泄洪設(shè)施修建數(shù)學(xué)模型

1、泄洪設(shè)施修建數(shù)學(xué)模型 泄洪設(shè)施修建計劃 摘 要：修建泄洪設(shè)施時，如何在滿足安全泄洪的情況下使總費(fèi)用最少，是政府部門十分關(guān)注的問題。 針對本題提出的如何修建泄洪河道使總費(fèi)用最省以及維護(hù)人員在各村留宿的概率的問題，分別建立了線性規(guī)劃模型、最小生成樹模型、馬氏鏈模型、基于天然河道的最優(yōu)泄洪基本模型，并運(yùn)用MATLAB7.0和LINGO8.0數(shù)學(xué)軟件，對模型進(jìn)行求解，得出修建河道的最省方案和維護(hù)人員在各村留宿的概率。最后還對原來建立的模型進(jìn)行了評價，并加以推廣。 問題一，對于開挖排洪溝和修建新泄洪河道的計劃，可以通過擬合出四條天然河道的泄洪量與時間的關(guān)系式，根據(jù)擬合的關(guān)系式，預(yù)測未來五年四條天然河道的

2、泄洪量，然后確定開挖排洪溝的費(fèi)用和預(yù)計的可泄洪量以及要達(dá)到的泄洪要求，建立模型進(jìn)行求解。并檢驗(yàn)第四、第五年是否滿足泄洪要求。計算得到整個方案的總開支最省為172萬元。 問題二， 首先使用圖塊論中的Kruskal算法思想，利用Matlab生成最小樹。生成的鄰接矩陣以及最小樹，然后依據(jù)最小費(fèi)用原則，考慮進(jìn)入各村的排洪溝承載能力與各村自身的泄洪量之和應(yīng)小于從該村出去的各排洪溝承載之和為約束條件建立規(guī)劃模型。通過計算最終得出修建新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)最省總花費(fèi)資金少要花571.227萬元。 問題三，維護(hù)人員是在問題二中解得的新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)上移動的，從一個村移動到與之相連的一個村，符合馬氏鏈，所以建立了馬氏鏈模

3、型。通過分析得出，該馬氏鏈?zhǔn)钦齽t鏈。根據(jù)正則鏈的性質(zhì)可知，正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率，所以維護(hù)人員在各村留宿的概率分布是穩(wěn)定的。通過MATLAB編程得到維護(hù)人員在各村留宿的概率分布 w?0.0556,0.0556,0.1111,0.0556,0.1667,0.0556,0.2222,0.1667,0.0556,0.0556? 問題四，考慮到天然河道有著很大的泄洪潛力，如果能夠及時的對天然河道清淤以及在天然河道的基礎(chǔ)上建立泄洪河道網(wǎng)絡(luò)，可以顯著地減少泄洪工程的花費(fèi)，所以提出了基于天然河道的最優(yōu)泄洪基本方案。影響方案的因素：天然河道的曲折；不同地方土質(zhì)的不同造成修建泄洪河道的成本不同；有的村可能

4、沒有天然河道流過；天然河道還要定期進(jìn)行清淤；根據(jù)地貌，修建人工湖或者水庫。這些因素都會對泄洪方案的花費(fèi)造成影響。因此，將各因素對資金費(fèi)用產(chǎn)生的影響，提出一個合理的方案解決，達(dá)到花費(fèi)最少的目的。 關(guān)鍵詞：MATLAB7.0 LINGO8.0 線性規(guī)劃模型 Kruskal算法 最小生成樹 馬氏鏈模型 問題重述： 位于我國南方的某個偏遠(yuǎn)貧困鄉(xiāng)，地處山區(qū)，一旦遇到暴雨，經(jīng)常發(fā)生洪澇災(zāi)害。造成大面積水災(zāi)，不僅夏糧顆粒無收，而且嚴(yán)重危害到當(dāng)?shù)厝罕姷纳敭a(chǎn)安全。 為此，鄉(xiāng)政府打算立即著手解決防汛水利設(shè)施建設(shè)問題。從兩方面考慮，一是在各村開挖一些排洪溝,以滿足近兩三年的短期防汛需要；二是從長遠(yuǎn)考慮，可以通過

