直接證明與間接證明

1、第六節(jié) 直接證明與間接證明1.1.直接證明直接證明所要所要證明的結(jié)論成立證明的結(jié)論成立結(jié)論結(jié)論充分條件充分條件2.2.間接證明間接證明(1)(1)反證法的定義反證法的定義假設(shè)原命題不成立假設(shè)原命題不成立( (即在原命題的條件下，結(jié)論不成立即在原命題的條件下，結(jié)論不成立) )，經(jīng)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明_，從而，從而證明了證明了_的證明方法的證明方法. .假設(shè)錯(cuò)誤假設(shè)錯(cuò)誤原命題成立原命題成立(2)(2)利用反證法證題的步驟利用反證法證題的步驟假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正

2、確的推理，直到推出矛盾為止；由假設(shè)出發(fā)進(jìn)行正確的推理，直到推出矛盾為止；由矛盾斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立由矛盾斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立. .簡(jiǎn)言之，否定簡(jiǎn)言之，否定歸謬歸謬斷言斷言. .判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或或“”).”).(1)(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明綜合法是直接證明，分析法是間接證明.( ).( )(2)(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件充要條件.( ).( )(3)(3)用反證法證明結(jié)論用反證法證明結(jié)論“ab”ab

3、”時(shí)，應(yīng)假設(shè)時(shí)，應(yīng)假設(shè)“ab”.( )aBAB，只需，只需CDCbab，則，則 與與 的大小關(guān)系的大小關(guān)系是是_._.【解析】【解析】答案答案: :babxaxbxb(bx)ab(ax)x(ab)0axa(ax)aa(ax) =，bxb.axabxbaxa5.5.設(shè)設(shè)a a，b b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：(1)a+b2(1)a+b2；(2)a(2)a2 2+b+b2 22.2.其中能推出：其中能推出：“a a，b b中至少有一個(gè)大于中至少有一個(gè)大于1”1”的條件的是的條件的是_( (填上序號(hào)填上序號(hào)).).【解析】【解析】取取a=-2a=-2，b=-1b=-1，則，

4、則a a2 2+b+b2 222，從而，從而(2)(2)推不出結(jié)論推不出結(jié)論. .(1)(1)能夠推出結(jié)論，即若能夠推出結(jié)論，即若a+b2a+b2，則，則a a，b b中至少有一個(gè)大于中至少有一個(gè)大于1.1.可用反證法證明如下：假設(shè)可用反證法證明如下：假設(shè)a1a1，且，且b1b1，則，則a+b2a+b2與與a+ba+b22矛盾，因此假設(shè)不成立，即矛盾，因此假設(shè)不成立，即a a，b b中至少有一個(gè)大于中至少有一個(gè)大于1.1.答案答案: :(1) (1) 考向考向1 1 綜合法的應(yīng)用綜合法的應(yīng)用【典例【典例1 1】(2013(2013南昌模擬南昌模擬) ) 對(duì)于定義域?yàn)閷?duì)于定義域?yàn)?,10,1的函

5、數(shù)的函數(shù)f(x)f(x)，如果同時(shí)滿足以下三條：對(duì)任意的如果同時(shí)滿足以下三條：對(duì)任意的x0,1x0,1，總有，總有f(x)0f(x)0；f(1)=1f(1)=1；若；若x x1 10,x0,x2 200，x x1 1+x+x2 211都有都有f(xf(x1 1+x+x2 2)f(x)f(x1 1)+f(x)+f(x2 2) )成立，則稱函數(shù)成立，則稱函數(shù)f(x)f(x)為理想函數(shù)為理想函數(shù). .試判試判斷斷g(x)=2g(x)=2x x-1(x0,1)-1(x0,1)是否為理想函數(shù)，如果是，請(qǐng)予證明；是否為理想函數(shù)，如果是，請(qǐng)予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. .【思路點(diǎn)撥】【

