2021-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課新人教A版選修2-1

1、金版學(xué)案】 2021-2021 學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課 新人教 A 版選修 2-1整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建警示易錯提醒1幾種空間向量之間的區(qū)別與聯(lián)系(1) a 與其相反向量 a 為共線向量 (平行向量 ) (2) 相等向量為共線向量 (平行向量 ) ，但共線向量 ( 平行向量 )不一定為相等向量(3) 假設(shè)兩個非零向量共線，那么這兩個向量所在的直線可能平行，也可能重合，空間中任 意兩個向量都是共面的，這些概念一定要準(zhǔn)確理解2向量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算的不同點(1) a b= 0 匚 a= 0 或 b = 0.(2) a c = a b c = b.(3) ( a b) c

2、 a ( b c)(4) a b= k- a= k 或b=-.b a3. 向量共線充要條件及注意點(1) 對空間任意兩個向量 a, b(b0), a/ b的充要條件是存在實數(shù)入，使a= Xb.(2) 注意點：I為經(jīng)過點A且平行于非零向量 a的直線，對空間任意一點 0,點P在直線I上的充要條件是存在實數(shù)t，使01 0陽ta.(3) 坐標(biāo)表示下的向量平行條件.設(shè) a = (ai, a2, a3), b= (bi, b2, b3)，貝U a/ b? ai = Xbi, a2 =入 b2, a3= Xb3(入 R),ai a2 a3這一形式不能等價于 -=-=-，只有在向量b與三個坐標(biāo)軸都不平行時才可

3、以這樣寫.bi b2 b34. 向量共面充要條件及注意點(1) 假設(shè)兩個向量a, b不共線，那么向量 p與向量a, b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x, y)，使 p= xa + yb.(2) 注意點：f f f 空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x, y)，使AP= xAB+ yACf f ff 空間任意一點 O和不共線的三點 A B, C,滿足向量關(guān)系式OP= xOA yO聊zOQ其中x+ y + z= 1)，那么點P與點A, B, C共面.5. 利用向量法求空間角的考前須知(1) 利用向量法求空間角時，要注意空間角的取值范圍與向量夾角取值范圍的區(qū)別.例f f如

4、，假設(shè) ABC的內(nèi)角/ BAC= 0，那么BA與ACM角為n- 0，而非0 .(2) 特別地，二面角的大小等于其法向量的夾角或其補角，到底等于哪一個，要根據(jù)題目的具體情況看二面角的大小.(3) 對所用的公式要熟練，變形時運用公式要正確并注意符號等細節(jié)，防止出錯.專題一 空間向量及其運算空間向量及其運算的知識與方法與平面向量及其運算類似， 是平面向量的拓展， 主要考 查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運算，是用向量法求解立體幾何問題的根底ff例1沿著正四面體 GABO的三條棱OA OB OC勺方向有大小等于1、2和3的三個力f 1，f2，f3.試求此三個力的合力 f的大小以及此合力與三條棱所夾角的

5、余弦值.fff解：如下圖，用a, b, c分別代表棱OA OB OC上的三個單位向量，那么 f 1= a, f 2 = 2b, f 3= 3c,那么 f = f 1 + f 2 + f 3 = a+ 2b + 3c,2 2 2 2所以 |f| = (a+2b+ 3c)(a+2b +3c)= |a|+ 4|b|+ 9|c|+ 4a- b+6a- c +12b c =14+ 4cos 60 + 6cos 60 + 12cos 60 = 14+ 2+ 3 + 6= 25, 所以 | f| = 5,即所求合力的大小為5.且 cos f, af aI f I ! al2| a| + 2a b+ 3a c

6、710，910.4同理可得：cos f, b= , cos f, c5歸納升華空間向量的運算有加、減、數(shù)乘和數(shù)量積的運算，有三角形法那么、平行四邊形法那么、首尾相接的多邊形法那么，通過這些運算可以對向量多項式進行化簡、整理、求值，可以用來解決共線、共面、平行、垂直等問題，向量運算是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，應(yīng)該熟練掌握， 靈活運用.在不利于建立空間直角坐標(biāo)系的情況下，選擇恰當(dāng)?shù)幕?，通過基向量的運算解決數(shù)學(xué)問題是十分有效的數(shù)學(xué)方法，應(yīng)當(dāng)高度重視.變式訓(xùn)練如圖，在四棱錐 SABCD中，底面ABC是邊長為1的正方形，S到A B、C D的距離都等于 2.給出以下結(jié)論： SA+ S聊SO SD= 0;S

