函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性?xún)?yōu)秀課件

1、第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性 第三三章 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性（2）若在 內(nèi) , 則 在 上單調(diào)減少. ( , )a b( )0fx( )f x , a b（1）若在 內(nèi) , 則 在 上單調(diào)增加;( , )a b( )0

2、fx( )f x , a bxyo)(xfy xyo)(xfy abAB( ) 0f x定理定理1abBA一、一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法( )0fx設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù), 在 內(nèi)可導(dǎo).( )yf x( , )a b , a b說(shuō)明：說(shuō)明： 定理中的閉區(qū)間可以換成其它類(lèi)型的區(qū)間.第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性若定理定理 1)(xf0)( xf則 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減) .證證任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()

3、(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf這說(shuō)明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo),類(lèi)似地可以證明 的情形. ( )0fx設(shè)函數(shù),0)(Ixxf無(wú)妨設(shè)第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性例例1 11cos0,yx 判定函數(shù) 在 上的單調(diào)性0,2 sinyxx因?yàn)樵?內(nèi)(0,2 )解解所以函數(shù) 在 上的單調(diào)增加.0,2 sinyxx解解討論函數(shù) 的單調(diào)性.例例21xyex. 1 xey(,0) ,內(nèi)在, 0 y在 內(nèi)(0,), 0 y:(,

4、).D 又函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)增加.第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 1）如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào) 2）若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的， 則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 3）導(dǎo)數(shù)等于零的稱(chēng)為駐點(diǎn)（或稱(chēng)穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)），駐點(diǎn)可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)說(shuō)明：說(shuō)明： 4）如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 . 例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高

5、等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 5）函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性因此函數(shù)yxO例例3),(,32xxy332xy 0 xy32xy 說(shuō)明：說(shuō)明：),(,3xxy在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)增加.此例表明，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn). 當(dāng)然導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)不一定都是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 3）用上述這些點(diǎn)把定

6、義域分成若干個(gè)互不重疊的子區(qū)間； 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟: 4）考察 在這些子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，并由定( )fx 1）確定函數(shù) 的定義域；( )f x 2）在定義域內(nèi)求出使 的點(diǎn)與 不( )fx( )0fx上述步驟可通過(guò)作表輔助完成.存在的點(diǎn)；理1得出單調(diào)區(qū)間. 注意上述這些點(diǎn)中若有某些點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性一致， 則應(yīng)將兩側(cè)合在一起構(gòu)成一個(gè)單調(diào)區(qū)間.第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性例例431292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間.解解 12186)(2xxxf)2)(1(

7、6xx令,0)( xf得1,2.xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21, ) 1,();,2(12xOy1 2據(jù)此作下表：確定函數(shù)故)(xf的 區(qū)間為單調(diào)增單調(diào)增)(xf的 區(qū)間為).2,1 (單調(diào)減單調(diào)減第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性例例52133( )(2)f xxx的單調(diào)區(qū)間.解解 令,0)( xf得43xx)(xf )(xf(, 0)(0,4 3)(4 3, 2),2(4( ,).3(, 0);12331( )(2)(43 ),3fxxx

8、x易得，又 為 不存在的點(diǎn).0,2xx( )fx據(jù)此作下表：確定函數(shù)故)(xf的 區(qū)間為4(0,).3單調(diào)增單調(diào)增)(xf的 區(qū)間為單調(diào)減單調(diào)減第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性tanxx 令 ,tan)(xxx則x2tan),0(,02x,),0()(2上遞減在x從而0)0()(x即tan0,xx例例6證證2,(0,).x證明在區(qū)間（a, b上 的方法：( )( )f xg x證明亦即tanxx2,(0,).xxx2sec1)(說(shuō)明：說(shuō)明：( )0.F a 1）設(shè) ，證明(

9、)( )( )F xf xg x2）證 .( )0,( , )F xxa b第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性例例720 x時(shí), 成立不等式.2sinxx證證,2sin)(xxxf,2,0()(上連續(xù)在則xf，上可導(dǎo)在)2,0(2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(內(nèi)單調(diào)遞減在因此xf從而2,0(,2sinxxx0)2()( fxf,2)(處左連續(xù)在又xf因此且證明令第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高

10、等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性如何研究曲線的彎曲方向?xyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn),2)()()2(2121xfxfxxf問(wèn)題問(wèn)題:,2)()()2(2121xfxfxxf第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性yOx2x1x221xx 定義

