【精品推薦】球面幾何 選修3-3 球典型例題

1、典型例題一例1已知地球的半徑為，球面上兩點都在北緯45圈上，它們的球面距離為，點在東經(jīng)30上，求點的位置及兩點所在其緯線圈上所對應(yīng)的劣弧的長度分析：求點的位置，如圖就是求的大小，只需求出弦的長度對于應(yīng)把它放在中求解，根據(jù)球面距離概念計算即可解：如圖，設(shè)球心為，北緯45圈的中心為，由兩點的球面距離為，所以=，為等邊三角形于是由，即=又點在東經(jīng)30上，故的位置在東經(jīng)120，北緯45或者西經(jīng)60，北緯45 兩點在其緯線圈上所對應(yīng)的劣弧說明：此題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，及利用球的截面的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)設(shè)計計算方案典型例題二例2用兩個平行平面去截半徑為的球面，兩個截面圓的半徑為，兩截面間的距離

2、為，求球的表面積分析：此類題目的求解是首先做出截面圖，再根據(jù)條件和截面性質(zhì)做出與球的半徑有關(guān)的三角形等圖形，利用方程思想計算可得解：設(shè)垂直于截面的大圓面交兩截面圓于，上述大圓的垂直于的直徑交于，如圖2設(shè)，則，解得說明：通過此類題目，明確球的有關(guān)計算問題需先將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進一步熟悉有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識，熟練使用方程思想，合理設(shè)元，列式，求解典型例題三例3自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值分析：此題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)解：以為從一個頂點出發(fā)的三條棱，將三棱錐補成一個

3、長方體，則另外四個頂點必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑=說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中體積計算典型例題四例4試比較等體積的球與正方體的表面積的大小分析：首先抓好球與正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，它們的體積均為，則由，由得，即說明：突出相關(guān)的面積與體積公式的準(zhǔn)確使用，注意比較大小時運算上的設(shè)計典型例題五圖1例5如圖1所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最小分析：此題的關(guān)鍵在于作

4、截面，一個球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面 ，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長間的關(guān)系即可解：如圖2，球心和在上，過，分別作的垂線交于圖2則由得，（1）設(shè)兩球體積之和為，則 =當(dāng)時，有最小值當(dāng)時，體積之和有最小值典型例題六例6設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個球半徑為正四面體的中心到各面的距離，

5、第二個球的半徑為正四面體中心到頂點的距離設(shè)，正四面體的一個面的面積為依題意得，又即所以說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑典型例題七例7把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和2解：由題意，四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點，則正四面體的高而第四個球的

6、最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1，故第四個球的最高點與桌面的距離為說明：此類型題目對培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，并根據(jù)題意構(gòu)造熟悉幾何體都非常有幫助，且還可以適當(dāng)增加一點實際背景，加強應(yīng)用意識典型例題八例8過球面上兩點作球的大圓，可能的個數(shù)是（）A有且只有一個B一個或無窮多個C無數(shù)個D以上均不正確分析：對球面上兩點及球心這三點的位置關(guān)系進行討論當(dāng)三點不共線時，可以作一個大圓；當(dāng)三點共線時，可作無數(shù)個大圓，故選B答案：B說明：解此易選出錯誤判斷A其原因是忽視球心的位置典型例題九例9球面上有3個點，其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個點的小圓的周長為，那么

7、這個球的半徑為（）ABCD分析：利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識求解設(shè)球的半徑為，小圓的半徑為，則，如圖所示，設(shè)三點、，為球心，又，是等邊三角形，同樣，、都是等邊三角形，得為等邊三角形，邊長等于球半徑為的外接圓半徑，答案：B說明：本題是近年來球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規(guī)的與多面體綜合外，還考查了球面距離，幾乎涵蓋了球這部分所有的主要知識點，是一道不可多得的好題典型例題十例10半徑為的球內(nèi)接一個各棱長都相等的四棱錐求該四棱錐的體積分析：四棱錐的體積由它的底面積和高確定，只需找到底面、高與球半徑的關(guān)系即可，解決這個問題的關(guān)鍵是如何選取截面，如圖所示解：棱錐底面各邊相等，底面是菱

8、形棱錐側(cè)棱都相等，側(cè)棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓底面是正方形，且頂點在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐過該棱錐對角面作截面，設(shè)棱長為，則底面對角線，故截面是等腰直角三角形又因為是球的大圓的內(nèi)接三角形，所以，即高，體積說明：在作四棱錐的截面時，容易誤認(rèn)為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對稱截面（過棱錐頂點，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個腰長為斜高、底為底面邊長的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內(nèi)接三角形可見，解決有關(guān)幾何體接切的問題，如何選取截面是個關(guān)鍵解決此類問題的方法通常是先確定多面體的棱長（或高或某個截面內(nèi)的元素）與球半徑的關(guān)系，再進一步求解典型例