7、A SB- SC- SD= 0;SASB+ SC- SD= 0 :SA- SB= SC- SDSA- SC= 0.其中正確結(jié)論的序號是 .f f f f f f解析：容易推出：SA SB+ SO SA BA DC= 0,所以正確；又因為底面 ABCD是邊長f ff f為 1 的正方形，SA= SB= SC= SD= 2，所以 SA SB= 2x 2x cos / ASB SC SD= 2 x 2 x cos /ffffCSD而/ ASB=Z CSD于是SA- SB= SC- SD因此正確，其余三個都不正確，故正確結(jié) 論的序號是.答案： 專題二 利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系用向量作為工具來研

8、究幾何， 真正把幾何的形與代數(shù)中的數(shù)有機結(jié)合， 給立體幾何的研 究帶來了極大的便利 利用空間向量可以方便地論證空間中的一些線面位置關(guān)系，如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等例2 正方體 ABCDABCD中，E、F分別是 BB、CD的中點，求證：平面 AEDL平面 AFD.證明： 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 D- xyz .設(shè)正方體棱長為1,那么 E1, 1, 1、D(0 , 0, 1), F 0,120、A(1 , 0, 0).ff f所以 DA= (1 , 0, 0) = DA, DE=DF= 0, 1， 1 .設(shè) m= (X1, y1,乙，n= (X2, y2,Z2分別是平面 AED和

9、AFD的一個法向量,m- DA= 0, 由Xi = 0,令 y1= 1,得 m= (0,1, 2)n fDIA1 = 0,X2= 0 ,又由?1n fDF= 02y2 Z2令 Z2= 1,得 n= (0,2, 1).因為 rrr n= (0 , 1,0.m- DE= 01X1+ y1 + 2Z1 = 0.2) X (0 ,2, 1) = 0,歸納升華1證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量 2證明線面平行的方法：(1) 證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；(2) 證明平面內(nèi)存在一個向量與直線的方向向量共線 3證明面面平行的方法：(1) 轉(zhuǎn)化為線線平行或線面平行處理；(2)

10、證明兩個平面的法向量是共線向量4證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直 5證明線面垂直的方法：(1) 證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；(2) 證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直 6證明面面垂直的方法：(1) 轉(zhuǎn)化為線線垂直或線面垂直處理；(2) 證明兩個平面的法向量互相垂直變式訓(xùn)練 如下圖， P從平面ABCD ABCD矩形，P AD, M N分別為ABPC的中點求證:MM平面PAD(2)平面PMCL平面PDC證明：(1)如下圖，以A為坐標(biāo)原點，AB AD AP所在的直線分別為 x, y, z軸建立 空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè) PA= AD= a, A

11、B= b,那么有RO, 0, a), A(0, 0, 0), D(0 , a, 0) , C(b, a, 0), B(b, 0, 0).因為M N分別為AB, PC中點，所以bbaam2 ,0 ,0,N2 ,2 ,2所以aaMN=0 ,2 ,2 -t法一：AP= (0 , 0 , a) , AD= (0 , a , 0),T 廠 1T所以 MN= 2A 2AR又因為MN平面PAD所以MN/平面PAD法二：易知AB為平面PAD的一個法向量.AB= (b, 0, 0)，所以 AB- MN= 0，所以 ABL MN又MN平面PAD所以 MN/平面 PADb由可知：RO , 0, a), Qb, a,

12、 0) , M?, 0 , 0 , D(0 , a , 0).所以 PC (b , a , - a) , PM= b , 0, a ,TPD= (0 , a, - a).設(shè)平面PMC勺一個法向量為 ni = (xi , yi , zi),那么ni - PC= 0? bxi + ayi - azi= 0TPM= 0?b?xi azi = 02aXi = Zi 所以 b ,令 zi = b,那么 ni = (2 a , b , b).yi = zi設(shè)平面PDC的一個法向量為 n2= (X2 , y2 , Z2),Tn- PC= 0? bx2 + ay2 az2= 0 那么,Tn2 - PD= 0?

