含參量積分一致收斂及其應(yīng)用

1、1引言無限區(qū)間上的積分或無界函數(shù)這兩類積分叫作廣義積分 ，又名反常積分.在討論定 積分時有兩個最基本的限制：積分區(qū)間的有窮性和被積函數(shù)的有界性。但在許多實際 問題中往往需要突破這些限制，這兩個約束條件限制了定積分的應(yīng)用，因為許多理論 和實際中往往不滿足這兩個條件因此，就需要研究無窮區(qū)間或者無界函數(shù)的積分問 題，而將這兩個約束條件取消，就得到了定積分的兩種形式的推廣：將函數(shù)的積分從 積分區(qū)間有界擴展到了積分區(qū)間無界的無窮積分和被積函數(shù)有界擴展到了無界函數(shù)的 瑕積分,這兩種積分就是通常所說的反常積分或廣義積分 .廣義積分是伴隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展起來的近代數(shù)學(xué)，作為數(shù)學(xué)的一類基本命題， 它是高等數(shù)學(xué)中

2、的一個重要概念，它的出現(xiàn)為物理學(xué)解決了許多計算上的難題，也為 其他科學(xué)的發(fā)展起到了促進(jìn)作用，應(yīng)用十分廣泛但是，反常積分涉及到一個所謂的收 斂性問題，由于反常積分的重要性，所以，對反常斂散性的探討，也就顯得十分必要 了.在一致收斂意義下，極限與積分、求導(dǎo)與積分、積分與積分都是可以交換順序.于是判斷含參廣義積分的一致收斂性變得尤為重要1.含參量的廣義積分和一元函數(shù)的定積分一樣，可以將含參變量的廣義積分進(jìn)行推廣，形成含參量的 廣義積分。從形式上講，含參量的廣義積分也應(yīng)有兩種形式：無窮限形式的廣義積分 和無界函數(shù)的廣義積分，由于二者之間可以相互轉(zhuǎn)化，我們僅以無窮限廣義積分為例 討論其性質(zhì)。1.1無窮限

3、廣義積分的定義定義1:設(shè)f(x,y)為定義在D二a,二I ( I為某區(qū)間，有界或無界)的二元函數(shù)，形如f(x, y)dx的積分稱為含參變量y的廣義積分。a從定義形式?jīng)Q定研究內(nèi)容：廣義積分是否存在-收斂性問題與一元函數(shù)廣義積分相區(qū)別的是：由于含參量積分的結(jié)果不再是一個單純的數(shù)值， 而是一個函數(shù)，這就決定了含參量廣義積分的收斂性問題中，不僅要有收斂性而且還 必須討論收斂性與參量之關(guān)系，由此形成一致收斂性。1.1.2含參量廣義積分的收斂和一致收斂。定義2：設(shè)f (x, y)定義在D - a, = I ，若對某個y I ，廣義積分 f(x, y0 )dx a,-be-be在yo點收斂，則稱含參量廣義積

4、分.f (x, y)dx在y點收斂；若.f(x, y)dx在I中每 cc一點都收斂，稱含參量廣義積分-f(x, y)dx在I上收斂.a定義：.f(x, y)dx在I上收斂是指：對每個y I，-； 0, Ao( ;,y) a，使當(dāng)aAA； A a Ao 時，f f(x, y)dx 名，A(或者 |Af(x, y)dx0A0 (名) a，使當(dāng) A； A * A0 時，J f (x, y)dx z，對一切 y IA成立，稱af(x, y)dx在I上關(guān)于y 致收斂.類似以前學(xué)過的相似內(nèi)容，我們先給出一致收斂性的判斷定理，然后分析性質(zhì)的 研究1.1.3 一致收斂性的判別法定理1( Weistrass判別

5、法)設(shè)存在定義于a上的函數(shù)F(x)，使.-be-bef(x,y)蘭 F( xy, (x ,y ) D a 叩，且 a F(x)dx 收斂，貝叮 f (x, y)dx 在 J 上一致aa收斂。定理2(Abel判別法)設(shè)f(x, y),g(x,y)定義在D上且滿足：1) f (x, y)dx在I上關(guān)于y 致收斂。a2) g(x, y)關(guān)于x單調(diào)，即對每個固定 廠l,g(x, y)為x的單調(diào)函數(shù)。3) g(x, y)在 D 上一致有界，即 L，使 |g(x, y)|-L, - (x, D。則a f (x, y)g(x, y)dx關(guān)于y 致收斂。a定理3 (Dirichlet判別法)設(shè)f(x, y),