5、修建新泄洪河道的辦法把洪水引出到主干河流。經(jīng)測算，修建新泄洪河道的費(fèi)用為P?0.66Q0.51L（萬元），其中Q表示泄洪河道的可泄洪量（萬立方米/ 小時），L表示泄洪河道的長度（公里）。 通過數(shù)學(xué)建模方法，解決以下問題： （1）該鄉(xiāng)的某個村區(qū)域內(nèi)原有四條天然河流，由于泥沙沉積，其泄洪能力逐年減弱。在附錄1中給出它們在近年來的可泄洪量（萬立方米/小時）粗略統(tǒng)計數(shù)字。水利專家經(jīng)過勘察，在該村區(qū)域內(nèi)規(guī)劃了8條可供開挖排洪溝的路線。由于它們的地質(zhì)構(gòu)造、長度不同，因而開挖的費(fèi)用和預(yù)計的可泄洪量也不同（詳見附錄2），而且預(yù)計每條排洪溝的可泄洪量還會以平均每年10%左右的速率減少。同時開始修建一段20公里長

6、的新泄洪河道。修建工程從開工到完成需要三年時間，且每年投資修建的費(fèi)用為萬元的整數(shù)倍。要求完成之后，通過新泄洪河道能夠達(dá)到可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力。 鄉(xiāng)政府從2010年開始，連續(xù)三年，每年最多可提供60萬元用于該村開挖排洪溝和修建新泄洪河道，為了保證該村從2010至2014年這五年間每年分別能至少達(dá)到可泄洪量150、160、170、180、190萬立方米/小時的泄洪能力，請作出一個從2010年起三年的開挖排洪溝和修建新泄洪河道計劃，以使整個方案的總開支出盡量節(jié)?。ú豢紤]利息的因素在內(nèi)）。 （2）該鄉(xiāng)共有10個村,分別標(biāo)記為，它們大致的相對地理位置（見附錄3），海拔高度總體上呈自西向

7、東逐漸降低的態(tài)勢。 其中村距離主干河流最近，且海拔高度最低。鄉(xiāng)政府打算擬定一個修建在各村之間互通的新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)計劃，將洪水先通過新泄洪河道引入村后，再經(jīng)村引出到主干河流。要求完成之后，每個村通過新泄洪河道能夠達(dá)到可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力。 根據(jù)附錄4中的數(shù)據(jù)，為該鄉(xiāng)提供一個各村之間修建新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)的合理方案，使得總費(fèi)用盡量節(jié)省。（說明：從村A村B的新泄洪河道，一般要求能夠承載村A及上游新泄洪河道的泄洪量。） （3）新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)鋪設(shè)完成后，打算安排一位維護(hù)人員，每天可以從一個村到與之直接有新泄洪河道連接的相鄰村進(jìn)行設(shè)施維護(hù)工作，并在到達(dá)的村留宿，次日再隨機(jī)地選擇一個與該村直接

8、有新泄洪河道連接的相鄰村進(jìn)行維護(hù)工作。試分析長此以往，他在各村留宿的概率分布是否穩(wěn)定？ （4）是否能夠?yàn)樵撪l(xiāng)提出一個更加合理的解決泄洪的辦法？ 1.問題一： 1.1問題分析： 這是一個優(yōu)化問題，要決策的是在資金、人力和物力各種因素的限制情況下，人們常常想知道我們應(yīng)該怎么分配資金的流向才能使我們的資金使用最小，并且能保證工作的正常進(jìn)行。一般來說這兩個目標(biāo)是矛盾的，資金使用少，工作就不能達(dá)使指定要求達(dá)到最佳；反之亦然所以不可能給出這兩個目標(biāo)同時達(dá)到最優(yōu)的所謂最優(yōu)決策，我們追求的只能是，在保證工作順利進(jìn)行的情況下資金使用最少的決策。 對于開挖排洪溝和修建新泄洪河道計劃，可以通過附錄一和附錄二的數(shù)據(jù)擬

