基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

1、3. 2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法是:(2)求函數(shù)的增量與自變量Ax求函數(shù)的增量Ay二于(兀+ 3 /說(shuō)明:上面的方法 中把X換X。即為求 函數(shù)在點(diǎn)X。處的導(dǎo) .Ax(3)求極限，得導(dǎo)函數(shù)y = /r(x) = lim 心 Ax說(shuō)明:上面的方法中把X換X。即為求函數(shù)在點(diǎn)X。處的 導(dǎo)數(shù).2 函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)廣(心)就是導(dǎo)函數(shù)廣在x= X。處的函數(shù)值，即八如二廣匚這也是求函數(shù)在點(diǎn)X。 處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。3 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y= f(x)在點(diǎn)P(x ,f(x。)處的切線的斜率.4 求切線方程的步驟：(1) 求出函數(shù)在點(diǎn)X。處的變化率廣(x0),得

2、到曲線 在點(diǎn)(Xo,f(x。)的切線的斜率。(2) 根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，即y-f(x=f(xx-xQ根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以得出一些常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:1）函數(shù)y=f（x）=c的導(dǎo)數(shù).解：尸/二 C,Ay = /（兀+ 心）-才（兀） = C-C,G = O, Ax.f = C=lim 殳=0.心to Ax公式1: C = O （C為常數(shù)）.2)函數(shù)y=f(x)=x的導(dǎo)數(shù).因?yàn)锳y - /（兀+心）-/（兀）AxAx所以 y = lim = lim 1 = 1，AttO x 心0x +Ax-x-Ax1，若，=兀表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，貝Uy 為某物體的瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng)。1可以解釋

3、3)函數(shù)y=f(x)=：x2的導(dǎo)數(shù).因?yàn)?Ay _ /(x+Ax) - /(X)_ (x + Ax)2 - x2AxAxAx 鼻.M鼻x2 + 2x Ax + (Ax)2 一兀$Ax = 2x + Ax,所以 y 二 lim 0 = lim(2x +Ax) = 2x.Ax-O yy AvtO1 1x +Ax xAxJ).-1+ xAxx24)函數(shù)y=f(x)= |的導(dǎo)數(shù).因?yàn)?Ay /(x+Ax)-/(x) AxAx_ x-(x +Ax) _1x(x + Ax) Ax x2 + x Ax 所以 y =limG=lim(；AxtO 人工 Ax0 -工請(qǐng)同學(xué)們觀察下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：亠* f q J表

4、示y=x圖象上每一點(diǎn)處的切線2) y = /(x) = x. y霽率都勿3) y = f (%) = %2, y1 = 2x 八丿7*這又說(shuō)明什么？4) y = f(x) = -, y =7xx公式2: (xny = nxn1 (neQ).請(qǐng)注意公式中的條件是但根據(jù)我們所掌握 的知識(shí)，只能就 e N*的情況加以證明這個(gè)公式稱為 幕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式事實(shí)上n可以是任意實(shí)數(shù).例1.己矢口y =1）求/;2）求曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線方程.解：1） Ay 二 a/x +Ax -/x = 一 亍 Pj=:.yf = lim 二 limAxtO / y Axt01 _ 1 J兀 + Ax + a/72x2

5、)切線方程:y-l = -Cx-i).即：y二-兀+-2TA.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則I.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: 公式 1 若f （x） = 貝 0/ x） = 0;公式2若才（兀）=才：貝I/ （兀）=nxnl;公式3 若/(x) = sin X.貝0/ x) = cos x; 公式4若/ (%) = cos x,貝I/ (X)= sin x;公式5若/(x) = a 貝I/ G) = ax lna(a 0);公式 6 若f（x） = exMfx） = K;公式7.若f （兀）=log“ 兀，貝U/ （兀）=一-（a 0,且a 工 1）; xlna公式8.若f （兀）=In

6、兀,貝1廣（兀）=丄；X練習(xí)1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)尸 尸飯(3)尸2人(4)y=log2X1 2 M =?3* 7(1) =-2x3(3)y = 2xln2點(diǎn)評(píng)求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟是先求導(dǎo)函 數(shù)，再代入變量的值求導(dǎo)數(shù).練習(xí)2：已知夬兀)=丄，且f (1) = 求.nrsxn=3TJ價(jià)了鑼僦: 元）與時(shí)間t（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系:灣國(guó)家20年期間的年均通貨膨脹率為5%,物 m爭(zhēng)、匕/吉.、右內(nèi)門卞鬲冊(cè)玄 加）訓(xùn)（1+5%/其中P。為t=0時(shí)的物杯.假定某種商品的Po=1,那么 在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多 少（精確到0. 01） ?.解 p（r） = lx（l + 5

7、%X=1.05f .卩（/）二 1.05F1.05 （10）二105111105”008（元/年）.答:在第2個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度 約0. 08元/年.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:法則1 :兩個(gè)函數(shù)的秋差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)的和(差)，即：法則2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 乘第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即：，/*(兀)g(x)二廣(x)g(x)+/(x)g(x)法則3:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)，減去第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 再除以第二個(gè)函數(shù)的平方即：廣(x)g(x)-/(x)gXx)(g工0)曲)5284M日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過(guò)凈化的，隨 著尢補(bǔ)度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加已知將1噸 水福化到純凈度為X%所需費(fèi)用(單位：元)為(80x(98)=答：純凈度為98%時(shí)，費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是1321元/噸.練習(xí)3 已知/U)的導(dǎo)|fc/U)=3x2-2x+4, K/(0)=2, 求/(兀)解：V/x)=3x2-2x+4,/.可 f(x)=x3-x2+4x+c0)=2，:.c=2./.f(x)=x3-x2+4x+21會(huì)求常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)其中：公式1：