概率論第一章習(xí)題解答.

1、1. 寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間：1) 記錄一個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(以百分制記分)；2) 一個口袋中有5個外形相同的球，編號分別為 1、2、3、4、5,從中同時 取出3個球；3) 某人射擊一個目標(biāo)，若擊中目標(biāo)，射擊就停止，記錄射擊的次數(shù)；4) 在單位圓內(nèi)任意取一點，記錄它的坐標(biāo).解：1)設(shè)小班共有n個學(xué)生，每個學(xué)生的成績?yōu)?到100的整數(shù)，分別記為nZ XiX1,X2,Xn，則全班平均分為X =- ，于是樣本空間為nS 二0丄,2, ,100n=-|i =0,1,2,3/ 100nn n n n2) 所有的組合數(shù)共有Cf -10種，S 二123,124,125,134,135,145,

2、234,235,245,3453) 至少射擊一次，S二1,2,3,4) 單位圓中的坐標(biāo)(x,y)滿足 X2 y2 : 1， S =( x, y) | x2 y2 ： 12. 已知 A B，求 P(A)，P(AB)， P(AB)和 P(AB). 解 P(A) =1 P(A) =1 一P(AB) =P(A) =0.3 (因為 A B )P(AB)二 P(AB) =P(B)=0.5 (因為 Au B，貝U Be A)3. 設(shè)有10件產(chǎn)品，其中6件正品，4件次品，從中任取3件，求下列事件的概率：1) 只有一件次品；2) 最多1件次品；3) 至少1件次品.解1 )設(shè)A表示只有一件次品，P(A) = C4

3、C6 .或者只有一件次2)設(shè)B為最多1件次品，則表示所取到的產(chǎn)品中或者沒有次品,+CC2C0C3品,P(BCTC103)設(shè)C表示至少1件次品，它的對立事件為沒有一件次品,c3P(C)十 P(C) =1 說C104. 盒子里有10個球，分別標(biāo)有從1到10的標(biāo)號，任選3球，記錄其號碼.(1) 求最小號碼為5的概率.(2)求最大號碼為5的概率.解1)若最小號碼為5,貝U其余的2個球必從6, 7, 8, 9, 10號這5個球中取得則它的概率為急冷2)若最大號碼為5,則其余的2個球必從1, 2,3, 4號這4個球中取得則它的概率為C0 =205. 有a個白球，b個黑球，從中一個一個不返回地摸球，直至留在

4、口袋中的球 都是同一種顏色為止.求最后是白球留在口袋中概率.解 設(shè)最后留在口袋中的全是白球這一事件為A,另設(shè)想把球繼續(xù)依次取完，設(shè)取到最后的一個球是白球這一事件為 B,可以驗證A=B 顯然P(B)二一J a +b6. 一間學(xué)生寢室中住有6位同學(xué)，求下列事件的概率：1) 6個人中至少有1人生日在10月份；2) 6個人中有4人的生日在10月份；3) 6個人中有4人的生日在同一月份.(假定每個人生日在同各個月份的可能性相同)解1 )設(shè)6個人中至少有1人生日在10月份這一事件為A;它的逆事件為沒 有一個人生日在10月份，生日不在10月份的概率為11 ,則1211 6P(A)-P(A)-(爲(wèi))122)

5、設(shè)6個人中有4人的生日在10月份這一事件為B,則P(B)二G4(2)4(11)2.3) 設(shè)6個人中有4人的生日在同一月份這一事件為C.則414 112P(C) =12P(B) =12C6(穢(石)7. 甲乙兩人獨立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為和，現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，問由甲射中的概率為多少？解設(shè)A和B分別表示甲和乙射中。C表示目標(biāo)被射中，則P(C)二 P(A B)二 P(A) P(B)-P(AB) =0.6 .P(A|C)二P(AC)PC)8. 某商店出售的電燈泡由甲、乙兩廠生產(chǎn)，其中甲廠的產(chǎn)品占60%乙廠的產(chǎn)品占40%.已知甲廠產(chǎn)品的次品率為4%乙廠產(chǎn)品的次品率5%. 一位顧客隨 機(jī)地取

6、出一個電燈泡，求它是合格品的概率.解 設(shè)A和B分別表示電燈泡由甲廠和乙廠生產(chǎn)，C表示產(chǎn)品為合格。則 P(C)二 P(A)P(C | A) P(B)P(C | 9. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今從男女為數(shù)相等的 人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率多少？解 設(shè)挑選到的人為男性和女性分別為 A和Bo另設(shè)某人是色盲患者為C。由已知1條件，P(A)=P(B匕，P(C|A)“05 ； PQB)0025.則 p(A|C)P(A)P(C|A)O5 O05P(A)P(C | A) +P(B)P(C | B) 0.5x0.05 + 10. 甲、乙、丙三人獨立地向一

7、敵機(jī)射擊，設(shè)甲、乙、丙命中率分別為0.4 , 0.5 , 0.7 ,又設(shè)敵機(jī)被擊中1次，2次，3次而墜毀的概率分別為，1.現(xiàn) 三人向敵機(jī)各射擊一次，求敵機(jī)墜毀的概率.解 設(shè)敵機(jī)被擊中1次，2次，3次的事件分別為A, B，C.敵機(jī)墜毀的事件為D。則 P(D | A) =0.2; P(D | B) =0.6; P(D |C) =1P(A) =0.4 (1-0.5)(1 -0.7)(1 -0.4) 0.5 (1 - 0.7)(1 - =P(B)=0.4 0.5 (1 0.7)0.4 (1 0.5) 0.7(1 -0.4) 0.5 0.7 =P(C) =0.4 0.5 0.7 =P(D)二P(A)P(

