向量在立體幾何中的應(yīng)用 (畢業(yè)論文)

1、向量在立體幾何中的應(yīng)用 中文摘要 立體幾何中的基本思想是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何。為了把代數(shù)運(yùn)算引導(dǎo)幾何 中來(lái)，最根本的做法就是把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化，數(shù)量化。向量代 數(shù)是立體幾何中的應(yīng)用性最好的量，用向量來(lái)證明立體幾何中的點(diǎn)，線，面之 間的位置關(guān)系及其解決度量問(wèn)題顯得明快，簡(jiǎn)捷和容易的方法。 關(guān)鍵詞：向量；方向向量；法向量；點(diǎn)；直線；平面；平行；垂直；夾角。 quadratic curves of the nature of the midpoint string abstract the basic idea is solid geometry with algebra approa

2、ch to studying geometry. in order to put the algebra operations guide geometry, the fundamental way of doing that is to the geometry of the space structure of the system of algebra, quantification. vector algebra is three-dimensional geometry in application of the best quantity, with vector to prove

3、 three-dimensional geometry in points, lines, and relation between the positions of surface and its solving measure problem is lively, simple and easy method. keywords: vector; direction vector; vector method; point; straight line; plane; parallel; vertical; angle. 目目 錄錄 1 引言引言 .- 2 - 2 共點(diǎn)線與共線點(diǎn)共點(diǎn)線與共

4、線點(diǎn) .- 2 - 2.1 共點(diǎn)線問(wèn)題.- 2 - 2.2 共線點(diǎn)問(wèn)題.- 4 - 2.3 共面問(wèn)題.- 5 - 3 垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題 .- 6 - 3.1 線線垂直.- 6 - 3.2 面面垂直.- 8 - 4 平行問(wèn)題平行問(wèn)題 .- 9 - 4.1 線線平行.- 9 - 4.2 線面平行.- 10 - 4.3 面面平行.- 11 - 5 度量問(wèn)題度量問(wèn)題 .- 11 - 5.1 線線角的求法.- 11 - 5.2 線面角的求法.- 12 - 5.3 面面角的求法.- 13 - 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) .- 15 - 致謝致謝 .- 16 - 1 引言引言 幾何中的大多數(shù)是用代數(shù)的方法來(lái)研究，為了

5、把代數(shù)運(yùn)算引導(dǎo)幾何中來(lái)，最根 本的做法就是設(shè)法把空間幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化，數(shù)量化。 立體幾何的基本思想也是代數(shù)的方法來(lái)研究幾何。向量是立體幾何中應(yīng)用性 最活的量。 2 共點(diǎn)線與共線點(diǎn)共點(diǎn)線與共線點(diǎn) 證明共點(diǎn)線與共線點(diǎn)問(wèn)題是立體幾何中的較多證明題之一，用向量來(lái)解決共點(diǎn) 線與共線點(diǎn)問(wèn)題顯得明快，簡(jiǎn)捷和容易入手。下面我們介紹向量法來(lái)解決共點(diǎn) 線與共線點(diǎn)問(wèn)題的基本思路。 2.1 共點(diǎn)線問(wèn)題共點(diǎn)線問(wèn)題 例 1 平行六面體的四條對(duì)角線及思對(duì)對(duì)棱的中點(diǎn)的連線共八條，試證他們必共 點(diǎn)。 證明：如圖 1，設(shè)平行立面體的一組對(duì)棱的中點(diǎn)分別為aobdgefc,bd cg 且連線的中的為,其它三組連線的中點(diǎn)分別為.

6、,m n,m n 1 p 234 ,p p p 再設(shè) ，則 oaa obb occ 1 1 2 opomon 即： 1 1 11 2 22 opodobogoc 1 11 2 22 abbacc 1 2 abc 同理可得： 即 1 2 i opabc 2,3,4i 1234 opopopop 這說(shuō)明， 四點(diǎn)重合。 1234 ,p p p p 最后設(shè) 的連線的中點(diǎn)分別為.,af gb cd oe 5678 ,p p p p 圖 圖 1圖 p1 g c f e o d m n b a 則 1 11 22 opoaofoaoboc 1 2 abc 同理可得 即 。 1 2 j opabc 6,7,8