9、合出四條天然河道的泄洪量與時間的關(guān)系式，根據(jù)擬合的關(guān)系式，預(yù)測未來五年四條天然河道的泄洪量，然后確定開挖排洪溝的費(fèi)用和預(yù)計的可泄洪量以及要達(dá)到的泄洪要求，建立模型進(jìn)行求解。 1.2符號說明： xi：第i條排洪溝的開挖情況（當(dāng)xi=1時，表示該條排洪溝需要開挖；當(dāng)xi=0 時，表示該條排洪溝不需要開挖）； mi：第 qi：第 Rj：第 Pj：第i條排洪溝開挖費(fèi)用； i條排洪溝當(dāng)年泄洪量； j年4條天然河道泄洪總泄洪量； j年修建新泄洪河道的費(fèi)用； ：每年的流動資金60萬； 1.3基本假設(shè)： 1、不受人力、物力等因素的影響，修建計劃能夠在指定的時間內(nèi)完成； 2、假設(shè)當(dāng)天然河道的泄洪能力非常小的情況

10、下我們可以將其忽略不計； 1.4模型建立： 1.4.1 擬合并預(yù)測未來五年四條天然河道的泄洪量 (1)由附錄一中表格所給的數(shù)據(jù)對每條河道進(jìn)行擬合，得到各條河道泄洪量隨時間變化的關(guān)系式，然后對各河道未來五年的泄洪量進(jìn)行預(yù)測。當(dāng)天然河道的泄洪量很低時，認(rèn)為其泄洪量為零。 1號天然河道泄洪量隨時間的變化近似為直線關(guān)系，所以使用MATLAB7.0對天然河道1號進(jìn)行一次擬合（源程序見附錄5）得到： 使用MATLAB7.0對未來五年該天然河道的泄洪量進(jìn)行預(yù)測(源程序見附錄 6)，得到： y =21.4469 20.2452 19.0435 17.8418 16.6401 則未來五年1號天然河道的泄洪量分別

11、為：21.4469萬立方米/小時、 20.2452萬立方米/小時、19.0435萬立方米/小時、17.8418萬立方米/小時、16.6401萬立方米/小時。 （2）2號天然河道泄洪量隨時間的變化近似為三次曲線關(guān)系，所以使用MATLAB7.0對天然河道2號進(jìn)行三次擬合（源程序見附錄7）得到： 使用MATLAB7.0對未來五年該天然河道的泄洪量進(jìn)行預(yù)測(源程序見附錄 8)，得到： y =1.0247 -0.1179 -1.7199 -3.9679 -7.048 從計算結(jié)果中可以看出，第二年以后結(jié)果為負(fù)數(shù)，則第二年以后2號天然河道的泄洪量已經(jīng)變得很小，可以認(rèn)為其泄洪量為0 則未來五年2號天然河道的泄

12、洪量分別為：1.0247萬立方米/小時、0、0、0、0。 （3）3號天然河道泄洪量隨時間的變化近似為一次直線關(guān)系，所以使用MATLAB7.0對天然河道2號進(jìn)行一次擬合（源程序見附錄9）得到： 使用MATLAB7.0對未來五年該天然河道的泄洪量進(jìn)行預(yù)測(源程序見附錄 10)，得到： y = 9.1306 7.0456 4.9606 2.8756 0.7906 則未來五年3號天然河道的泄洪量分別為：9.1306萬立方米/小時、7.0456萬立方米/小時、4.9606萬立方米/小時、2.8756萬立方米/小時、0.7906萬立方米/小時。 M （4）4號天然河道泄洪量隨時間的變化近似為三次曲線關(guān)系，

13、所以使用MATLAB7.0對天然河道4號進(jìn)行三次擬合（源程序見附錄11）得到： 使用MATLAB7.0對未來五年該天然河道的泄洪量進(jìn)行預(yù)測(源程序見附錄 12)，得到： y =13.6615 9.3514 2.6103 -7.2434 -20.8913 由計算結(jié)果可知：第四、第五年時，河道的泄洪量已經(jīng)很小，可以認(rèn)為其泄洪量為0。 則未來五年4號天然河道的泄洪量分別為：13.6615萬立方米/小時、9.3514萬立方米/小時、2.6103萬立方米/小時、0、0。 四條天然河道的擬合圖像： 一號 二號 三號 四號 圖一 表1 未來五年四條天然河道的泄洪量（萬立方米/小時）預(yù)測表 所以可以得到未來五

