稱稱f(z)的不定積分，式中的不定積分，式中C為復(fù)常數(shù)。為復(fù)常數(shù)。 31(2.2.8) 32 2.2.3 復(fù)通區(qū)域的柯西定理復(fù)通區(qū)域的柯西定理l定理定理 若若f(z)在閉復(fù)通區(qū)域在閉復(fù)通區(qū)域 解析，則解析，則f(z)沿所沿所有內(nèi)、外邊界線有內(nèi)、外邊界線(L=L0+ )正方向積分正方向積分之和為零之和為零 (2.2.18)l“正方向正方向”：當(dāng)沿內(nèi)、外邊：當(dāng)沿內(nèi)、外邊界線環(huán)行時(shí)，界線環(huán)行時(shí)，D保持在左保持在左邊邊換句話說，換句話說，外邊界線外邊界線取逆時(shí)針方向，內(nèi)邊界線取逆時(shí)針方向，內(nèi)邊界線取順時(shí)針方向取順時(shí)針方向33l證明

17、證明 為了應(yīng)用單通區(qū)域的柯西定理，作割線把外邊界線為了應(yīng)用單通區(qū)域的柯西定理，作割線把外邊界線L0與內(nèi)邊界線連接起來，將閉復(fù)通區(qū)域變成閉單通區(qū)域。與內(nèi)邊界線連接起來，將閉復(fù)通區(qū)域變成閉單通區(qū)域。34推論推論3 在在f(z)的解析區(qū)域中，積分回路連的解析區(qū)域中，積分回路連續(xù)變形時(shí)，其積分值不變續(xù)變形時(shí)，其積分值不變l證明證明 取變形前后的積分回路取變形前后的積分回路 作為復(fù)通區(qū)域作為復(fù)通區(qū)域 的內(nèi)外邊界的內(nèi)外邊界線，如圖線，如圖2.9所示由式所示由式(2.2.21a) 可得可得移項(xiàng)后，改變移項(xiàng)后，改變l2的積分方向，即有的積分方向，即有35【例例2.2.1】試證明試證明 (n是整數(shù)是整數(shù))l式中

18、式中a點(diǎn)在積分回路點(diǎn)在積分回路 l 之內(nèi)之內(nèi), d dnm為克羅內(nèi)克為克羅內(nèi)克(Kronecker)符號(hào)符號(hào)(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱d d符號(hào)符號(hào))，其定義為，其定義為l證明證明 (1)當(dāng)當(dāng)n0時(shí)，被積函數(shù)時(shí)，被積函數(shù)(z-a)n為解析函數(shù)，為解析函數(shù)，故故 0n036(2)當(dāng)當(dāng)n=-1n=-1，則，則a點(diǎn)為點(diǎn)為f(z)的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)l根據(jù)根據(jù)柯西定理柯西定理的推論的推論3，積分回路可連續(xù)變形為積分回路可連續(xù)變形為以以a點(diǎn)為圓心的單位圓點(diǎn)為圓心的單位圓C(圖圖2.10).在單位圓在單位圓C上上有有 37l(3)當(dāng)當(dāng)n - -1，a點(diǎn)仍為點(diǎn)仍為f(z)的奇點(diǎn)仿上可得的奇點(diǎn)仿上可得l綜合以上三式，即有綜合以上三式

19、，即有l(wèi)這個(gè)公式在計(jì)算洛朗系數(shù)這個(gè)公式在計(jì)算洛朗系數(shù)(3.4節(jié)節(jié))及證明留數(shù)定理及證明留數(shù)定理(4.2節(jié)節(jié))時(shí)均要用到時(shí)均要用到38【2.2.2】試計(jì)算試計(jì)算 其中積分回路分別其中積分回路分別(圖圖2.11) l(1) |z- -i|2；(2) |z+ +i|2；(3) |z|3.39解解 首先，將被積函數(shù)分解為部分分式首先，將被積函數(shù)分解為部分分式(利用通利用通分可以湊出來分可以湊出來) 0= 04041【例例2.2.3】若若f(z)=1/(z-a) 在在z=a的無心鄰域內(nèi)的無心鄰域內(nèi)連續(xù)，積分回路是以連續(xù)，積分回路是以a點(diǎn)為圓心的圓弧點(diǎn)為圓心的圓弧42 2.2.4 小圓弧引理與大圓弧引理小