11、定義)(xf在區(qū)間 I 上連續(xù) ,21Ixx(1) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱(chēng)的)(xf圖形是凹凹的;(2) 若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf則稱(chēng)的)(xf圖形是凸凸的 .設(shè)函數(shù)設(shè) 是區(qū)間 I 內(nèi)的點(diǎn)，如果曲0 x線 在經(jīng)過(guò)點(diǎn) 時(shí),00( , ( )x f x( )yf xyOx2x1x221xx yOx拐點(diǎn)曲線的凹凸性改變了, 那么就稱(chēng)點(diǎn)00(,()xf x拐點(diǎn)拐點(diǎn).為這曲線的第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性xyo)(xfy xyo)(

12、xfy abAB遞遞增增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y曲線凹凸性的判定理曲線凹凸性的判定理定理定理2(1) 在 I 內(nèi),0)( xf則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;(2) 在 I 內(nèi),0)( xf則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .)(xf設(shè)函數(shù)在區(qū)間I 上有二階導(dǎo)數(shù)第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性證證,21Ixx兩式相加22!21)(12xx )()(21ff ,0)(時(shí)當(dāng) xf說(shuō)明 (1) 成立; (2) )()(1fxf0 x)(f )(1

13、x!2)(1f 21)(x0 x0 x0 x)()(2fxf0 x)(f 0 x)(2x0 x!2)(2f 22)(x0 x)(2)()(21fxfxf0 x),(2)()(21fxfxf0 x分別取 可得12,xx x20000( )( )( )( )()()2!ff xf xf xxxxx利用一階泰勒公式將在點(diǎn) 展開(kāi)( )fx0 x1202,xxx記第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性判定曲線 在 上的凹凸性.例例80,0,xxyeye(,) xye因?yàn)樵?內(nèi)(,) 解解所以

14、函數(shù) 在 上是凹的.(,) xye解解討論函數(shù) 的凹凸性.例例93yx23,6yxyx(,0) ,內(nèi)在0,y在 內(nèi)(0,)0,y :(,).D 又曲線是凸的；曲線是凹的.yOx3xy 第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性xyO例例104xy 的凹凸性.解解 ,43xy 212xy 時(shí)，當(dāng)0 x;0 y,0時(shí)x, 0 y故曲線4xy 在),(上是向上凹的.說(shuō)明說(shuō)明:1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理, 可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線)(xfy ,0連續(xù)在點(diǎn)

15、x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 兩側(cè)異號(hào),0 x則點(diǎn))(,(00 xfx是曲線)(xfy 的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),判斷曲線第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性例例113xy 的拐點(diǎn). 解解,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在0因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線3xy 的拐點(diǎn) .Oxy凹凸 此例表明二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是凹凸區(qū)說(shuō)明：說(shuō)明：求曲線間的分界點(diǎn)，即在曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可能有拐點(diǎn).第三章第三章 微分中值定

16、理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 3）用上述這些點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)互不重疊 求函數(shù)凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟求函數(shù)凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟: 4）考察 在這些子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，并由定( )fx 1）確定函數(shù) 的定義域；( )f x 2）在定義域內(nèi)求出使 的點(diǎn)與 不( )fx( )0fx上述步驟可通過(guò)作表輔助完成.存在的點(diǎn)；的子區(qū)間；理2得出凹凸區(qū)間. 注意上述這些點(diǎn)中若有某些點(diǎn)兩側(cè)的凹凸性一致，則應(yīng)將兩側(cè)合在一起構(gòu)成一個(gè)凹凸區(qū)間.第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（

17、上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性xxy24362 )(3632xx對(duì)應(yīng)271121,1yy例例1214334xxy的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).,121223xxy2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令0 y得,03221xx3) 列表判別)0,(),0(32),(320320012711故該曲線在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 , 點(diǎn)點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及及),(271132均為拐點(diǎn).上在),0(32凹凹凸32) 1 , 0 (),(271132xyO求曲線y xy解解y 1) 求第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第

18、四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(, 1/5) ( 1/5,0)(0,)解解432(51)9yxx 例例131) 函數(shù)的定義與為 . (,) 32(1)yxx的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).213352,33yxx2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令0 y得11,5x 3) 列表判別1/500365250故該曲線在(, 1/5) 上是凸的,是凹的 ,而 ( 0 , 0 ) 不是拐點(diǎn).( 1/5,)在上凸凹凹且 為二階不可導(dǎo)的點(diǎn).20 x 對(duì)應(yīng)31265,025yy361525(,5) 為拐點(diǎn),點(diǎn)y 下面求求曲線y xy第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)

19、高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性?xún)?nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞增Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上凹凸曲線弧的分界點(diǎn).第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1 ,0上,0)( xf則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示:)(0)(xfxf 單調(diào)增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 設(shè)在利用第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（上上）第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 .),(21)e1,(21212. 2e1xy的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示提示:)21 (e