6、 g(x, y)定義在D上且滿足：A71 )A a, f (x, y)dx關(guān)于y 致有界，即 K 0， 使aa、J f ( x, y)蘭d xW ,焰A都成立。y ILa2)對固定的y I , g(x, y)關(guān)于x單調(diào)3) m g(x, y) =0關(guān)于 y I 致成立：即-； 0,代 _ a，當(dāng) x _ A 時，g(x,y):關(guān)于y I 一致成立。則f (x, y)g(x, y)dx關(guān)于 匹I 一致收斂。注：上述兩個定理的證明和廣義積分的收斂性的證明類似， 其出發(fā)點都是積分第二中值定理：A(y)AA f (x,y)g(x,y)dx 二 g(A, y) A f (x, y)dx g(A, y)(

7、y)f (x, y)dx三、一致收斂性判別舉例。根據(jù)一致收斂判別定理，在討論一致收斂性問題時，通常按如下順序進(jìn)行：首先 考慮能否用 Werstrass判別法，其次，考慮用 Abel和Dirichlet判別法，再次，考慮用 Dini判別法，最后，考慮非一致收斂性。但是，上述只是解決此類問題的一般規(guī)律。 事實上，各類判別法所適用的對象都有相應(yīng)的結(jié)構(gòu)特點，因此，在熟練掌握了各判別 法的實質(zhì)后，可根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特點，選用相應(yīng)的判別法。例1:討論jesinxdx在ig 可叫,垃)(ot0 a0) ii) (0,垃)內(nèi)一致收斂性。解、i)當(dāng)a eg0,+oc)時，由于esin x蘭e，故，利用Werstra

8、ss判別法可得bo esin xdx關(guān)于a p0,畑)一致收斂。ii)、當(dāng)用三(0,=)時，可以考慮非一致收斂性。事實上：取人=2n二，Ansin xdx 空 入 J：xdx 空 e （An-人）J 1 22人2、2-Je445#故，o esinxdx關(guān)于(0,=)非一致收斂。例2、證明0在0,二：上一致收斂。x證明：典型的Abel判別法所處理對象。由于#即0,xAJ sin xdx 蘭 2），因此,Asdx收斂(廣義積分的Dirichlet判別法:0 x關(guān)于：.一致收斂。又：e是關(guān)于x的單調(diào)函數(shù)且一致有界，故，由 Abel判別法可知該積分關(guān)于0, ：) 致收斂1.1.4 一致收斂積分的性質(zhì)、

9、lt be , . Abe設(shè)f(x, y)dx對每一個 y c,d收斂，記 I (y)二 f(x,y)dx,y c,d,a aa任取嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列an /,滿足a0 =a,an,記un (y) f (x, y)dx, n = 1,2，則 廣f(X, y)dx =遲 Un (y)。an 4引理1：若 f (x, y)dx關(guān)于yc,d 致收斂，則E Un(y)關(guān)n T于y c,d 一致收斂。連續(xù)性定理:設(shè)f(x, y)wCa,o;c,d，若 廣f(x, y)dx關(guān)于y引c,d 致收斂，則 LaI(y) = a f (x,y)dx Cc,d。qQ證明：、Un(y) 致收斂且Un(x,y)連續(xù)，由函

10、數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性定理，n 4l(y)八 Un(y)連續(xù)?？煞e性:設(shè) f(x, y) Ca,：,c,d，若 f (x, y)dx 關(guān)于 y c,d 一致收 斂，則 ad: ：:ddy f (x,y)dx 二 dx f(x,y)dy。c aac證明：利用函數(shù)項級數(shù)的積分換序定理，則d+d 丫蝌dy a f (x ,y dx 二 c ? Un y( dy n = 1d=? q Un(y)dyd an=?卿 anif ydXdyan dbe d二 a dxc fdy 二 dxc fdy。an i cac注：這仍然是一個積分換序定理。當(dāng)d =訟時，有下述結(jié)論：設(shè) f C a, ： c, ： ， f(x,

11、y)dx 關(guān)于 y c,C 一 致收斂(_C c)， a,c f (x, y)dy 關(guān)于 X a,A(A a) 一致 收斂，且 乜 d |f(x, y)dy 和Irnij-tJThHlnidy f (x, y) dx 中有一個存在，則dy fdx dx fdy。cacaac可微性：設(shè) f, fy 乏 C a,+ c,d，且 a f (x,y)dx 關(guān)于 yc,d 致收斂，fy(x,y)dx 關(guān)于 y c,d 一致收斂，貝U I (y) f (x, y)dx 在c,d可微，且 a aI r(y) = ffy(x,y)dx o含參量反常積分的一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則定義6.1 (含參量反常積分)

