一維方勢阱中粒子的能量本征值

1、一維方勢阱中粒子的能量本征值王雅楠赤峰學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院，赤峰024000摘要：量子力學(xué)教學(xué)中一個基本的問題是用薛左譴方程處理一維方勢阱中運動的粒子， 關(guān)鍵詞：1一維勢場中粒子的能量木征態(tài)的一般性質(zhì)設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢場y（ I）中（考慮左態(tài)的情況下）的能量本征方程為（1）在上式中，V（x）=（x）（實數(shù)值）：F為能量本征；v仃）為相應(yīng)的能量本征態(tài)。以下是該方程的解，即能量本征態(tài)的一般性質(zhì)：泄理一：設(shè)y（I）施能雖本征方程（1 ）的一個解，對應(yīng)的能量本征值為f ,則卩*（工）也是方程（1）的一個解，對應(yīng)的能量也是F。泄理二：對應(yīng)于能量的某個本征值i，總可以找到方程（1 ）的一組實解

2、，凡是屬于！ 的任何解，均可表示為這一組實解的線性疊加。泄理三：設(shè)具有空間反射不變性，V（-x） = V（x）o如y （i）是方程（1 ）的對應(yīng)于能量本征值F的解，則卩（-X）也是方程（1 ）的對應(yīng)于能量的解。泄理四：設(shè)則對應(yīng)于任何一個能量本征值i，總可以找到方程（1）的一組解（每個解都有確泄的宇稱），而屬于能量本征值！的任何解，都可用它們來展開。V x cv左理五：對于化-K）有限的階梯形方位勢U（x）彳；能量本征函數(shù)y I： I）及其導(dǎo)數(shù)v（x）必泄是連續(xù)的（但如果|V; - V, |X ,則圧理不成立）?；吕砹簩τ谝痪S粒子，設(shè)*（x）與孫】（X）均為方程（1）的屬于同一能量F的解，X屮

3、 (x)屮;(x)屮2(A)屮:(%)=常數(shù)(與J無關(guān))。立理七：設(shè)粒子在規(guī)則勢場V (!)中運動(丫仃)無奇點)，如存在朿縛態(tài)，則必泄不簡并。2方勢方勢阱是指如圖所示一種理想的勢能位形，當電子處在這樣的一個勢能的阱中時，其能 量將產(chǎn)生量子化，即只可取一些分立的值，相應(yīng)于這樣的一些能疑值！，I : , I .的 波函數(shù)仙(x),卩？仃)，p ,(I),的形狀也將不相同。3理論推導(dǎo)并計算各種一維方勢阱的能量木征值3.1理論推導(dǎo)并計算一維無限深方勢阱的能量本征值所謂一維無限深方勢阱，就是粒子在勢阱中的勢能為零，而在勢阱外勢能等于無限大一種情況是一維非對稱無限深方勢阱，即UU0C00X質(zhì)量為W的粒子

4、只能在OWVQ的區(qū)域內(nèi)自由運動，勢能函數(shù)為:i/j（ （jc） ）=AaiiAx4siiAtz=定態(tài)薛左譴方程為:令代入薛左帶方程得:此方程的通解為：由于阱壁無限髙，所以0(0) = 0 以町=0y=o（1） yteu6/） ）-Eaoz） ）=o &由式（1）得F二0波函數(shù)為：由式(2)得:OCVZ4當-Va時,當Ovxva時，0（x） = O ；3=即TjncbckLl=H7T于是即由此得到粒子的能量本征值:另一種情況是一維未UcoUco質(zhì)呈為的粒子只能在卜卜的區(qū)域內(nèi)自由運動，勢能函數(shù)為:0,立態(tài)薛左譴方程為:阱外：阱內(nèi)：當卜|2丄時，當|i| 7時，令代入薛左譴方程得:0（x） = O ；_匚竺=砂2m cbc此方程的通解為:i和8不能同時為零，因此，得到兩組解:cos k (2丿sin(i) = 0由此可解得:!ci=7Z；歹?對于第一組解，丨為偶數(shù)：對于第二組解，r為奇數(shù)由此可得體系的能量為:Saar3. 2理論推導(dǎo)并計算一維有限深方勢阱的能量本征值3. 3理論推導(dǎo)并計算一維不對稱方勢阱的能量本征值3. 4理論推導(dǎo)并計算半壁無限高勢場的能量本征值由于阱壁無限髙，所以V y=0a=0 (1)-ylsin+Bcosf Jj匕丿=0A sin