9、題十一例11在球面上有四個點、，如果、兩兩互相垂直，且求這個球的表面積分析：，因而求球的表面關(guān)鍵在于求出球的半徑解：設(shè)過、三點的球的截面半徑為，球心到該圓面的距離為，則由題意知、四點不共面，因而是以這四個點為頂點的三棱錐（如圖所示）的外接圓是球的截面圓由、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又，所以也是的外心，所以為等邊三角形，且邊長為，是其中心，從而也是截面圓的圓心據(jù)球的截面的性質(zhì)，有垂直于所在平面，因此、共線，三棱錐是高為的球內(nèi)接正三棱錐，從而由已知得，所以，可求得，說明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓臺切接問題，一般作其軸截面；涉及到球與棱柱、棱錐、棱臺的切接問題，一般過球心及多面體中特殊點或線

10、作截面，把空間問題化為平面問題，進而利用平面幾何的知識尋找?guī)缀误w元素間的關(guān)系典型例題十二例12已知棱長為3的正四面體，、是棱、上的點，且，求四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑分析：可用何種法求內(nèi)切球半徑，把分成4個小體積(如圖)解：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，球心，外接球半徑，球心，連結(jié)、，則四面體各面的面積為，各邊邊長分別為，如圖，是直角三角形，其個心是斜邊的中點設(shè)中心為，連結(jié)，過作平面的垂線，必在此垂線上，連結(jié)、，在直角梯形中，又，解得：綜上，四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為說明：求四面體外接半徑的關(guān)鍵是確定其球心對此多數(shù)同學(xué)束手無策，而這主要是因本題圖形的背景較復(fù)雜若把該四面體單獨移出，則不參發(fā)

11、現(xiàn)其球心在過各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內(nèi)部本題在求四面體內(nèi)切球半徑時，將該四面體分割為以球心為頂點，各面為底面的四個三棱錐，通過其體積關(guān)系求得半徑這樣分割的思想方法應(yīng)給予重視典型例題十三例13一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為的鐵球，這時水面恰好和球面相切問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺)的體積等于球的體積，列式求解解：如圖，作軸截面，設(shè)球未取出時，水面高，球取出后，水面高，則以為底面直徑的圓錐容積為，球取

12、出后，水面下降到，水的體積為又，則，解得答：球取出后，圓錐內(nèi)水平面高為說明：抓住水的何種不變這個關(guān)鍵，本題迅速獲解典型例題十四例14 球面上有三點、組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點，其中，、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑解：，是以為斜邊的直角三角形的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，得球的表面積為說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個量求第三個量，也可能

13、是抓三個量之間的其它關(guān)系，求三個量例如，過球表面上一點引三條長度相等的弦、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度由條件可抓住是正四面體，、為球上四點，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過點、的截面圓半徑，所以得典型例題十五例15、是半徑為的球的球面上兩點，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？分析：、是球面上兩點，球面距離為，轉(zhuǎn)化為球心角，從而，由關(guān)系式，越小，越大，是過、的球的截面圓的半徑，所以為圓的直徑，最小解：球面上、兩點的球面的距離為，當(dāng)成為圓的直徑時，取最小值，此時，取最大值，即球心與過、的截面圓距離最大值為說明：利用關(guān)系式不僅可以知二求一，而且可以

14、借此分析截面的半徑與球心到截面的距離之間的變化規(guī)律此外本題還涉及到球面距離的使用，球面距離直接與兩點的球心角有關(guān)，而球心角又直接與長度發(fā)生聯(lián)系，這是使用或者求球面距離的一條基本線索，繼續(xù)看下面的例子典型例題十六例16正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切求球的表面積與體積分析：球與正三棱錐四個面相切，實際上，球是正三棱錐的內(nèi)切球，球心到正三棱錐的四個面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，而點面距離?？梢杂玫润w積法解決解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑是正三棱錐的高，即是邊中點，在上，的邊長為，可以得到由等體

15、積法，得：，說明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點，本題利用球心到正三棱錐四個面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法比如：四個半徑為的球兩兩外切，其中三個放在桌面上，第四個球放在這三個球之上，則第四個球離開桌面的高度為多少？這里，四個球的球心這間的距離都是，四個球心構(gòu)成一個棱長為的正四面體，可以計算正四面體的高為，從而上面球離開桌面的高度為典型例題十七例17求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；，典型例題十八例18正三棱錐的側(cè)棱長為，兩側(cè)棱的夾角為，求它的外接球的體積分析：求球半徑，是解本題的關(guān)鍵解：如圖，作底面于，則為正的中心底面，、三點共線，設(shè)，作于，在中，又，在中，說明：解決與