20、圓弧引理與大圓弧引理1. 小圓弧引理小圓弧引理l若若j j(z)在在z=a的無心鄰域內(nèi)連續(xù)，在小圓弧的無心鄰域內(nèi)連續(xù)，在小圓弧l一致成立，則一致成立，則43l證明證明 根據(jù)極限的定義，式根據(jù)極限的定義，式(2.2.32)表明，任給表明，任給e e0，存在與，存在與arg(z- - a)無關(guān)的無關(guān)的d d (e e)0，使當(dāng)，使當(dāng)|z- - a|rd d 時(shí)，有時(shí)，有|(z- - a)j j (z)- - k|e e (2.2.34)l復(fù)變積分性質(zhì)復(fù)變積分性質(zhì)(5)及式及式(2.2.34)，可證，可證44由于由于e e可任意地小，可任意地小，(q q2 2-q-q1 1)為常量，式為常量，式(2

21、.2.35)表明表明可任意地小根據(jù)極限的定義，可得可任意地小根據(jù)極限的定義，可得45 2. 大圓弧引理大圓弧引理l若若j j(z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的無心鄰域內(nèi)連續(xù)，在大在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的無心鄰域內(nèi)連續(xù)，在大圓弧圓弧CR(z=Reiq q, R,q q1qqq1時(shí)時(shí), 根據(jù)根據(jù)74【例例2.3.4】已知已知y y(t,q)=exp(2tq-t2 ),求證求證l證明證明 (1) 高階導(dǎo)數(shù)公式為高階導(dǎo)數(shù)公式為l現(xiàn)在現(xiàn)在yyt,q)依賴于依賴于t與與q，故對(duì)，故對(duì)t的導(dǎo)數(shù)應(yīng)改寫為的導(dǎo)數(shù)應(yīng)改寫為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)75(2) 作變換：作變換：x x = = q- - z 注意到注意到 exp(2x xq- -x x2) =

22、 = exp2(q- -z)q- -(q- -z)2 = = exp(q2- -z2)，上式變?yōu)?，上式變?yōu)閘最后一個(gè)等式再次利用了高階導(dǎo)數(shù)公式最后一個(gè)等式再次利用了高階導(dǎo)數(shù)公式76 在第在第6章將會(huì)指出，章將會(huì)指出， 是厄米是厄米(Hermite)多項(xiàng)式多項(xiàng)式Hn(q)的生成函數(shù)的生成函數(shù)這是指把這是指把y y(t,q)對(duì)對(duì)t展成泰勒級(jí)數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)其展開系數(shù)其展開系數(shù) Hn(q)就是厄米多項(xiàng)式就是厄米多項(xiàng)式 77 2.3.3 最大模定理最大模定理l設(shè)設(shè)f(z)在在 上解析，則上解析，則|f(z)|在在的邊界的邊界L上取最大值上取最大值證明證明 關(guān)于關(guān)于f(z)n的柯西公式為的柯西公式為l設(shè)設(shè)f(x x) 在在L上的最大值為上的最大值為M，|x x-z|的最小值為的最小值為d，邊界，邊界L的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為l(圖圖2.17)，代入式，代入式(2.3.19)，則有則有7879兩邊開兩邊開n次方，得次方，得因?yàn)樯鲜綄?duì)任意因?yàn)樯鲜綄?duì)任意n均成立，令均成立，令n,考慮到考慮到 式式(2.3.2.1)即為即為 |f(z)| M (2.3.22) 這表明，對(duì)于這表明，對(duì)于D內(nèi)的任意內(nèi)的任意z點(diǎn)，其點(diǎn)，其|f(z)|不