第二型曲線積分PPT學習教案

1、會計學1第二型曲線積分第二型曲線積分,0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段如果當各小弧段上任意取定的點上任意取定的點為為點點設設個有向小弧段個有向小弧段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)向光滑曲線弧向光滑曲線弧的一條有的一條有到點到點面內從點面內從點為為設設 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定義定義第1頁/共24頁.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdx

2、yxPxLyxPxP 記作記作或稱第二類曲線積分）或稱第二類曲線積分）積分積分的曲線的曲線上對坐標上對坐標在有向曲線弧在有向曲線弧數(shù)數(shù)則稱此極限為函則稱此極限為函的極限存在的極限存在類似地定義類似地定義.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被積函數(shù)叫做被積函數(shù)其中其中yxQyxP.叫積分弧段叫積分弧段L第2頁/共24頁( , ),( , )2,.P x yQ x yL當當在在光光滑滑曲曲線線弧弧上上連連續(xù)續(xù)時時 第第二二類類曲曲線線積積在在條條件件：分分存存在在存存3.組合形式組合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,j

3、dyidxdsjQiPF 其中其中. LdsF第3頁/共24頁4.4.推廣推廣 空間有向曲線弧空間有向曲線弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 第4頁/共24頁5.5.性質性質.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL則則和和分成分成如果把如果把則則有向曲線弧有向曲線弧方向相反的方向相反的是與是與是有向曲線弧是有向曲線弧設設,)2(LLL 即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關. LLdyyx

4、QdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(第5頁/共24頁,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在則曲線積分則曲線積分且且續(xù)導數(shù)續(xù)導數(shù)一階連一階連為端點的閉區(qū)間上具有為端點的閉區(qū)間上具有及及在以在以運動到終點運動到終點沿沿的起點的起點從從點點時時到到變變單調地由單調地由當參數(shù)當參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為續(xù)續(xù)上有定義且連上有定義且連在曲線弧在曲線弧設設 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且第6頁/共24

5、頁證證 LdxyxP),(),(iiP ix ni 10lim ni 10lim ),(iP )(i iit )( ),(tP )(t dtt)( ),(tP )(t )(td 第7頁/共24頁特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，終點為，終點為起點為起點為 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 則則.)(:)2(dcyyxxL，終點為，終點為起點為起點為 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 則則注注:第二型曲線積分與曲線給定的方向有關第二型曲線積分與曲線給定的方向有關,在化為在化為關于參數(shù)的定積分時關于參數(shù)的定積分時,定積分的下限和上

6、限應分別定積分的下限和上限應分別對應于曲線的起點和終點對應于曲線的起點和終點,即即:下限不一定小于上限下限不一定小于上限.第8頁/共24頁例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上從上從為拋物線為拋物線其中其中計算計算BAxyLxydxL 解解的定積分，的定積分，化為對化為對x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B第9頁/共24頁(2)y化化為為對對 的的定定積積分分，,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到從從 y 1142dyy.54 xy

7、 2)1, 1( A)1 , 1(B第10頁/共24頁.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直線段的直線段軸到點軸到點沿沿從點從點的上半圓周的上半圓周針方向繞行針方向繞行、圓心為原點、按逆時、圓心為原點、按逆時半徑為半徑為為為其中其中計算計算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，變到變到從從 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 第11頁/共24頁)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，變到變到從從aax aadx0原式原式. 0 問題問題：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但：被積函數(shù)相同，起點和

8、終點也相同，但路徑不同積分結果不同路徑不同積分結果不同. 03a)(cos)cos1(2 d 第12頁/共24頁例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依次是點依次是點，這里，這里有向折線有向折線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線的一段弧的一段弧到到上從上從拋物線拋物線為為其中其中計算計算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的積分的積分化為對化為對 x, 10,:2變到變到從從xxyL 1022)22(dxxxxx原式原式

9、1034dxx. 1 第13頁/共24頁) 0 , 1 (A)1,1(B2yx .)2(的積分的積分化為對化為對 y,10,:2變到變到從從yyxL 1042)22(dyyyyy原式原式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式第14頁/共24頁,上上在在 OA,10, 0變到變到從從xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1變到變到從從yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1,1(B問題問題：被積函數(shù)相同，起點和

10、終點也相同，但：被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同而積分結果相同路徑不同而積分結果相同.第15頁/共24頁.,)()()(:)3( 終點終點起點起點推廣推廣ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 第16頁/共24頁例例計算計算 dxx3dyzy23 dzxy2 : 沿直線沿直線)1 , 2 , 3(A)0 , 0 , 0(B解解s)1 , 2 , 3( 3x: 2y z t tx3ty2 tz :t10 dxx3dyzy23 dzxy2 01327ttd3t3 24t td2t3 24t dt48

11、7 第17頁/共24頁 解: ydzdydx例例 求求 其中其中 為有向閉折線為有向閉折線ABCA A B C依次為點依次為點(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1). AB BC CA 其中其中 AB x x y 1 x z 0 x從從1變到變到0 BC x 0 y 1 z z z z從從0變到變到1 CA x x y 0 z 1 x x從從0變到變到1 故故 ydzdydxydzdydxydzdydxydzdydxCABCAB0111001(1) (1)(1)xdxzz dzdx21第18頁/共24頁 解： 例例 計算計算 其中其中L為圓周為圓周(x a)2 y2 a2(a 0)及及

12、x軸所軸所圍圍成的在第一象限內的區(qū)域的整個邊界成的在第一象限內的區(qū)域的整個邊界(按逆時針方向繞行按逆時針方向繞行). LxydxLL1L2 其中其中 L1 xaacos t yasin t t從從0變到變到 L2 xx y0 x從從0變到變到2a 因此因此 21LLLxydxxydxxydxadxdttaatata2000)cos(sin)cos1 (3020232)sinsinsin(attdtdta第19頁/共24頁曲線的切向量是曲線的切向量是 ,x ty tz t,drdx dy dz ,x ty tz tdt也是切向量也是切向量,且其方向與積分路徑的方向一致且其方向與積分路徑的方向一致

13、,又又 的模正好是弧的模正好是弧微分微分dr,ds222.drdxdydzds的方向余弦是的方向余弦是drcos ,cos,coscos ,cos,cos,drdx dy dzdrds ds ds第一型與第二型第一型與第二型曲線積分之間的曲線積分之間的關系關系: :),(),(),(:tzztyytxxLt 設設第20頁/共24頁:L空間曲線 上的兩類曲線積分之間有如下聯(lián)系( coscoscos )LLPdx QdyRdzPQRds, , , ,x y zx y zx y z其中.處的切向量的方向角cos,cos,cos.dxdsdydsdzds , ,x y z在點L為有向曲線弧第21頁/共24頁( ),( )xtLyt 平平面面曲曲線線弧弧為為 ：,),( 為為處的切線向量的方向角處的切線向量的方向角上點