2_采樣系統(tǒng)復(fù)習(xí)_傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換

1、1傅里葉級(jí)數(shù)與變換傅里葉級(jí)數(shù)與變換內(nèi)容提要內(nèi)容提要傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換和傅里葉變換的性質(zhì)周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜分析周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜分析卷積和卷積定理卷積和卷積定理抽樣信號(hào)的傅里葉變換和抽樣定理抽樣信號(hào)的傅里葉變換和抽樣定理2傅里葉生平傅里葉生平 1768年生于法國(guó)年生于法國(guó) 1807年提出年提出“任何周任何周期信號(hào)都可用正弦函期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示數(shù)級(jí)數(shù)表示” 1829年狄里赫利第一年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件個(gè)給出收斂條件 拉格朗日反對(duì)發(fā)表拉格朗日反對(duì)發(fā)表 1822年首次發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱的分析

2、理論熱的分析理論” 一書中一書中3傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn) “周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和弦信號(hào)的加權(quán)和”傅里葉的第傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)一個(gè)主要論點(diǎn) “非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示權(quán)積分表示”傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)4 頻域分析：傅里葉變換，自變量頻域分析：傅里葉變換，自變量為為 j 復(fù)頻域分析：拉氏變換復(fù)頻域分析：拉氏變換, 自變量為自變量為 S = +j Z域分析：域分析：Z 變換，自變量為變換，自變量為z TjsTeez)(一 變換域分析5 周期信號(hào)可展開成正

3、交函數(shù)線性組合的周期信號(hào)可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級(jí)數(shù)：無窮級(jí)數(shù)：. 三角函數(shù)式的三角函數(shù)式的 傅立里葉級(jí)數(shù)傅立里葉級(jí)數(shù) cosn 1t, sinn 1t. 復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù) e j n 1t 二二 周期信號(hào)的頻譜分析周期信號(hào)的頻譜分析61 三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù): 112T)sincos()(11101tnbtnaatfnnn直流分量基波分量n =1 諧波分量n11n7100).(110TttdttfTa100.cos).(211TttndttntfTadttntfTbTttn.sin).(210011直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量

4、系數(shù)8狄利赫利條件：狄利赫利條件： 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)； 在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)； 在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即 一般周期信號(hào)都滿足這些條件一般周期信號(hào)都滿足這些條件. 010( ).tTtf t dt 9三角函數(shù)是正交函數(shù))3 . 3()()(0sinsin001211nmnmtdtmtnTttT) 3 . 3()()(0coscos001211nmnmtdtmtnTttT10周期信號(hào)的另一種三角函數(shù)正交集表示011( )()nnnf tCC COS nt)sin(.)(110nnntnddt

5、f11比較幾種系數(shù)的關(guān)系000dCa22nnnnbadCnnnbatgnnnbtga cossinnnnnnaCdsincosnnnnnbCd 12 周期函數(shù)的頻譜：周期函數(shù)的頻譜： 周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的頻移， Cn 11n)(n11n132 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù) 由前知 由歐拉公式 其中)sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenFtf1)()(1)(21)(1nnjbanF)(21)(1nnjbanF0)0(aF引入了負(fù)頻率14指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)nFnF)(11001)(11Ttt

6、tjnndtetfTF0000adcF)(21nnjnnjbaeFFn)(21nnjnnjbaeFFn兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系15周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖nnFnF1111n1n1n00016兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系22212121nnnnnnbadcFFnnncFFnnnaFFnnnbFFj)(nnnnnnFFbadc42222173 周期信號(hào)的功率特性 P為周期信號(hào)的平均功率 符合帕斯瓦爾定理100).(1)(212TttdttfTtfP12nnFP184 對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)三種對(duì)稱： 偶函數(shù) ：f (t )=f (-t) 奇函數(shù) ：f (t )= - f (-t) 奇諧函數(shù) ：半周期

7、對(duì)稱 任意周期函數(shù)有： 偶函數(shù)項(xiàng) 奇函數(shù)項(xiàng))2()(1nTtftf)sincos()(11101tnbtnaatfnnn19周期偶函數(shù)只含直流和 其中a是實(shí)數(shù) bn=0 Fn是實(shí)數(shù)tnaatfnn110cos)(tnan1cos100.cos)(411TttndttntfTa2nnnaFFtjnnenFtf1)()(120例如:周期三角函數(shù)是偶函數(shù).)5cos2513cos91(cos42)(1112tttEEtfEf(t)T1/2-T1/2t21周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng)tnbtfnn11sin)(1011.sin).(4TndttntfTb000naaFn為虛數(shù)2nnnbFFj 22例如周期鋸齒

