浙江--等比數(shù)列的前n項和

1、等比數(shù)列的前 n 項和（第一課時）浙江省義烏中學(xué) 吳紅琳教材：人民教育出版社全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第一冊（上）一、教材分析從教材的編寫順序上來看，等比數(shù)列的前 n 項和是第三章“數(shù)列”第五節(jié)的內(nèi)容，一方 面它是“等差數(shù)列的前 n 項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識也有 著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進一步學(xué)習(xí)“數(shù)列的極限”等內(nèi)容作準(zhǔn)備 .就知識的應(yīng)用價值上來看，它是從大量數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在 公式推導(dǎo)中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法如分類討論等在各種數(shù)列求和問題中有著廣泛的應(yīng)用；另 外它在如“分期付款”等實際問題的計算中也經(jīng)常涉及到 .就內(nèi)容的人文價

2、值上來看， 等比數(shù)列的前 n 項和公式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、 分析、 歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神 , 是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好 載體教師教學(xué)用書安排“等比數(shù)列的前 n 項和”這部分內(nèi)容授課時間 2 課時，本節(jié)課作為第 一課時，重在研究等比數(shù)列的前 n 項和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用，教學(xué)中注重公式的形成推導(dǎo) 過程并充分揭示公式的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在聯(lián)系 .二、教學(xué)目標(biāo) 依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和年齡特點，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下： 知識與技能目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前 n 項和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前 n 項和 公式并能運用公式解決一些簡單問題過程與方法目標(biāo)：

3、通過公式的推導(dǎo)過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決 問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想 及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)情感與態(tài)度目標(biāo)：通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇 于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱 美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美三、教學(xué)重點和難點 重點：等比數(shù)列的前 n 項和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用從教材體系來看，它為后繼學(xué)習(xí) 提供了知識基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用；從知識特點而言，蘊涵豐富的思想方法；就能力培 養(yǎng)來看，通過公式推導(dǎo)教學(xué)可培養(yǎng)學(xué)生的運用數(shù)學(xué)語言交流表達的能

4、力 .突出重點方法：“抓三線、突重點”，即 （一） 知識技能線：問題情境公式推導(dǎo)公式 運用；（二）過程與方法線 : 特殊到一般、猜想歸納 錯位相減法等轉(zhuǎn)化、 方程思想；（三） 能力線：觀察能力數(shù)學(xué)思想解決問題能力靈活運用能力及嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度 .難點：等比數(shù)列的前 n項和公式的推導(dǎo)從學(xué)生認(rèn)知水平來看，學(xué)生的探究能力和用數(shù) 學(xué)語言交流的能力還有待提高 . 從知識本身特點來看，等比數(shù)列前 n項和公式的推導(dǎo)方法和等 差數(shù)列的的前 n項和公式的推導(dǎo)方法可比性低，無法用類比的方法進行，它需要對等比數(shù)列的 概念和性質(zhì)能充分理解并融會貫通，而知識的整合對學(xué)生來說恰又是比較困難的，而且錯位 相減法是第一次碰到，對學(xué)生

5、來說是個新鮮事物 .突破難點手段：“抓兩點，破難點”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點，激發(fā)他們的興趣， 鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進；二抓知識選擇的切入點， 從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識特點入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo) .四、教學(xué)方法 利用計算機和實物投影等輔助教學(xué)，采用啟發(fā)和探究 -建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式 .五、教學(xué)過程教學(xué)過程設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè) 情 境【漫畫演示】 話說豬八戒自西天取經(jīng)回到了高老莊，從高員外手里接 下了高老莊集團，搖身變成了 CEO可好景不長，便因資金 周轉(zhuǎn)不靈而陷入了窘境，急需大量資金投入，于是就找孫悟 空幫忙悟空一口答應(yīng)： “行

6、！我每天投資 100萬元，連續(xù)一 個月( 30天)，但是有一個條件是：作為回報，從投資的第 一天起你必須返還給我 1元，第二天返還 2元，第三天返還 4 元即后一天返還數(shù)為前一天的 2倍”八戒聽了，心里打 起了小算盤： “第一天：支出 1元，收入 100萬；第二天：支 出 2元，收入 100萬，第三天：支出 4 元，收入 100萬元； 哇，發(fā)財了 ”心 里越想越美再看看悟空的表情，心 里又嘀咕了： “這猴子老是欺負(fù)我，會不會又在耍我？ ”【教師提問】 (1)假如你是高老莊集團企劃部的高參，請你幫八戒分析 一下，按照悟空的投資方式， 30天后，八戒能吸納多少投資？ 又該返還給悟空多少錢？(2)

7、S30 1 2 22 23229 (觀察數(shù)字特征，引出課題)依托市場經(jīng) 濟背景，運 用學(xué)生熟悉 的人物編擬 故事，以趣 引思,激發(fā) 學(xué)生學(xué)習(xí)熱 情.探1.學(xué)生自主探究： S30 1 2 22 232292.解決情境問題3.師生共同探討一般等比數(shù)列前 n項和：Sn a1 a2 a3an 1 an ?即 Sn a1 a1q a1q2a1qn 2 a1qn 1 ?方法 1：錯位相減法領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng) 用價值從特殊到一 般, 從模仿 到創(chuàng)新，有 利于學(xué)生的 知識遷移和辨析 質(zhì) 疑Sna1 a1q a1qa1qa1q23n 1 nqSna1qa1qa1qa1qa1q(1q)Sna1na1qa1(1n q)q1

