二次函數(shù)圖像與性質(zhì)完整歸納

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式： y ax2的性質(zhì)：a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值0 .a 0向下0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0 .a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。22. y ax c的性質(zhì):上加下減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減小；x 0時(shí)，y有最小值c .a 0向下0, cy軸x 0時(shí)，y隨x

2、的增大而減小；x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c .23. y a x h的性質(zhì):左加右減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上h , 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y 隨x的增大而減??；x h時(shí)，y有取小值0 .a 0向下h , 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而減?。粁 h時(shí)，y 隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0 .24. y ax h k的性質(zhì):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y 隨x的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值k .a 0向下h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而減

3、??；x h時(shí)，y 隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k .、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：2方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y a x h k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h , k ； 保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下：y=ax2* y=ax2+k向右(h0)【或左(*0)平移|k|個(gè)單位向上(k0)【或向下(k0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)平移|k|個(gè)單位y=a(x h)22. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“ h值正右移，負(fù)左移； k值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”ax2 bx c變成方法 y ax2

4、 bx c沿y軸平移 向上（下）平移 m個(gè)單位，yy ax2 bx c m (或 y ax2 bx c m)2y ax bx c沿軸平移：向左（右）平移2m個(gè)單位，y ax bx c變成a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2b(x m) c)三、二次函數(shù)yax2bxc的比較從解析式上看,2 axbxc是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即b2a24acb4a，其中2b 4ac b h, k2a4a四、二次函數(shù)2 axbxc圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法:ax2 bx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h)2其開口方向、選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與利用配方法將二次函數(shù)y對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然

5、后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖y軸的交點(diǎn)0, c、以及0, c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)k ,確定一般我們與x軸的交點(diǎn)Xi , 0 , 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):X2 , 0 （若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).五、二次函數(shù)y ax2 bxc的性質(zhì)1當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x氏，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac b22a 4a當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x2a世時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x玄時(shí),y有最小值4ac b24a2當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2ab 4ac b22a 4ax有最:時(shí)，y隨x的增大而增大；

6、當(dāng)x2a24ac b大值4aA時(shí)，2ay隨x的增大而減小；當(dāng)x 時(shí)，y2a六、二次函數(shù)解析式的表示方法1.2一般式：y ax bx c ( a , b,c為常數(shù)，a 0);2.頂點(diǎn)式：y a(x h)2 k ( a, h,k為常數(shù),a 0);3. 兩根式：y a(x xj(x X2) ( a 0, xi , x是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)). 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交 點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次

7、項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越大；當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越大. 總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小.2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸.在a 0的前提下,0時(shí)，_b_2a0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè);0時(shí)，b2a0，即拋物線的對(duì)稱軸就是 y軸；0時(shí)，_b_2a0 ,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，2

8、a0 ,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè);當(dāng)b0時(shí)，b0 ,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，b0，即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的左側(cè).2a總結(jié)起來，在a確定的前提下,b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側(cè)則ab 0 ,概括的說就是“左同右異”總結(jié):3. 常數(shù)項(xiàng)c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ；0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來，c決定了拋物線與 y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a , b, c都確定，那么這條拋

9、物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便.一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式八、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1關(guān)于x軸對(duì)稱y2 axbxc關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2 bx c ；ya x2 hk關(guān)于

10、x軸對(duì)稱后，得到的解析式是2y a x hk ；2.關(guān)于y軸對(duì)稱y2 axbxc關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y ax2 bx c ；ya x2 hk關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是2y a x hk ；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y ax2 bx c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2 bx c ；2y a x hk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 ）2y ax2 bx c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2 bx c ；2a2 2 y a x hk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y a x h k .5. 關(guān)于點(diǎn)m, n對(duì)稱2a x h 2m2n k因此a選

11、擇合適2y a x h k關(guān)于點(diǎn) m, n對(duì)稱后，得到的解析式是y根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換， 拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向， 再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.二次函數(shù)圖像參考:2【例題精講】元二次函數(shù)的圖象的畫法1 2【例1】求作函數(shù)y x2 4x 6的圖象21 212【解】y x 4x 6 (x 8x 12)2212 2 12 2-(x4)-4-(x4) -22 2以x 4為中間值，取x的一些

12、值，列表如下:x76-54-321y52032232052【例2】求作函數(shù)y x2 4x 3的圖象。2 2【解】y x 4x 3 (x 4x 3)2 2(x2)7(x2)7先畫出圖角在對(duì)稱軸 x2的右邊部分，列表x-2-1012y76543【點(diǎn)評(píng)】畫二次函數(shù)圖象步驟：(1)配方；(2)列表；(3)描點(diǎn)成圖；也可利用圖象的對(duì)稱性，先畫出函數(shù)的左(右)邊部分圖象，再利用對(duì)稱性描出右(左)部分就可。二、一元二次函數(shù)性質(zhì)2【例3】求函數(shù)y x 6x 9的最小值及圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求它的單調(diào)區(qū)間。2 2 2【解】 y x 6x 2 x 6x 9 7 (x 3)7由配方結(jié)果可知：頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,