6、思路點(diǎn)撥】根據(jù)理想函數(shù)的定義，分析判斷根據(jù)理想函數(shù)的定義，分析判斷g(x)g(x)是否滿足理是否滿足理想函數(shù)的三個(gè)條件即可想函數(shù)的三個(gè)條件即可. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】g(x)=2g(x)=2x x-1(x0,1)-1(x0,1)是理想函數(shù)，證明如下：是理想函數(shù)，證明如下：因?yàn)橐驗(yàn)閤0,1x0,1，所以，所以2 2x x11，2 2x x-10-10，即對(duì)任意即對(duì)任意x0,1x0,1，總有，總有g(shù)(x)0g(x)0，滿足條件，滿足條件. .g(1)=2g(1)=21 1-1=2-1=1-1=2-1=1，滿足條件，滿足條件. .當(dāng)當(dāng)x x1 10,x0,x2 20,x0,x1 1+x+x2

7、211時(shí)，時(shí)，于是于是g(xg(x1 1+x+x2 2)-g(x)-g(x1 1)+g(x)+g(x2 2)由于由于x x1 10,x0,x2 200，所以，所以于是于是g(xg(x1 1+x+x2 2)-g(x)-g(x1 1)+g(x)+g(x2 2)0,)0,因此因此g(xg(x1 1+x+x2 2)g(x)g(x1 1)+g(x)+g(x2 2),),滿足條件滿足條件，故函數(shù)故函數(shù)g(x)=2g(x)=2x x-1(x0,1)-1(x0,1)是理想函數(shù)是理想函數(shù). .1212xxxx1212g(xx )21,g(x )g(x )2121, 1212xxxx(21)(2121) 1212

8、12xxxxxx22221(21)(21). g12xx210,210 ，【互動(dòng)探究】【互動(dòng)探究】本例中條件不變，問(wèn)題變?yōu)楸纠袟l件不變，問(wèn)題變?yōu)椤叭艉瘮?shù)若函數(shù)f(x)f(x)是理是理想函數(shù)，證明想函數(shù)，證明f(0)=0”f(0)=0”，如何求證？，如何求證？【證明】【證明】令令x x1 1=x=x2 2=0=0，則滿足，則滿足x x1 10,x0,x2 20,x0,x1 1+x+x2 21,1,于是有于是有f(0+0)f(0)+f(0),f(0+0)f(0)+f(0),得得f(0)0.f(0)0.又由條件又由條件知知f(0)0,f(0)0,故必有故必有f(0)=0.f(0)=0.【拓展提升】

9、【拓展提升】綜合法證題的思路綜合法證題的思路【變式備選】【變式備選】設(shè)設(shè)a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,求證：求證：【證明】【證明】方法一：方法一：a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,又又當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，時(shí)取等號(hào)，1118.abab111ab12.ababababab2 abab1,1ab21ab,4228.1ab4方法二：方法二：a+b=1,a+b=1,故故 等號(hào)成立的條件是等號(hào)成立的條件是111abababababababbaab11abab 2b aab222248.aba b()2g1118,abab1ab.2考向考向2 2 分析法的應(yīng)用分析法的

10、應(yīng)用【典例【典例2 2】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=3f(x)=3x x-2x-2x，求證：對(duì)于任意的，求證：對(duì)于任意的x x1 1,x,x2 2RR，均有均有【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】用分析法證明，從要證明的不等式出發(fā)，將其用分析法證明，從要證明的不等式出發(fā)，將其逐步簡(jiǎn)化，直至得出明顯成立的不等式逐步簡(jiǎn)化，直至得出明顯成立的不等式. .1212f(x )f(x )xxf().22【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】要證明要證明即證明即證明因此只要證明因此只要證明即證明即證明因此只要證明因此只要證明由于由于x x1 1,x,x2 2RR時(shí)，時(shí)，由基本不等式知由基本不等式知 顯然成立，顯然成立，故原結(jié)論成立故原