8、波是奇函數(shù).)3sin312sin21(sin)(111tttEtfE/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t023奇諧函數(shù) ：)2()(1Ttftfl沿時(shí)間軸移半個(gè)周期；l 反轉(zhuǎn)；l 波形不變；l半周期對(duì)稱24奇諧函數(shù) 的波形： f(t)T1/2-T1/20t25奇諧函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0dtttfTaT.cos)(4201111dtttfTbT.sin)(4201111a20 , b202nnnjbaF26例：利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次諧波的余弦分量周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)，只含基波和奇次次諧波的正弦分量27含有直流分量和

9、正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量28三 典型周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)周期矩形脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期半波脈沖信號(hào)周期半波脈沖信號(hào)周期全波脈沖信號(hào)周期全波脈沖信號(hào)291 周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜30ntjnneFtf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnTEeejnTEdtEeTFjnjntjnn)(1TnSa)2(0)2()(1ttEtf31n242422112T)(,1110TnSaTEFTEFn3233 頻譜分析表明 離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖離散頻譜，譜線間隔為基波

10、頻率，脈沖周期越大，譜線越密。周期越大，譜線越密。 各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比。正比，與周期成反比。 各譜線的幅度按各譜線的幅度按 包絡(luò)線變化。過包絡(luò)線變化。過零點(diǎn)為：零點(diǎn)為： 主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主帶寬度為：主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主帶寬度為：)(1TnSam22B34周期矩形的頻譜變化規(guī)律： 若T不變，在改變的情況 若不變，在改變T時(shí)的情況22112T1235對(duì)稱方波是周期矩形的特例.5cos513cos31cos2)(111tttEtf)(11TnSaTEFnntjnneFtf1)(36對(duì)稱方波的頻譜37對(duì)稱方波的頻譜變化規(guī)

11、律113151513113nnana)(tx1738ntjnneFtf1)(dtetfTFtjnn2211)(1傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)T1 信號(hào)的周期脈寬基波頻率1傅立葉級(jí)數(shù)小結(jié)傅立葉級(jí)數(shù)小結(jié)39四 非周期信號(hào)的頻譜分析當(dāng)周期信號(hào)的周期T1無限大時(shí),就演變成了非周期信號(hào)的單脈沖信號(hào)1TdT02111n頻率也變成連續(xù)變量40頻譜演變的定性觀察頻譜演變的定性觀察)(1nF11)(nF)(1nF22112T141從周期信號(hào)從周期信號(hào)FS推導(dǎo)推導(dǎo)非周期的的FTntjnenFtf1).()(1dtetfTnFTTtjn.).(1)(2121111dtetfnFtjn.).(2).(111( )( )

12、.j tFf t edt42傅立葉的逆變換傅立葉的逆變換ntjnenFtf11).()(1111.)()(tjnnenFtf)(.2)(111neFtjnndnnT)(01111n)()(1FnFdeFtftj. )(21)(43三。從物理意義來討論三。從物理意義來討論FT (a) F()是一個(gè)密度函數(shù)的概念是一個(gè)密度函數(shù)的概念 (b) F()是一個(gè)連續(xù)譜是一個(gè)連續(xù)譜 (c) F()包含了從零到無限高包含了從零到無限高 頻的所有頻率分量頻的所有頻率分量 (d) 各頻率分量的頻率不成諧波各頻率分量的頻率不成諧波 關(guān)系關(guān)系44傅立葉變換一般為復(fù)數(shù)FT一般為復(fù)函數(shù))()()(jeFFdeFdeFtf

13、tjtj)(2121)()()(若f(t)為實(shí)數(shù)，則幅頻為偶函數(shù),相頻為奇函數(shù)dtFtf)(cos()()(2145傅立葉變換存在的充分條件dttf)(46 單邊指數(shù)信號(hào) 雙邊指數(shù)信號(hào) 矩形脈沖信號(hào) 符號(hào)函數(shù) 沖激函數(shù)信號(hào) 沖激偶函數(shù)信號(hào) 階躍函數(shù)信號(hào)四 典型非周期信號(hào)的頻譜47 信號(hào)表達(dá)式 幅頻 相頻)0(0)0()(ttetft)0(1)()(jdtetfFtj221)(F)()(arctg單邊指數(shù)信號(hào)4849)()(tetft222)(F0)( f(t)0t0雙邊指數(shù)信號(hào)5051)(0)()(22ttEtf)()sin()sin()(222222/2/SaEEdtEeFEtj)()(2SaEF)()(0)()1(4)12(2)12(24nnnn矩形脈沖信號(hào)5253)0(1)0(1)sgn()(ttttf).sgn(lim)(lim)(010taaaettftfjajFFaa22lim)(lim)(220102)(F) 0() 0()(22符號(hào)