8、Sn1qna1q1方法 2：提取公比q2n 2 n 1Sna1a1q a1qa1qa1qa1q(a1a1qn2 a1q )2 n 2 n 1n1a1 q( Sn a1q )(1 q)Sn a1 a1qn方法 3：利用等比定理 a2 a3 a4 a1 a2 a3 a2 a3ana1 a2an 1an q an 1Sn a1q (1 q)Sn a1 anq Sn an1口答：在公比為 q的等比數(shù)列 an 中(2)若 a11,q 1，則 Sn 2判斷是非： 1 248( 2)n 11 (1 2n)12 1 222 232n1 (1 2n)12若 c0且c1，則2 2 n2462nc21 (c2)nc

9、ccc21c(1)若a1 2,q 1，則 Sn 1 3 33對公式的再認(rèn)識(1)、對公比 q 的分類討論(2)、公式中 n 的理解例 1已知an 是等比數(shù)列，請完成下表：題號a1qnanSn(1)12128(2)27238(3)29663能力提高通過學(xué)生個 別學(xué)習(xí)，互 相討論，揭 示知識的內(nèi) 在聯(lián)系 . 通 過生生、師 生間的探 討、合作， 培養(yǎng)學(xué)生的 洞察力增 強學(xué)生思維 的嚴(yán)謹(jǐn)性. 通過實物展 示學(xué)生解決 問題的方 法，破除思 維定勢.剖析公式中 的基本量及 結(jié)構(gòu)特征， 識記公式 .熟練公式運 用，著重強 調(diào)公式的選 擇.提高例 2求等比數(shù)列 1 ,1,1, 1 , 的第 5 項到第 10

10、項的和2 4 8 16方法 1： 觀察、發(fā)現(xiàn)： a5 a6a10 S10 S4 方法 2： 此等比數(shù)列的連續(xù)項從第 5 項到第 10 項構(gòu)成 一個新的等比數(shù)列：首項為a5 16 ，公比為q 2 ，項數(shù)為 n 6 變式1：求11,21,31,41,5 1 的前n項和2 4 8 16 32 變式2：求1,2,3, 4, 5 的前 n項和(留作思考)2 4 8 16 32本例由書中 的例題改編 而成，一題 多解及變 式, 有利于 提高思維的 靈活性和梯 度.反思 拓 廣(一)小結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生從知識、思想、方法三個方面進行總結(jié)(二)思考“神舟六號 ”發(fā)射成功，某移動公司立即發(fā)出短信： “請你 把中國神六

11、發(fā)射成功的消息轉(zhuǎn)發(fā)給 10 位朋友，并且注明您是 第 x 位接收此消息的 ”假定這家公司發(fā)出的 10 條短信中 的 x 值均為 1 ，以后每一位收到短信后將 x 值都增加 1，再將 短信發(fā)出據(jù)統(tǒng)計，所發(fā)短信中 x 的最大值為 10試問通過 這家公司最多發(fā)了多少條短信？從知識的歸 納進一步延 伸到思想方 法提煉，把 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí) 作為提高學(xué) 生數(shù)學(xué)素養(yǎng) 和文化水平 的有效途 徑.作業(yè) 布 置(1)書面作業(yè)： 必做題：課本 P129 練習(xí) 3(1) 習(xí)題 3.5 1 選做題：畫一個邊長為 2cm的正方形 , 再將這 個正方形各邊的中點相連得到第 2個正方形 , 依此類推 ,這樣一共畫了 10個正方形

12、, 求這 10 個正方形的面積的和(2)研究性作業(yè)：查閱 “芝諾悖論 ”并,從數(shù)列求和的角度加 以解釋(參考網(wǎng)站 : /x2/042.htm)布置彈性作 業(yè)以使各個 層次的學(xué)生 都有所發(fā) 展. 提供參 考網(wǎng)站，便 于學(xué)生開展 自主學(xué)習(xí).六、教學(xué)設(shè)計說明 1情境設(shè)置生活化 .本著新課程的教學(xué)理念，考慮到高一學(xué)生的心理特點以及初、高中教學(xué)的銜接，讓學(xué)生 學(xué)生初步了解“數(shù)學(xué)來源于生活” ， 采用動漫故事的形式創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造和諧、積 極的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的探究欲 .2問題探究活動化 教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時間、說的機會以及展示思維過程 的舞臺，通過他們自主學(xué)習(xí)、合作探

13、究 , 展示學(xué)生解決問題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅 . 通過師生之間不斷合作和交流， 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達能 力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性 .3辨析質(zhì)疑結(jié)構(gòu)化在理解公式的基礎(chǔ)上 , 及時進行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習(xí) .通過 總結(jié)、辨析和反思，強化了公式的結(jié)構(gòu)特征，促進學(xué)生主動建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識模塊， 優(yōu)化知識體系 .4鞏固提高梯度化例 1 采用表格形式 , 突出表現(xiàn)五個基本量“知三求二”的關(guān)系，通過公式的正用和逆用進 一步提高學(xué)生運用知識的能力； 例 2 由教科書中的例題改編而成， 并進行適當(dāng)?shù)淖兪?, 可以提 高學(xué)生的模式識別的能力，培養(yǎng)學(xué)生思