11、結(jié)論成立. .1212f(x )f(x )xxf(),221212xxxx12122(32x )(32x )xx32,22 g1212xxxx2121233(xx )3(xx ),21212xxxx2333,21212xxxx3333 ,2g12xx30,30,1212xxxx33332g【拓展提升】【拓展提升】分析法證題的技巧分析法證題的技巧1.1.逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過(guò)反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件使結(jié)論成立的充分條件. .正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問(wèn)題順利獲解的關(guān)鍵的關(guān)鍵. .2.2.證明較

12、復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析證明較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過(guò)分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)( (或充分或充分) )的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法的中間結(jié)論，然后通過(guò)綜合法由條件證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證由條件證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】已知已知a0a0，求證：，求證：【證明】【證明】要證要證只要證只要證a0a0，故只要證，故只要證即即從而只要證從而只要證2211a2 a2.aa + -2211a2 a2aa ，2211a2a2.aa 222211( a2)(a2)aa ，2222221111a4 a4a22

13、 2(a) 2aaaa ，22112 a2(a)aa，只要證只要證即即 而該不等式顯然成立，而該不等式顯然成立，故原不等式成立故原不等式成立. .2222114(a)2(a2)aa ，221a2a，考向考向3 3 反證法的應(yīng)用反證法的應(yīng)用【典例【典例3 3】已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足a a1 1=, nN=, nN* *，其中其中為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù). .求證：數(shù)列求證：數(shù)列aan n 不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列. .【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】先假設(shè)數(shù)列先假設(shè)數(shù)列aan n 是等比數(shù)列，則其前是等比數(shù)列，則其前3 3項(xiàng)構(gòu)成等項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，由此推出矛盾比數(shù)列，由此推出矛盾. .n 1n2aan4

14、3 ，【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】由已知可得由已知可得 假設(shè)存假設(shè)存在實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)，使，使aan n 是等比數(shù)列，則必有是等比數(shù)列，則必有即即 于是于是可得可得9=09=0，矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即數(shù)列，矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即數(shù)列aan n 不是等比數(shù)列不是等比數(shù)列. .12324a,a3,a4.39 2213aa a，224(3)439 ()，2244494 ,99 【互動(dòng)探究】【互動(dòng)探究】本題條件不變，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)本題條件不變，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得，使得aan n 是等差數(shù)列？是等差數(shù)列？【解析】【解析】假設(shè)存在實(shí)數(shù)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，使得aan n 是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，由已知得由已知得所以

15、所以 解得解得=-18.=-18.于是于是a an n=-18+3(n-1)=3n-21,=-18+3(n-1)=3n-21,因此因此a an+1n+1=3n-18.=3n-18.代入代入 中檢驗(yàn)，成立，中檢驗(yàn)，成立，所以存在實(shí)數(shù)所以存在實(shí)數(shù)=-18=-18，使得，使得aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. .12324a,a3,a4,39 242(3)(4),39 n 1n2aan43【拓展提升】【拓展提升】適合用反證法證明的六類問(wèn)題適合用反證法證明的六類問(wèn)題適合用反證法證明的題型有：適合用反證法證明的題型有：(1)(1)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題易導(dǎo)出與已知矛盾的命題. .(2)(2)否定性命題否

16、定性命題.(3).(3)唯一性命題唯一性命題.(4).(4)至多、至少型命題至多、至少型命題. .(5)(5)一些基本定理一些基本定理.(6).(6)必然性命題等必然性命題等. .【變式備選】【變式備選】已知非零實(shí)數(shù)已知非零實(shí)數(shù)a,b,ca,b,c構(gòu)成公差不為構(gòu)成公差不為0 0的等差數(shù)列的等差數(shù)列. .求證：求證： 不能構(gòu)成等差數(shù)列不能構(gòu)成等差數(shù)列. .【證明】【證明】假設(shè)假設(shè) 能構(gòu)成等差數(shù)列，則由能構(gòu)成等差數(shù)列，則由 于是得于是得bc+ab=2acbc+ab=2ac，而由于，而由于a,b,ca,b,c構(gòu)成等差數(shù)列，即構(gòu)成等差數(shù)列，即2b=a+c2b=a+c，所以，所以(a+c)(a+c)2