13、 ay2 az2= 0X2= 0 , 所以令 Z2 = i,貝U n2= (0 , i, i),y2= Z2 ,因為 ni - n2= 0 b + b= 0,所以 ni L n2.所以平面PMCL平面PDC專題三 利用空間向量求空間角空間角包括：異面直線所成的角 (線線角)、直線與平面所 成的角(線面角)、二面角(面面角)用向量法求空間角，把復(fù)雜的作角、證明、求角問題代數(shù)化，降低了思維難度，是近年來高考的一個方向.例3 如圖，在厶 ABC中,/ ABC= 60, / BAC= 90 , AD是 BC邊上的高.沿 AD證明：平面 ABDL平面BDC(2)設(shè)E為BC的中點，求AE與 D聯(lián)角的余弦值

14、.證明：因為折起前AD是 BC邊上的高，所以當(dāng) ABD折起后，ADL DC AM DB又因為DBH DC= D,所以ADL平面BDC因為At?平面ABD所以平面 ABDL平面BDC(2)解：由/ BDC= 90及(1),知DA DB DC兩兩垂直不妨設(shè)| DB = 1,以D為坐標(biāo)原點，以DB DC DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，易得 Q0 , 0, 0) , B(1 , 0 , 0) , C(0, 3 , 0) , A(0, 0 , 3) 因為E為BC中點,所以 E；, 2，0 -所以A氐2,DB= (1 , 0, 0) f f故AE與 D聯(lián)角的余弦值是2222

15、 .歸納升華1. (1)設(shè)異面直線丨1,丨2的方向向量分別為mi, ma,貝U I 1與12所成的角0=|cos m, rm|.(2)設(shè)直線I的方向向量和平面a的法向量分別為 m, n那么直線I與平面0 滿足 sin 0 = |cos m n|.(3)求二面角的大?。喝鐖D,AB CD是二面角a-l -卩的兩個面內(nèi)與棱滿足cos 0a所成的角I垂直的直ff1AE-DB222ff2222|AEIDB才1所以 cos(AE, DBf f線，那么二面角的大小 0 =弦值為耳5.5fn OA3V?5f、3 x V55I n| OA |即二面角 A-CDB的平面角的余專題四探索性問題探索性問題即在一定條件

16、下論證會不會出現(xiàn)某個結(jié)論.這類題型常以適合某種條件的結(jié)論“存在“不存在 “是否存在等語句表述.解答這類問題，一般要先對結(jié)論作出肯定的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合條件進行推理論證.假設(shè)導(dǎo)出合理的結(jié)論，那么存在性也隨之解決；假設(shè)導(dǎo)出矛盾，那么否認了存在性.例4如圖，四棱錐SABCD勺底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P 為側(cè)棱SD上的點.求證：AGL SD(2) 假設(shè)SDL平面PAC求二面角 P-AGD的大小.(3) 在 的條件下，側(cè)棱 SC上是否存在一點 E,使得BE/平面PAC假設(shè)存在，求SE： EC 的值？假設(shè)不存在，試說明理由.(1)證明：連接BD設(shè)AC交BD于點Q由題意知

17、SCL平面ABCD以O(shè)為坐標(biāo)原點，OBQC 0盼別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Qxyz ,如圖，設(shè)底面邊長為a ,那么高SQ= a.于是S0 , 0 ,6a2 a，D 七,0,220 , C 0 , 2 a , 0 , B 2 a , 0 , 0 ,OC= 0,SD=22a，o,f fa , OC SD= 0,故 OCL SD 從而ACL SD解：由題意知，平面fPAC的一個法向量DS=平面DAC的一個法向量 02 0, 0,2 a -f f設(shè)所求二面角為0 ，那么 cosOS- DS 0 =f fI OS DS故所求二面角 R AG D的大小為30(3)解：存在假設(shè)在側(cè)棱 S

