重慶大學數理統計報告

1、 研究生課程考核試卷科 目： 數理統計 教 師： 姓 名： 學 號： 專 業(yè)： 類 別： 學術 上課時間： 2013 年 3 月 至 2013 年 5 月 考 生 成 績：卷面成績平時成績課程綜合成績閱卷評語： 閱卷教師 (簽名) 重慶大學研究生巷道斷面面積與平均維護費單價之間關系的線性回歸分析摘要：礦井生產全部事件幾乎都是概率型的，生產經驗在實際生產中尤為重要。巷道維護費主要是支護材料費及維修工人工資費。其主要受井巷類別、巷道斷面尺寸、開采深度等影響。本文僅以巷道斷面尺寸為例，利用已知統計數據，進行統計分析，討論巷道維護費與斷面尺寸的關系，建立回歸方程式，形成經驗公式，作為設計時能利用的可靠

2、指標。并以此案例綜合已學課程應用數理統計相關知識，培養(yǎng)獨立思考，提出假設，建立模型，運用統計分析方法和統計軟件求解，對結果加以說明和解釋的能力。一、問題提出，問題分析礦井在建設投入生產前，都要經過復雜繁瑣的地質勘察、資料搜集和分析整理，從而為礦井初步設計提供必須的信息和準備。在初步設計中，一般提出至少三種可供選擇的開拓方案，然后進行技術、經濟比較選出較為合理的方案。在經濟比較過程中，有一項經濟費用指標即為維護費用，而實際的費用只有在礦井實際投產后維護過程中才可以獲知。一般在設計過程中，參考以往的經驗，根據巷道設計的斷面尺寸提出合理的費用值進行計算。如何根據已知設計條件，結合生產經驗中類似的條件

3、，提出貼近實際的巷道維護費用，從而更為合理的篩選設計方案，尤為重要。（1） 問題提出：根據以往的生產條件（即生產經驗數據：以往礦井的巷道斷面尺寸和對應的平均維護費單價（見表1），建立合適的數學模型，現有某礦井設計生產條件（設計數據：如斷面尺寸S），預測其巷道平均維護費單價，從而為方案比較提供可靠依據。（2） 問題分析：在忽略其他條件的影響下，巷道斷面面積與平均維護費單價之間可能存在某一種映射或函數關系，作出散點圖，建立可能的數學模型,通過已知數據，解除未知參數，即確定函數形式。代入給定變量（斷面面積S），求解因變量（維護費單價）的值。表達如下：。二、數據描述（用表格表達數據信息，指出數據來源或

4、提供原始數據）1、已知生產經驗數據：表1 巷道維護費用統計表序號煤質硬度巷道斷面面積（m2）平均維護費單價（元/ma）1硬10.4362中7.8253中7.8324中7.8275硬12.4446軟7.8297硬14.2538軟12.4589中7.81810軟5.213.811中6.613.812硬6.618.313中14.24914中10.434.4表中數據摘自采礦工程專業(yè)教材：礦山開采設計第二篇P145-146，表9-4；2、某礦井設計斷面尺寸。三、模型建立（1）提出假設條件，明確概念，引進參數假設條件：忽略井巷類型、巷道埋藏深度的影響，只考慮巷道斷面尺寸與維護費單價的近似關系；煤的硬度對維

5、護單價的影響看不出規(guī)律，且煤的硬度較小，影響作用遠不及圍巖的影響，因此不予考慮。參數設置：平均維護費單價因變量，觀測值；巷道斷面面積自變量，觀測值。（2）模型構建首先根據數據點作散點圖（見圖1），觀察變量，之間呈何種函數關系，圖1 關于變量、的散點圖根據圖1，從點的分布規(guī)律看，基本呈線性關系，可按一元線性回歸方程處理。可設：，則，（3）模型求解將觀測值，代入模型中，由Gauss使用的最小二乘法，進行求解，得：四、計算方法設計和計算機實現最小二乘法的計算，可以借助許多軟件得以實現，本文利用matlab數學軟件編寫M-腳本文件進行計算：1、讀取數據，繪制、散點圖：x=10.4 7.8 7.8 7.