17、2=4ac=4ac，即，即(a-c)(a-c)2 2=0=0，于是得，于是得a=b=ca=b=c，這與，這與a,b,ca,b,c構(gòu)成公構(gòu)成公差不為差不為0 0的等差數(shù)列矛盾的等差數(shù)列矛盾. .故假設(shè)不成立，因此故假設(shè)不成立，因此 不能不能構(gòu)成等差數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列. .1 1 1,a b c1 1 1,a b c211bac ，1 1 1,a b c【滿分指導(dǎo)】【滿分指導(dǎo)】分析法與綜合法的綜合應(yīng)用分析法與綜合法的綜合應(yīng)用【典例】【典例】(12(12分分)(2013)(2013長(zhǎng)沙模擬長(zhǎng)沙模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ln(x+2)f(x)=ln(x+2)，a,b,ca,b,c是兩兩不相等的

18、正實(shí)數(shù)，且是兩兩不相等的正實(shí)數(shù)，且a,b,ca,b,c成等比數(shù)列，試判斷成等比數(shù)列，試判斷f(a)+f(c)f(a)+f(c)與與2f(b)2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論. .【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】f(a)+f(c)2f(b)f(a)+f(c)2f(b). 2. 2分分證明如下：因?yàn)樽C明如下：因?yàn)閍,b,ca,b,c是兩兩不相等的正實(shí)數(shù)，是兩兩不相等的正實(shí)數(shù)，所以由所以由 44分分又因?yàn)橛忠驗(yàn)閍,b,ca,b,c成等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，所以b b2 2=ac,=ac,于是于是 66分分88分分a .c2 ac基基本本不不等等式式可可

19、得得ac2 ac2b.f(a)f(c)ln(a2)(c2)而22f(b)2ln(b2)ln(b4b4),lnac2(ac)4,由于由于ac+2(a+c)+4=bac+2(a+c)+4=b2 2+2(a+c)+4b+2(a+c)+4b2 2+4b+4,+4b+4,且函數(shù)且函數(shù)f(x)=ln(x+2)f(x)=ln(x+2)是單調(diào)遞增函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，1010分分因此因此lnac+2(a+c)+4ln(blnac+2(a+c)+4ln(b2 2+4b+4),+4b+4),故故f(a)+f(c)2f(b).12f(a)+f(c)2f(b).12分分【失分警示】【失分警示】( (下文下文見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)

20、程見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程) )1.(20131.(2013上海模擬上海模擬)“ ”)“ ”是是“對(duì)任意正數(shù)對(duì)任意正數(shù)x,x,均有均有 ” ”的的( )( )(A)(A)充分不必要條件充分不必要條件 (B)(B)必要不充分條件必要不充分條件(C)(C)充要條件充要條件 (D)(D)既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析】【解析】選選A.A.當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)，時(shí)， 令令 解得解得 因此因此當(dāng)當(dāng) 時(shí)，必有時(shí)，必有“對(duì)任意正數(shù)對(duì)任意正數(shù)x,x,均有均有 ” ”，反之不成立，反之不成立，所以是充分不必要條件所以是充分不必要條件. .1a4ax1xax2 ax，2 a11a,41a4ax1x2.(20132.(2013濰坊模擬濰坊模擬) )用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論“自然數(shù)自然數(shù)a a，b b，c c中恰有一個(gè)偶數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是正確的反設(shè)是( )( )(A)(A)自然數(shù)自然數(shù)a a，b b，c c中至少有兩個(gè)偶數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù)(B)(B)自然數(shù)自然數(shù)a a，b b，c c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)(C)(C)自然數(shù)自然數(shù)a a，b b，c c都是奇數(shù)