7、j 5678 opopopop 這說(shuō)明 點(diǎn)重合，于是命題得證。 12345678 ,p p p p p p p p 從這個(gè)例題可以知道，證明共點(diǎn)線問(wèn)題時(shí) 一般采用以下知識(shí)： 第一：平行四邊形法則以及該法則的結(jié)論。 即：（圖 2） 設(shè)，oaa obb 則 ocab 1 2 odoc 所以 1 2 odab 第二：平行六面體法則。 （圖 3） ， oaa obb occ oeoaadde oaoboc abc 這是用平行六面體三個(gè)棱上的向量來(lái)表示它的 對(duì)角線向量。但要注意，這四個(gè)向量具有同一始點(diǎn)。 欲證三直線 共點(diǎn)，可用以下方法： 123 , ,l l l 在三線上任取三點(diǎn)，去證這三點(diǎn)關(guān)于某定點(diǎn)有

8、相同的定位向量。 令其中兩線相交，如 交于點(diǎn),去證點(diǎn)與上的任一的相連而得到的向 12 ,l lpp 3 l 量與直線上某相連共線，或再令交于點(diǎn),去證關(guān)于某定點(diǎn)有相同的 3 l 23 ,l l p pp 定向量。 圖 圖 2圖 b a o b d c a 圖 圖 3圖 c b a b e d c o a 2.2 共線點(diǎn)問(wèn)題共線點(diǎn)問(wèn)題 例 2 【梅涅勞（menelaus）定理】 設(shè) 分別是 邊上（或各 111 ,a b cabca 邊的延長(zhǎng)線上）的三點(diǎn)。 （圖 4） ，試證這三點(diǎn)同在一直線上的充要條件是; (本題中的線段均有向線段)。 111 111 1 accbba c bb aac 證明 設(shè)

9、, ， 1 a aa 1 acb 1 abb 則： ， 11 abaaabba 11 cacaa aab 令 ， 1 acxabxba 1x 于是 1111 aca aacaxba 1xaxb 再令 , 1 cbycay ab 1y 則有 1111 abaccbby ab 1yay b 三點(diǎn)同一直線上的充要條件是向量和向量共線，也就是存在 111 ,a b c 11 ac 11 ab 非零數(shù)，使 k 1111 ackab 即： 11x axbkyaky b 因此有 ， 1xky1xky 消去得 ，k 1 1 xx yy 1 11 xy xy 但 , 1 acxab 11 acc bab 1 x

10、abc bab 所以 ，姑 1 1c bx ab 11 1 x acc b x 因此 ;同理可得 ， 又 1 1 1 acx c bx 1 1 1 cby b ay 11 abac 圖 圖 4圖 b a c1 b1 a1 c b a 所以 ，姑 所以由 1 1 ab ac 1 1 ba ac 1 11 xy xy 即得 證畢。 111 111 1 accbba c bb aac 用向量法來(lái)解決共線點(diǎn)問(wèn)題時(shí)一般采用如下方法： 欲證三點(diǎn)共線，可證其中任意兩點(diǎn)相連得到的兩個(gè)向量共線即可。, ,a b c 2.3 共面問(wèn)題共面問(wèn)題 例 3 設(shè)和是立方體的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)，試證立方體不含和的六條棱的中o o

11、o o 點(diǎn)在同一個(gè)平面上。 證明 設(shè)（圖 5） ， ， ， 是立方體中opa oqb orc , ,a b c a b c 不含和的六條棱的中點(diǎn)。o o 則 ， ， ， 1 2 oaab 1 2 obba 1 2 ocbc ， ， 1 2 oacb 1 2 obca 1 2 ocac 設(shè) 的中點(diǎn)為，則 oos 1 2 osabc 令 的中點(diǎn)為 , aa s 則 11 22 osoaoaabc 這說(shuō)明是線段的中點(diǎn)。s aa 同理可證既為線段和的中點(diǎn)。s bb cc 又 bsosob 11 22 abcba 11 22 abca babc 這說(shuō)明共面，即 共面。,ba bc bs , ,a b c

12、 s 圖 圖 5圖 r c b p c o b q p s o r a a 所以 六點(diǎn)共面。 , ,a b c a b c 上面例題可知，證明若干點(diǎn)共面問(wèn)題時(shí)，只證明這些點(diǎn)所在的直線共線就可以。 3 垂直問(wèn)題垂直問(wèn)題 立體幾何中的垂直問(wèn)題指的是線線垂直，線面垂直，面面垂直等問(wèn)題。用向量 法解決垂直問(wèn)題在立體幾何中比較常用的方法。 3.1 線線垂直線線垂直 若兩直線的方向向量分別為 111 ,ax y z ， 222 ,bxyz 則 這兩條直線垂直的充要條 件是： 12121 2 0abx xy yz z 例 4 ：在單位正方體 中，在一個(gè)面的對(duì)角線 上取點(diǎn)， abcdabc d abm 使;在