13、7)，對(duì)稱軸為x 3 ;1 0當(dāng) x3 時(shí)，ymin 7函數(shù)在區(qū)間（，3上是減函數(shù)，在區(qū)間3,）上是增函數(shù)。【例4】求函數(shù)y 5x2 3x 1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值。2 2b33 4ac b 4 ( 5) 1 3292a 2(5)10， 4a4 ( 5)20一 3 29函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一，），對(duì)稱軸為x10 205 0當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)取得最大值10函數(shù)在區(qū)間（，?上是增函數(shù)，在區(qū)間3,102920y maz2920）上是減函數(shù)。文檔【點(diǎn)評(píng)】要研究二次函數(shù)頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時(shí)，方法有兩個(gè):（1）配方法；如例3（2）公式法：適用于不容易配方題目（二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù) ）

14、如例4 ,可避免出錯(cuò)。任何一個(gè)函數(shù)都可配方成如下形式:a(x *2a4ac b /(a4a0)【二次函數(shù)題型總結(jié)】1. 關(guān)于二次函數(shù)的概念2例1 如果函數(shù)y (m 3)xm 3mmx1是二次函數(shù)，那么m 的值2 _ _ 、例2 拋物線y x 2x 4的開口方向是2. 關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象對(duì)稱軸是X=1例3 函數(shù)y ax bx c（a 0）的圖象如圖所示,則a、b、c, a b c, a b c的符號(hào)例4已知a b + c=0 9a + 3b + c=0,則二次函數(shù)y=ax 2 + bx + c的圖像的頂點(diǎn)可能在（ ）（A）第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限 （D）第二或

15、第三象限3. 確定二次函數(shù)的解析式例5已知:函數(shù)y2 axbx c的圖象如圖:那么函數(shù)解析式為(A)y2 x2x3(B) y x22x 3(C)y2 x2x3(D) yx22x 34. 一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像綜合考查例6已知一次函數(shù)y=ax+c 二次函數(shù)y=ax 2+bx+c（a工0）,它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的大致圖象是（）AC例7如圖：ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AB在X軸上，點(diǎn)C在第一象限，AC與Y軸交于點(diǎn) D，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1 , 0） （1 ）求B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線y ax2 bx c經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)，求它的解析式;10【練習(xí)題】-6、選擇題1. 二次函數(shù)yA.(2

16、, 11)2. 把拋物線y4x7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2x2向上平移2A. y 2(x 1)B. ( 2 , 7)1個(gè)單位,y 2(x23.函數(shù)y kx k和yB.-(kxC. (2, 11 )得到的拋物線是(2 21) C. y 2x)1 D.D.(2，- 3 )2x20）在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的）x 3時(shí)，函數(shù)值相等0當(dāng)y 2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是； 4a bA.1個(gè)5.已知二次函數(shù)由圖象可知關(guān)于B.2個(gè)ax2 bxC. 3個(gè)D. 4個(gè)c（a 0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1 , -3.2 ）及部分圖象（如圖）,2元二次方程 ax bx c 0的兩個(gè)根分別是捲1.3和X2A. 1 .36

17、.已知二次函數(shù)yA第一象限B.-2.3C.-0.3D.-3.3ax2bx c的圖象如圖所示，則點(diǎn)（ac,bc）在（B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn) 第四象限7方程2x x2-的正根的個(gè)數(shù)為()xA.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)3個(gè)8.已知拋物線過點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C,且 OC=2.則這條拋物線的解析式為A. y xx2B.yx x 2C. y x2x2或2小yx x 2D.y2 2x x 2 或 y x x 2二、填空題9 .二次函數(shù)y2 xbx3的對(duì)稱軸是x2，則b_10 .已知拋物線y=-2 (x+3 ) 2+5 ,如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是 11 . 一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點(diǎn)(一 1 , 2),當(dāng)x v 0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 (只寫一個(gè)即可)。212 .拋物線y 2(x 2)6的頂點(diǎn)為C,已知直線y kx 3過點(diǎn)C,則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 。2 213.二次函數(shù)y 2x 4x 1的圖象是由y 2x bx c的圖象向左平移1個(gè)單位，再向 下平移 2 個(gè)單位得到的 貝H b= ,c=。14 如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中