14、年4條天然河道泄洪總泄洪量分別為 表2 未來五年4條天然河道泄洪總泄洪量表 1.4.2模型的建立 (1) 建立第一年的線性規(guī)劃模型 目標(biāo)函數(shù)：設(shè)每年的開挖排洪溝的費(fèi)用為z,則 min z? ?x i?1 8 i ?mi? 約束條件 泄洪要求： ?x i?1 8 i ?qi?150?R1 資金約束： ?x i?1 8 i ?mi?60 非約束： xi?0或1，當(dāng)選擇挖第 i條排洪溝時， xi?1；否則xi?0，i?1,2,?,7,8 綜上可得 min z? ?x i?1 8 i ?mi? ?s.t.? ?xi?0或1，當(dāng)選擇挖第? ?x i?1 8i?1 8 i ?qi?150?R1 i ?x

15、?mi?60 xi?1；否則xi?0，i?1,2,?,7,8 i條排洪溝時， (2) 建立第二年的線性規(guī)劃模型 min z? ?x i?1 8 i ?mi? ?s.t.? ?xi?0或1，當(dāng)選擇挖第 ?x i?1 8 8 i ?qi?160?R2 i ?x i?1 ?mi?60 x1?x3?x6?x7?0i條排洪溝時， xi?1；否則xi?0，i?1,2,?,8 (3) 建立第三年的線性規(guī)劃模型 min z? ?x i?1 8 i ?mi? 8 ? ?xi?qi?170?R3? i?1 ?8? s.t.? ?xi?mi?60 i?1? x1?x3?x5?x6?x7?0? ?x?0或1，當(dāng)選擇挖

16、第i條排洪溝時，x?1；否則x?0，i?1,2,?,8 ii?i 1.5模型求解： 1.5.1第一年線性規(guī)劃模型的求解： 帶入數(shù)據(jù)，使用LINGO8.0求解（見附錄13）可得 x1?x3?x6?x7?1 即在第一年，只需挖1、3、6、7條排洪溝。挖排洪溝的花費(fèi)為20萬，即投入到建新泄洪河道的資金為40萬。 1.5.2第二年線性規(guī)劃模型的求解： 帶入數(shù)據(jù)，使用LINGO8.0求解（見附錄14）可得，x5?1，那么在第二年，只需挖第5條排洪溝。 挖排洪溝的花費(fèi)為6萬元，則有54萬元被用來挖新泄洪河道。 1.5.3 第三年線性規(guī)劃模型的求解： 帶入數(shù)據(jù)，使用LINGO8.0求解（見附錄15）可得，x

17、2?1，那么在第三年， 只需挖第2條排洪溝。 挖排洪溝的花費(fèi)為7萬元，剩余的資金為53萬元。 139-(40+54)=45 則第三年被用來修建新泄洪河道的資金為45萬。 1.5.4模型的檢驗(yàn) 使用LINGO8.0進(jìn)行檢驗(yàn)（見附錄16），結(jié)果輸出為： x4?72.94?0 x5?31.96?0 則能滿足第四、第五年的泄洪要求，則第四、第五年不用再挖排洪溝。所以該模型符合泄洪量的要求，該方案能達(dá)到最省錢的目的。 資金花費(fèi)總額為：139+5+7+5+6+5+5=172萬元。 2.問題二： 2.1基本假設(shè) (1) 所修泄洪河道洪水流向?yàn)樽晕飨驏|； (2) 允許泄洪河道相互交叉，若有交叉，泄洪量可由閘門

18、控制。 2.2 符號說明 Qij為第i個村莊?第j個村莊泄洪河道的流量， ? 0 , 表示不修i?j河道Qij? 非零 , 表示修i?j河道? Sij為i?j的距離 2.3 模型分析 問題所涉及10個村莊的總體趨勢是西高東低，水流的自然流向?yàn)樽晕飨驏|。因此，所建的新泄洪河道網(wǎng)絡(luò)流向是單向的，依據(jù)這一自然規(guī)律，我們對問題進(jìn)行等價處理。題意中所給10個村莊的編號從西向東不是按自然數(shù)的順序排列，為了計算和編程的方便，首先，我們對10個村莊的順序由西向東按從小到大的順序進(jìn)行排列，排序前后的圖，如圖（為修改后序號，( )為修改前序號），然后對重新編號的圖計算相應(yīng)的距離，結(jié)果如下表。 ? ? ? ? ?