12、設(shè)函數(shù)f( x, y定義在無界區(qū)域R =(x,y)|a乞xb,c乞y ：=上，若對每一個固定的x，a,bl，反常積分f (x, y)dy( 1)都收斂，則它的值是x在l.a,b 1上取值的函數(shù)，當(dāng)記這個函數(shù)為I(x)時，則有I（x）= jjf （x，y）dy,xw a,b ,（2）稱（1）式為定義在la,b 1上的含參量x的無窮限反常積分定義6.2若含參量反常積分（1）與函數(shù)I（x）對任給的正數(shù):，總存在某一實數(shù)，N . c , 使得當(dāng)M .N時，對一切X- a,b，都有MJc f （x, y）dy-l（x） s即-boIM f （x,y）dy c，使得當(dāng)A,AM時，對一切x壬a,bl，都有A

13、2!A f （x, y）dy例6.1證明含參量反常積分嚴(yán)dy （3）0 y在B嚴(yán)上一致收斂（其中6 0），但在（0,址）內(nèi)不一致收斂證明做變量代換u = xy，得叫y =0yAx:sinu ,duu(4)r sin u其中A 0.由于0 du收斂，故對任給正數(shù)；，總存在正數(shù)M，使當(dāng)A M，就0 u有嚴(yán)sinu ,du A u9取A、： . M，則當(dāng)a M時，對一切x _ 0，由（4）式有6csin xy _Ja 亍dy10#所以（3）式在x_. .0上一致收斂.現(xiàn)證明（4）在（0,=）內(nèi)不一致收斂.由一致收斂定義，只要證明：存在某一正數(shù)；o ,使對任何實數(shù)M （ .c），總相應(yīng)地存在某個A .

14、 M及某個la,bl，使得-bofA f(x,y)dy X由于非正常積分;SinUdu收斂，故對任何；0和M，總存在某個x（ 0），使得0 u:sin uMx,”農(nóng)i nu ,du f0 du 5，u、0u:sin u二sin u:：sin u ,.pdu ；0 ：亦=” 0 =du（5）現(xiàn)令1：snudu，由（4）及不等式（5）的左端就有2 0 u二沁 du 2。- 二 0Mx u所以（3）在（0,；）內(nèi)不一致收斂7、Cauchy收斂準(zhǔn)則在在證明相關(guān)定理中的應(yīng)用7.1 Cauchy收斂準(zhǔn)則在證明牛頓一萊布尼茨公式中的運用定理7.1若函數(shù)f（x）在l.a,b 1上連續(xù)，且存在原函數(shù)F（x），即

15、F x fx , x l.a,bl, 則 f在 la,b 1 上可積，且 、（x）dx 二 F（b）-F（a）（ 1）a證 由定積分定義，任給20，要證為0, 當(dāng)IIT|c6時，有十f (U件-F(b)-F(a)呂，下證滿足要求的6存在性，事實上，對于Ia,b的任 一分割T】a =Xo,Xi,人二bl,在每個小區(qū)間Xi,Xj 上對F(x)用拉格朗日中值定理， 分別(xi 1，xi)，* =1,2，,n,使得nnnF(b)F(a)-J|F(Xi)-F(Xi丿八 F(尸Xi，f(尸 x*(2)i 丄-7n 士因為f(x)在la,b 上連續(xù)，從而一致連續(xù)，對上述名 0 0，當(dāng) x, xe la, b

16、且 xx時，有f X -f Xb a11#于是當(dāng)AXi wm務(wù)時，任取i E (xjX ，便有I-叫曲，這就證得n三 f(q 紳-F(b)F(a 屮f i -f i-Xi#nnz f() f (q #Xj 弋乏 =名.i ib -a i =i所以f在la,b 上可積，且有公式(1)成立。7.2 Cauchy收斂準(zhǔn)則在一致連續(xù)性定理中證明的運用定理7.2 一致連續(xù)性定理：若函數(shù)f (x)在區(qū)間l.a,b 1上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間l.a,b】上一 致連續(xù)。證明 由f(x)在la,b 1上的連續(xù)性，任給；0,對每一點x l.a,bl，都存在：x 0，使 得當(dāng)X U X；、時，有考慮開區(qū)間集合H = U lx,x氐“，顯然H是l.a,b】的一個開覆蓋,由有限覆蓋