6、8 12.4 7.8 14.2 12.4 7.8 5.2 6.6 6.6 14.2 10.4;y=36 25 32 27 44 29 53 58 18 13.8 13.8 18.3 49 34.4;scatter(x,y,50);2、計算相關統計量并輸出直線圖像：x_bar=mean(x);y_bar=mean(y);lxy=sum(x-x_bar).*y);lxx=sum(x-x_bar).*x);lyy=sum(y-y_bar).*y);beta1=lxy/lxxbeta0=y_bar-beta1*x_barx1=5:1:15;y1=beta0+beta1.*x1;h=plot(x1,y1

7、,r);y_cal=beta0+beta1.*x;STsquare=sum(y-y_bar).2)SRsquare=sum(y_cal-y_bar).2)SEsquare=sum(y-y_cal).2)五、主要的結論或發(fā)現在matlab窗口中，運行上述程序，得如下運行結果：beta1 = 4.5902beta0 = -10.8466Equation =y=-10.85+4.59*xST_square = 2.7002e+003SR_square = 2.3640e+003SE_square = 336.1672即，=4.59；=-10.85；解出一元線性回歸方程：?？傠x差平方和：；回歸平方和：

8、；殘差平方和：。巷道斷面面積與維護費單價存在這種簡單的線性關系，由經驗而成，若能較為準確的預測實際情況，則可方便用于實際設計生產中，用來初期評估方案的可行性。六、結果分析與檢驗1、檢驗：顯然對任一組數據，都能給出二者間簡單的線性回歸方程，但變量間是否真的存在線性關系，回歸曲線的偏離程度大小，能否表征實際生產情況，就需要對其進行檢驗。否則，回歸直線就失去了實際意義。常用通過以下3種方法檢驗：越大，表征隨的變化的趨勢越明顯。于是問題的統計假設為：1）F檢驗法拒絕域形式為：，即，在成立下有有程序運行得：H0:beta1=0；H1:beta1=0ans =F檢驗： beta12=21.07c1=1.1

9、9,拒絕H0=1.19，落在拒絕域內，接受。2）t檢驗法拒絕域為。程序運行得：t檢驗： |beta1|=4.59c2=1.09,拒絕H0落在拒絕域內，接受。3）r檢驗法采用樣本相關系數：統計假設為：拒絕域：運行程序得：H0:Y與X線性無關；H1:Y與X線性相關ans =r檢驗： |r|=0.94r_0.05=0.532,拒絕H0故相關性顯著。2、預測：通過檢驗可以得知，平均維護費單價與巷道斷面面積之間的線性關系顯著，回歸方程是成立的?？梢宰鳛榻涷灩綉茫瑒t，對當巷道斷面面積，其對應的平均維護費單價=52.5元/（ma）。的置信度的預測區(qū)間：；其中，； 取，計算得：（46.8,58.2）；即有

10、95%的把握巷道斷面面積，平均維護費單價在46.8元到58.2元之間。參考資料1. 楊虎、劉瓊蓀、鐘波數理統計M北京：高等教育出版社，2004。2. 礦山開采設計上冊 M3. 附錄1、回歸方程直線圖：圖2 與線性回歸方程直線圖2、matlab中M-腳本文件計算程序：clear; clc;x=10.4 7.8 7.8 7.8 12.4 7.8 14.2 12.4 7.8 5.2 6.6 6.6 14.2 10.4;y=36 25 32 27 44 29 53 58 18 13.8 13.8 18.3 49 34.4; %統計使用數據scatter(x,y,50); %作散點圖，觀察數據特點xla

11、bel(巷道斷面面積 X(m2)ylabel(平均維護費單價 Y(元/ma)title(X 與 Y 的關系圖)hold onformat short; %設置數據運算格式x_bar=mean(x);y_bar=mean(y); %求樣本數據平均數lxy=sum(x-x_bar).*y);lxx=sum(x-x_bar).*x);lyy=sum(y-y_bar).*y);beta1=lxy/lxx %回歸方程系數beta0=y_bar-beta1*x_bar %回歸方程常數項Equation=sprintf(y=%.2f+%.2f*x,beta0,beta1) %回歸方程表達式x1=5:1:15

12、;y1=beta0+beta1.*x1;h=plot(x1,y1,r-); %作回歸方程的直線圖set(h,Color,red,LineWidth,2)text(9,beta0+beta1*9,fontsize16leftarrowy=fontnamebfbeta_0+beta_1x) %標注hold off y_cal=beta0+beta1.*x;ST_square=sum(y-y_bar).2) %總離差平方和SR_square=sum(y_cal-y_bar).2) %回歸平方和SE_square=sum(y-y_cal).2) %殘差平方和sigma2=SE_square/(size(x,2)-2);c1=sigma2*4.75/lxx; %F檢驗，分位數F_(1-alpha)(n-2)=4.75if beta12c1 %F檢驗法的拒絕域 disp(H0:beta1=0；H1:beta1=0) sprintf(F檢驗：n beta12=%.2fc1=%.2f,拒絕H0,beta12,c1)end;c2=sqrt(sigma2/lxx)*2.179; %t檢驗，分位數t_(1-1/2*alpha)(n-2)=2.179if abs(beta1)c2 %t檢驗法的拒絕域 %disp(H0:beta1=0；H1:beta1=0) sprintf(t檢驗