19、? ? ? ? ? 表3 序號調(diào)整后各村之間修建新泄洪河道的距離（單位：公里） 2.4 模型的建立 (1)首先使用圖塊論中的Kruskal算法思想，利用Matlab生成最小樹 (源程序見附錄17、附錄18)。生成的鄰接矩陣以及最小樹如下： a = 58 b = 7 9 3 35 3 5 5 9 4 6 9 10 5 6 5 7 6 6 7 7 14 45 15 20 1 2 8 1 2 3 8 3 7 8 8 28 其中，a為最小權(quán)值，b為鄰接矩陣。 (2)對上面的最小樹進(jìn)行修正，即在使得費(fèi)用最小目標(biāo)下，依據(jù)流入每個村的泄洪量加上自身的泄洪量小于或等于這個村流出的泄洪量，又根據(jù)每個村通過新泄洪

20、河道能夠達(dá)到可泄洪量100萬立方米/小時的泄洪能力的要求等原則來建立數(shù)學(xué)模型對最小樹進(jìn)行修正。 910 目標(biāo)函數(shù)：minP? i?1j?i?10.66QijSij 0.51 10?i?1 ?Qki?100?Qij,i?2,.,9; (2.1) j?i?1?k?1?|約束條件?Q12?Q13?Q13?Q14?Q15?Q16?Q17?Q18?Q19?Q110?100; (2.2) ?Q?0,1?i?j?10; (2.3) ?ij ? i?1 （2.1）式表示流進(jìn)各村的洪水量?Qki與各村 k?1100萬立方米的水量 10 和小于流出各村的洪水量? j?i?1Qij； （2.2）式表示從村莊流出的洪

21、水量大于100萬立方米； （2.3）式表示水從西向東流出； 2.5模型求解 用lingo8.0編程計算出如下的結(jié)果： Q( 1, 9) 100.0000 Q( 2, 6) 100.0000 Q( 3, 5) 100.0000 Q( 4, 6) 100.0000 Q( 5, 6) 200.0000 Q( 6, 10) 500.0000 Q( 7, 9) 100.0000 Q( 8, 10) 100.0000 Q( 9, 10) 300.0000 ?500， 即Q1，?100，Q3，?100，Q5，?200，Q6，?100，Q2，?100，Q4，1066695 ?100，Q9，?300，其它的Qi

22、j均為零。從結(jié)果中可以看出，開挖Q7，?100，Q8，10109 的河道是，-，-，-，-，-，-，-，-，-，可得河道開挖的線路圖，還原成原有的序號則有：Q6，?100，Q2，?100，Q1，?100，573Q9，?100，Q3，?20077，Q7，?500，Q4，?100，Q10，?300，開挖的?100，Q5，8588 河道是-, -, -, -，-,-,-，-，-，可得河道開挖的線路圖(如下圖 ) 因此我們在保證各村排洪量的前提下，確定了要修的泄洪道的路線，得到了修泄洪道的最小費(fèi)用，以下我給出lingo軟件計算出的結(jié)果截圖。 從截圖中可以看到最優(yōu)目標(biāo)值為571.227萬元，即據(jù)以上的模

23、型，在保證各村排洪量的基礎(chǔ)上，修好這條泄洪道最少要花571.227萬元。 3 .問題三 3.1 預(yù)備知識 定義1 一個有k個狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)N，使從任意狀態(tài)i經(jīng)N次轉(zhuǎn)移都以大于零的概率到達(dá)狀態(tài)J（I,J=1，2，K），則稱為正則連。 定理 1 若馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為P，則它是正則立案的充要條件是，存在正整數(shù)N使PN>0指P的每一元素大于零)。 N 定理 2 正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率w=（?1,?2,?,?k）， ?n?時狀態(tài)概率a?n?w，w與初始狀態(tài)概率a?0?無關(guān)。w又稱穩(wěn)態(tài)概率，滿足 wP=w (1) k? ?=1 (2) i i?1 3.2 模型分析 對于問題三我們將

