不定積分基本公式表

1、2021/6/161一、不定積分的基本公式一、不定積分的基本公式第四章不定積分第四章不定積分第二節(jié)第二節(jié) 不定積分的基本公式和運不定積分的基本公式和運 算法則算法則 直接積分法直接積分法二、不定積分的基本運算法則二、不定積分的基本運算法則三、直接積分法三、直接積分法2021/6/162; )1(,11d21 Cxxx ) )( (;|lnd1 3Cxxx ) )( (;lnd 4Caaxaxx ) )( (不定積分基本公式表不定積分基本公式表; )(d 1為為常常數數) )( (kCkxxk ;ede, e Cxaxx 時時當當2021/6/163；) )( ( Cxxx sindcos 5；

2、) )( ( Cxxx cosdsin 6；) )( ( Cxxx tandsec 72；) )( ( Cxxx cotdcsc 82；) )( ( Cxxxx secdtansec 9；) )( ( Cxxxx cscdcotcsc 102021/6/164；) )( (CxCxxx arccos arcsin1d 112 .cotarctan1122CxCxxx arc d ) )( (2021/6/165;lnd1Cxxx 當當 x 0 時，時，,1)(lnxx 因為因為所以所以.)ln(d1Cxxx 綜合以上兩種情況，當綜合以上兩種情況，當 x 0 時，得時，得. |lnd1Cxxx

3、例例 1求不定積分求不定積分.d1 xx解解. 01 xx的定義域為的定義域為被積函數被積函數2021/6/166例例 2求不定積分求不定積分.d1)2( xx解解先把被積函數化為冪函數的形式，再利用基先把被積函數化為冪函數的形式，再利用基本積分公式，本積分公式，( (1) ) xxxxxdd252Cx 1251251.723Cxx ( (2) )Cx 1211211 xxxxdd121Cx 212得得.2Cx ;d)1(2 xxx2021/6/167例例 3求不定積分求不定積分.de2 xxx解解 xxxxxd) e2(de2Cx ) e2ln() e2(.2ln1e2Cxx 2021/6/

4、168法則法則 1兩個函數的代數和的不定積分等于這兩個函數的代數和的不定積分等于這兩個函數不定積分的代數和兩個函數不定積分的代數和，.d)(d)(d)()( xxgxxfxxgxf即即二、不定積分的基本運算法則二、不定積分的基本運算法則2021/6/169法則法則1 可推廣到有限多個函數代數和的情況，可推廣到有限多個函數代數和的情況，即即 xxfxfxfnd)()()(21.d)(d)(d)(21 xxfxxfxxfn 根據不定積分定義，只須驗證上式右端的根據不定積分定義，只須驗證上式右端的導數等于左端的被積函數導數等于左端的被積函數.).()(xgxf xxgxxfdd)()(xxgxxfd

5、d)()(證證2021/6/1610法則法則 2被積函數中的不為零的常數因子可以被積函數中的不為零的常數因子可以提到積分號前面提到積分號前面，xxfkxxkfd)(d)( (k 為不等于零的常數為不等于零的常數) )證證類似性質類似性質 1 的證法，的證法，有有即即 xxfkd)( xxfkd)().(xkf 2021/6/1611例例 4求不定積分求不定積分.d)2sin2(xxxxex 但是由于但是由于 任意常數之和還是任意常數，任意常數之和還是任意常數，xxxxexd)2sin2(xxxxxxexd2sin2dd32521522)cos(2CxCxCex)22(54cos232125CC

6、Cxxex.54cos225Cxxex其中每一項雖然都應有一個積分常數，其中每一項雖然都應有一個積分常數，解解 所以只需在最后所以只需在最后寫出一個積分常數寫出一個積分常數 C 即可即可.2021/6/1612 求積分時，如果直接用求積分的兩個運算法求積分時，如果直接用求積分的兩個運算法則和基本公式就能求出結果，則和基本公式就能求出結果，三、直接積分法三、直接積分法 或對被積函數進行或對被積函數進行簡單的恒等變形簡單的恒等變形 (包括代數和三角的恒等變形包括代數和三角的恒等變形) ， 在用求不定積分的兩個運算法則及基本公式就能在用求不定積分的兩個運算法則及基本公式就能求出結果，求出結果， 這種

7、求不定積分的方法成為這種求不定積分的方法成為直接積分直接積分法法2021/6/1613例例 5求求.d)1(23 xxx xxxd)1(23 xxxxxd331232 xxxxd3312 xxxxxxxdd3d13d2.213|ln312Cxxxx 解解2021/6/1614例例 6求求.)1(12222xxxxdxxxxxd)1()1(2222xxxxxxxxdd)1()1(1222222xxxxdd1122.arctan1Cxx解解xxxxd)1(122222021/6/1615例例 求求.124xxxdxxxd11124xxxxxxdd111)1)(1(2222xxxxdd2211)1(

8、.arctan33Cxxx解解xxxd1242021/6/1616例例 8求求.sincos2cosxxxxdxxxxxdsincossincos22xxxdsincos.cossinCxx解解xxxxdsincos2cos2021/6/1617例例 9求求.sincos122xxxdxxxxxd2222sincossincosxxxxdd22sin1cos1.cottanCxx解解xxxd22sincos1xxxxdd22sin1cos12021/6/1618例例 10求求.tan2xxdxxxdd2sec.tanCxx解解xxd1sec2xxd2tan2021/6/1619例例 11 已知物體以速度已知物體以速度 v 2 2t2+1 (m/s)作直線運動，作直線運動，當當 t=1 s 時時, 物體經過的路程為物體經過的路程為3m, 求物體的運動規(guī)律求物體的運動規(guī)律.解解設所求的運動規(guī)律設所求的運動規(guī)律 s = s(t)，按題意有按題意有1