18、C上存在一點 E使BE/平面PACf由 知DS是平面PAC勺一個法向量.且fS= 22a, 0, 26a , fS= 0, ，BC= 22a, 22a, 0 ,f f設(shè) CE= tCS,貝 Ufffff 2 2 6BE= BO CE= BO tCS= 2 a ,2 a (1 t) ,2 atf f由 BE- D2 0 ,f f即當(dāng) SE： EC= 2 ：1 時,BE! DS而BE?平面PAC故BE/平面PAC歸納升華在立體幾何中， 經(jīng)常會遇到點、 線、 面處在什么位置時結(jié)論成立， 或某一結(jié)論成立時需 要具備什么條件，或某一結(jié)論在某一條件下，某個元素在某個位置時是否成立等類似的問 題這些問題都屬

19、探索性問題， 解決這些問題僅憑幾何手段有時會十分困難， 我們借助向量 將“形轉(zhuǎn)化為“數(shù)， 把點、 線、面的位置數(shù)量化，通過代數(shù)式的運算就可得出相應(yīng)的結(jié) 論這樣可以把許多幾何問題進行類化， 公式化， 使問題的解決變得有“法可依，有路可 尋變式訓(xùn)練 如圖所示，直角梯形 ABCDh/ BCD 90, AD/ BC AD= 6, DC= BC =3.過點B作BEL AD于點E, P是線段DE上的一個動點將 ABE沿BE向上折起，使平面 AEBL平面BCDE連結(jié)PA PC AC如圖.圖圖 取線段AC的中點Q,問：是否存在點P,使得PQ/平面AEB假設(shè)存在，求出PD的長;假設(shè)不存在，請說明理由.當(dāng)El 3

20、ED時，求平面 AEB和平面APC所成的銳二面角的余弦值.3解：存在當(dāng)P為DE的中點時，滿足 PQ/平面AEB如圖，取AB的中點M連接EM QM由Q為AC的中點，得MQ BC1且 MQ= 2BC1又 PE/ BC 且 PE= 2BC所以 PE/ MQ PE= MQ所以四邊形PEM為平行四邊形，故 M/ PQ又PC?平面AEB ME平面AEB所以PQ/平面AEB3從而存在點 P,使得PQ/平面AEB此時PD= 2. 由平面 AEBL平面 BCDE交線為 BE且AE1 BE所以AEL平面BCDE 又 BEL DEf f f以E為原點，分別以EB, ED EA為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐

21、標(biāo)系如圖,那么 E0，0，0，氏3，0，0，A0，0，3，P0，2，0，C3，3，0.ff所以 PC= 3 , 1, 0, PA= 0，- 2, 3.平面AEB的一個法向量ni = 0 , 1, 0,設(shè)平面APC的法向量為n2= x, y, z,e PC= 03x + y= 0,由得f 2y + 3z = 0.n2 PA= 0,取 y = 3,得 n2= ( 1, 3, 2),所以 cos ni, n23= 3后1X 141414 距離、垂直、平行等問題提供了工具,即平面AEB和平面APC所成的銳二面角的余弦值為專題五轉(zhuǎn)化與化歸思想空間向量的坐標(biāo)及運算為解決立體幾何中的夾角、因此我們要善于把這

22、些問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角、模、垂直、平行等問題，利用向量方法解決.將 幾何問題化歸為向量問題，然后利用向量的性質(zhì)進行運算和論證，再將結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問 題這種“從幾何到向量，再從向量到幾何的思想方法，在本章尤為重要.例5如下圖，在矩形ABCD中, AB= 4, AD= 3,沿對角線AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好在AB上，求二面角 BAGD的余弦值.解：如下圖，作 DGL AC于G, BHL AC于H,在 Rt ADC中,AC= JaD+ cD= 5,AD 3 cos / DA(= ac= 5.在Rt ADG中3 9AG= AtCos Z DA= 3 x =55DG aDaG=:3912同理 cos Z BCA=_ CH= c, BH=555因為 AD- BC= (A曰 ED BC= AE- BO ED- BC= 0,-99 9所以 GD HB= (GAF AD) ( HO CB) = GA HO GA CB AD- HO AD- CB=- CX c+ c x 3 55539 381X 5+ 3X 5X 5+ 0 = 25,又|GD - I HB =礬 所以 cosGD HB = 16,9即所求二面角 BAGD的余弦值為 何歸納升華1 .轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的應(yīng)用.在立體幾何中，表達轉(zhuǎn)化與化歸思想的問題有：