13、另一個(gè)面的對(duì)角線上取點(diǎn)，使. 1 3 amabbdn 1 3 bnbd 求證:是和的公垂線。mn abbd 證明：建立空間直角坐標(biāo)系 （圖 6）; , ,a i j k （因?yàn)榇苏襟w是單位正方體） 則（是的方向向量） 11 22 amik 11 ,0, 33 am bd 1 3 aniji 21 33 ij 2 1 ,0 3 3 從而 ，mnanam 1 11 , 3 33 1, 1,0bd 因?yàn)椋琣mmn 111 11 ,0,0 333 33 bd mn 1 11 1, 1,0,0 3 33 由充要條件可知是和的公垂線。2.2 線面垂直mn abbd 圖 圖 6圖 k j i n m d

14、c b a d c b a 平面的方位向量，直線 的方向向量 ，則直線 垂直于的充要條件是：ab ，lv l 。lvavb 且0v av b =0且 例 5 試證如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么它就和平面 內(nèi)任何直線都垂直，即它垂直此平面。 證明： 設(shè)直線與平面的兩個(gè)相交直線n, a b 都垂直（圖 7） 。 設(shè) 是平面內(nèi)的任意直線。c 下面證明內(nèi)的任意直線 垂直，在直線n與c 上分別任意取非零向量，, , ,cn a b, , ,n a b c 依已知條件有所以。,va vb 0,0v av b 又是共面且不共線，所以 可以用, ,a b c ab 與c 來(lái)線性表示，即 。

15、, a b cab 因而 n cnab 0v av b 這表明兩向量垂直，也就是它們所在的直線垂直。nc 與n與c 由 的任意性，直線垂直于平面。cn 3.2 面面垂直面面垂直 兩平面的法向量分為 且, 12 與 12 nn 和 1111 ,na b c 2222 ,na b c 則兩平面垂直的充要條件是： . 21 12 nn 12 0nn 121212 0a ab bc c 圖 圖 7圖 n c b a n c b a 例 6 平行六面體的底下為菱形。 1111 abcdabc dabcd 若 。證明：一雙對(duì)棱所決定的平面 11 a aba ad 垂直于底面（圖 8） 。 11 aac c

16、 證明：因?yàn)槭橇庑?，所以abcdbdac 且 又 abad 11 a aba ad 姑 11 abaaadaa 從而 1 0adabaa 即 因此 1 0bdaa 1 bdaa 說(shuō)明垂直平面，而底面過(guò)，bd 11 aac cbd 所以平面與底面垂直。 11 aac c 4 平行問(wèn)題平行問(wèn)題 立體幾何中的平行問(wèn)題指的是線線平行，線面平行與面面平行問(wèn)題。我們一般 用兩向量的平行關(guān)系來(lái)證明平行問(wèn)題。 兩向量平行的充要條件是它們的向量積為零向量， a b 0a b 或 。ab 4.1 線線平行線線平行 若直線 通過(guò)點(diǎn)，方向向量為；直線通過(guò)點(diǎn)，方向向量為 ， 1 l 1 p 1 v 2 l 2 p 2

17、v 圖 圖 8圖 d1 c1 b1 a1 d c b a 設(shè)， ， ， 1111 ,p a b c 2222 ,p a b c 1111 ,vx y z 2222 ,vxyz 則兩直線平行的充要條件是：或 1 v 2 v 12 p p 111222 :xyzxyz 212121 :aabbcc 例 7 已知：，3240amnp 182bxmnyp 且不共面。若，求 的值。, ,m n p a b , x y 解： ，且，a b 0a ba 即 。182xmnyp 324mnp 又因?yàn)?，解得 182 324 xy 13,8xy 4.2 線面平行線面平行 設(shè)直線 的方向向量為 ，平面的法向量為，

18、則直線 與平面平行的充要條lv n l 件是： l0n v 設(shè) ，則 , ,vx y z , ,na b c l0axbycz 例 8 （如圖 9）在長(zhǎng)方體中，分別是的中點(diǎn)， 1111 abcdabc d,e p 11 ,bc a d 分別是的中點(diǎn)。,m n 1 ,ae cd ， 1 adaaa2aba 求證：平面 .mn 11 add a 證明：建立以為原點(diǎn)，d 為的空間直角坐標(biāo)系， 1 ,da dc dd,xyz軸軸軸 則 ，,， ,0,0a a,2 ,0b aa0,2 ,0ca 1 ,0,a aa 1 0,0,da 圖 圖 9圖 c1 p d1 b1 a1 d c e b a m n 分

