D111對弧長和曲線積分21344PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D111對弧長和曲線積分對弧長和曲線積分21344AB弧段為AB , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” kkkks),(可得nk 10limM為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共24頁設(shè) 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有界函數(shù), kkkksf),(都存在,),(zyxf上對弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對 的任意分割局部的任意取點, 是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函

2、數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和對機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共24頁kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是閉曲線 , 則記為.d),(Lsyxf則定義對弧長的曲線積分為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問Ls(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).第3頁/共24頁szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數(shù))szyxfd

3、),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共24頁tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22基本思路基本思路:計算定積分轉(zhuǎn) 化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共24頁, ,1kkktt點),(kktt

4、tskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續(xù)注意)()(22tt設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為), 1 ,0(nktk對應(yīng)參數(shù)為 則,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共24頁xdydsdxyoLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當(dāng)于“換元法”. 因此機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第

5、7頁/共24頁),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共24頁,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點 B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121

6、上點 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共24頁2的圓弧 L 對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖,RxyoLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22R)cossin(3 R則 )(sincos:RyRxL機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共24頁,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rr

7、r402dcos4a222a,2cos:22arLyox機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共24頁,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共24頁,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312a

8、a2312332asy d2sz d2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共24頁0)1()1(2222zyxazyx計算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 則sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圓的形心在原點, 故0XaX22, 如何機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共24頁d d s,d)(222szyxI其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參

9、數(shù)方程 21cos2x sin2y則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共24頁cosRx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkRRoxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk2故所求引力為),(yx,sinRy 求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. RkRkF2,4機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共24頁1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),

10、() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)Lszyxfd),(),(為常數(shù)szyxgLd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共24頁 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共24頁1. 已

11、知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)432(22提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12o22yx3利用對稱性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共24頁,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關(guān)于 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量;zI(2) 求它的質(zhì)心 .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的質(zhì)量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共24頁syLd22kaa20dsintt0szLd22kak20dtt2222kak故重心坐標(biāo)為),0,0(k作業(yè)作業(yè)P131 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共24頁xyo1. 設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線, ar 0及4所圍區(qū)域的邊界, 求seICyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提示: 分段積分xeIaxd0d40aeaxeaxd2202機動 目錄