8、D| A) P(B)P(D| B) P(C)P(D|C) =0.36 0.20.41 0.6 0.14 1-11. 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4. 問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？解 三人譯出密碼分別記為 A, B, G則A B C即為所求事件(三人中至少有 一人能將此密碼譯出)。它的對立事件為ABC。又因為各人譯出密碼是相互 獨立的，貝U P(A B C) =1 _ P(入BC) =1 _(1 _1/5)(1 _1/3)(1 _1/4) =12. 甲袋中裝有n只白球、m只紅球；乙袋中裝有N只白球、M只紅球.今從 甲袋中任意取一只球放

9、入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球，問取到白球的 概率是多少？解 設(shè)從甲袋中取出白球記為 A，從乙取出白球記為BoP(B)二 P(A)PB| A) P(A)P(B| A)n N 1 m Nn(N 1) mNT=m nN M 1 m nM N 1 (m n )(M N 1)13. 做一系列獨立的試驗，每次成功的概率為p，求在成功n次之前已經(jīng)失敗了m次的概率.解根據(jù)題意，試驗在第n+m次是成功的(記為A)，前n+m-1次中有m次是失敗 的(記為B)o而前n+m-1次中有m次失敗是一個二項分布 B (n+m-1,1-p ), 所求概率為P(AB)二 P(A)P(B)二 pcmz(1- p)mp2 二

10、*2(1 - p)mpn14. 甲給乙打電話，但忘記了電話號碼的最后1位數(shù)字，因而對最后1位數(shù)字就 隨機(jī)地?fù)芴枺魮芡暾麄€電話號碼算完成1次撥號，并假設(shè)乙的電話不占線.(1)求到第k次才撥通乙的電話的概率；(2)求不超過k次而撥通乙的電話 的概率.(設(shè)210)解1 )該問題相當(dāng)于在09這十個數(shù)字中不放回抽樣，第k次正好抽到所需的數(shù) 字這一個問題。根據(jù)抽簽與次序無關(guān)的結(jié)果，第k次抽到的概率為1/10 o2)第二個問題相當(dāng)于一次性地抓了k個數(shù)字，所需數(shù)字正好在所抓的數(shù)字中這樣一個問題。由于每個數(shù)字都是等可能被抽到，所需數(shù)字落在所抓數(shù)字中 的概率與所抓的數(shù)目k成正比。設(shè)Ak表示所需數(shù)字在所抓的k個數(shù)

11、字中,P(AJ =kC，其中 C為常數(shù)。P(Ai) =1/10(或 p(A0) =1)可得出 C=1/10。所以 P(AJ =k/1015. 將3個小球隨機(jī)地放入4個盒子中，求盒子中球的最多個數(shù)分別為1,2, 3的概率.解3個球隨機(jī)放入4個盒子共有43種放法。盒子中最多個數(shù)為1,相當(dāng)于4個盒 子中分別有1，1，1，0個球，這種情形的放法共有C：3!種(選一個空盒有41種選法，剩下的每盒有一個球相當(dāng)于全排列)。故P(AJ=卑 =?43 8盒子中最多個數(shù)為3,相當(dāng)于4個盒子中有一個盒子中有3個球，其它3個盒子C11沒有球。它的放法共有C：種(選一個盒子，放入3個球)。故P(A2)= 7416盒子中

12、求的最多個數(shù)為2相當(dāng)于排除以上2種情況而剩下來的情形。P(A2) =1 -P(AJ -P(A3) =1 -3/8 -1/16 =9/1616. 設(shè)有一傳輸信道，若將三字母 A, B, C分別輸入信道,輸出為原字母的概率 為輸出為其它字母的概率為(1-)/2,現(xiàn)將3個字母串AAAA, BBBB, CCC(分別輸入信道,輸入的分別為P1, P2, P3,且P1 + P2+P3 = 1,已知輸出字母串 為ABCA,問輸入為AAAA的概率是多少？(1 一 ：)(1 一 ：)圧2(1 一 ： )2解 P(ABCA| AAAA)：3(1a)(1一。)(1一0() a(1 _ot)P( ABCA | BBB

13、B):2 2 2 8(1a)(1G)(1a) a(1o()3P( ABCA | CCCC )=P(AAAA| ABCA)二P(AAAA)P(ABCA | AAAA)P(AAAA)P(ABCA| AAAA) P( BBBB)P(ABCA | BBBB) P(CCCC )P( ABCA | CCCP12 2:(1 :)4:-2(1 _ ： )2P133：(1 - ：)用(1 - -)P2( 8)P3 丄L2嚇(3： _1)5 (1_：)17. 證明：若P(A|BHP(A| B),則事件A與B相互獨立.證明：P(A|B)-巳旦，P(A|B)二 P(AB)，所以 P(AB)P(B P(B)P(AB) P(B)P(B)即 P(AB)1 P(B) =P(B)P(A) P(AB)即 P(AB) =P(A)P(B)18. 某地區(qū)約有5%勺人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒,求該地區(qū)某校一個班的50名學(xué)生 中至少有一人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒的概率解 設(shè)A為學(xué)生攜帶有乙肝病毒，.不攜帶有乙肝病毒為A，, 50名學(xué)生中至少有一人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒的對立事件是50名學(xué)生都不攜帶有乙肝病毒，P( 50名學(xué)生都不攜帶有乙肝病毒)=50 o 所以P (50名學(xué)生中至少有一人體內(nèi)攜帶有乙肝病