19、別是的中點(diǎn)。 , ,e p m n 111 ,bc ad ae cd ， ,2 ,0 2 a ea 3 ,0, ,0 24 aa pama 0, , 2 a na 即：,平面的法向量 3 ,0, 42 aa mn 11 add a0,1,0n ，且 姑 。 0mnn 11 mnadd a平面 mn11 add a平面 4.3 面面平行面面平行 兩平面 ，它們的法向量分別為。 12 與 12 ,n n 設(shè) ,則兩平面平行的充要條件是： 1111 ,na b c 2222 ,na b c 1 2 1 n 2 n 121212 :aabbcc 在平行六面體 中（圖 10） ，球證： abcdabc

20、d 平面與平面平行。 ab d bc d 證明： 設(shè) ， 則 ， ,aba adb aac abac adbc 姑 abad acbc a ba cb c 又 , bdba dcac 所以 bddc baac b ab c a c a ba cb c abad 這說(shuō)明兩平面垂直同一條直線，所以平面和平面平行。 ab d bc d 圖 圖 10圖 b a c d c b a d c b a 5 度量問(wèn)題度量問(wèn)題 立體幾何中的度量問(wèn)題是典型性問(wèn)題，我們把向量引導(dǎo)立體幾何后，用血量之 間的夾角來(lái)解決線線，線面，面面之間的角。 5.1 線線角的求法線線角的求法 兩直線的方向向量之間的角就是兩直線之間的

21、角。如果的方向向量依次為 12 ,l l ，并設(shè)之間的角為，則：或 于是： 12 ,v v 12 ,l l 12 ,v v 12 ,v v 設(shè) ， 12 coscos,v v 12 12 vv v v 1111 ,vx y z 2222 ,vxyz 則有： 12121 2 222222 111222 cos x xy yz z xyzxyz 例 10： 將一正方形折成正三棱柱， 試求正方形的對(duì)角線所折成的角。 解： （如圖 11） 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 3， 則折成的正三棱柱的底邊 是邊長(zhǎng)為 1 的正三角形，其高為 3. 原正方形的對(duì)角線折成一條 折線 ,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，defb 則 ，,

22、 13 1,0,1 ,2 22 ef 0,0,3b 所以 1,0,1eo , , 13 ,1 22 efofoe 13 ,1 22 ebobof 2eoeffb cos,0.25 efeo eo ef eo ef cos,0.25 effb ef fb fb ef 圖 圖 11圖 z y x f e o b 姑 ,eo efef fb arccos0.25104 29 向量法來(lái)解決夾角問(wèn)題應(yīng)用性較強(qiáng)，準(zhǔn)確度角高的方法之一。 5.2 線面角的求法線面角的求法 直線 的方向向量為 ，平面的法向量為。所為直線 與平面之間的角lv n l 是指直線 和他在上的射影所構(gòu)成的銳角。l 因此 若設(shè) ， 則

23、sincos, n v n v n v , ,vx y z , ,na b c 222222 sin axbycz abcxyz （如圖 12） ，在四棱錐中pabcd 底面為直角梯形，,adbc ,90bad paabcd 底面 且 2paadbc 分別是d 中點(diǎn)。,m n,pc pb 求 與平面所成的角。cdadmn 解： 建立以 a 為原點(diǎn)的 空間直角坐標(biāo)系，且取.1bc 則：,0,0,0 ,0,0,2ap2,0,0 ,2,1,0bc , 所以 ， 1 1,1 2 m 0 2,0d，= 2,0,-2pb = 0,2,0ad =0pbadad pb 又 ，所以的pbdmpbadmn 平面a

24、dmn 平面 法向量為 因?yàn)閚= 1,0 -1 ，=2,1cd，0 222222 sin axbycz abcxyz -210 = 552 圖 圖 12圖 z y x d m n c b a 與平面所成的角.cdadmn 10 arcsin 5 這個(gè)例題可以知道來(lái)向量法解決線面角是靈活性強(qiáng)，應(yīng)用性多的方法。 5.3 面面角的求法面面角的求法 設(shè)依次為平面的法向量，則間的角，即等于平面的 12 n n ， 12 , 12 n n ， 12 n n ， 12 , 二面角的平面角之一。所以我們可把平面的法向量間的角作為平面 12 , 12 n n ， 間的角。于是 ， 設(shè) , ， 則有； 12 , 1111 ,na b c 2222 ,na b c 12 12 12 cos, nn n n n n 121212 222222 111222 a ab bc c abcabc 所以間的角一個(gè)是，另一個(gè)是 。 12 , 12 n n ， 12 n n ， 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，試求它的兩個(gè)面之間的夾角abcd