24、其看成是一個Markov（馬氏）鏈，則可用轉(zhuǎn)移概率矩陣建立模型進(jìn)行求解，通過對問題二的求解可以知道，最終10個村莊修建泄洪河道的網(wǎng)絡(luò)圖如圖 3-1 所示 : 圖 3-1（維修人員所走的線路圖） 觀察維修人員走的線路圖，顯然村莊之間是相通的，根據(jù)題意以及 定理1可知此馬氏鏈滿足 定義1，即此鏈為正則鏈。則根據(jù) 定理2可推出此Markov鏈的極限分布是唯一的不變分布. 3.3 模型假設(shè) （1）維修人員在維修時，不會因意外而不能到達(dá)某個村莊。 （2）維修人員在選擇下一條維修河道時，是等可能事件,即選擇每條相連河道的概率相同。 3.4 模型建立 如圖3-1，有4條泄洪河道經(jīng)過村莊，分別是- ，-，-，

25、- ，現(xiàn)在進(jìn)行等概率假設(shè)，即當(dāng)維護(hù)人員在村莊時，去、村莊的概率均為1/4，同理，當(dāng)維護(hù)人員在村莊時，去、村莊的概率均為1/2，又如村莊，僅有一條泄洪河道經(jīng)過，因此當(dāng)維護(hù)人員在這個村莊停留時，去下一個村莊的概率就為1，而-之間沒有路線，則維護(hù)人員從村莊直接到村莊的概率為0.依次類推可以得到去各村的概率。 根據(jù) 定理2 以及以上的分析可以得到轉(zhuǎn)移矩陣滿足下列方程組 ?wP?w? ?10 ?1?i? ?1 其中 ?w?,?12,?,?10?為維修員到各村穩(wěn)定概率向量。轉(zhuǎn)移矩陣P為 ?0?0?1?2?0?0P? ?0?0?0?0?0? 00000014000 10000014000 000013000

26、00 00010101300 00001300000 011200001310 000013014001 00000014000 ?0?0?0?0?0?0?0?1?3?0?0? 解方程組，若有解，則表示長此以往，維護(hù)人員在各村留宿的概率分布是穩(wěn)定的。 3.5 模型求解 利用Matlab軟件求解模型（程序見附錄19），得 w?0.0556,0.0556,0.1111,0.0556,0.1667,0.0556,0.2222,0.1667,0.0556,0.0556 ? 由此可見方程組是有解的，說明長此以往，維護(hù)人員在各村留宿的概率分布是穩(wěn)定的。 4問題四 該鄉(xiāng)的某個村區(qū)域內(nèi)原有四條天然河流，由于泥

27、沙沉積，其泄洪能力逐年減 弱。這四條天然河流在2002年的總泄洪量達(dá)到31.3+15.9+25.8+46.2=119.2萬立方米/小時，可以看出，天然河道有著很大的泄洪潛力，如果充分利用天然河道的天然優(yōu)勢，則可以大大減少修建新泄洪河道花費(fèi)的資金。 想要達(dá)到最優(yōu)的泄洪目的，要考慮多方面因素：天然河道有些地段可能會過于曲折，拓寬拓深河道時會損耗大量的人力物力，為此可以修建新的河道繞過這段天然河道；不同地方土質(zhì)的不同造成修建泄洪河道的成本不同，為此可以拓寬拓深該地區(qū)的天然河道，進(jìn)行泄洪，減少成本；并不一定所有的村都有天然河道流過，對此，不論該地區(qū)的修建泄洪河道的成本高低，都要修建泄洪河道；由于泥沙的

28、逐年沉積，天然河道還要定期進(jìn)行清淤，以維持其泄洪量，所以每年還要投入一部分費(fèi)用用于清淤。由于此處是山區(qū)，可以利用山區(qū)的地貌優(yōu)勢，在低洼的地段，選擇在河流交匯處建立人工湖或者水庫，這樣既能減小成本，又能達(dá)到很好的蓄水防洪效果。 總結(jié)如下： ?、天然河道的曲折 ?、不同地方土質(zhì)的不同造成修建泄洪河道的成本不同 ?、有的村可能沒有天然河道流過 ?、天然河道還要定期進(jìn)行清淤 ?、根據(jù)地貌，修建人工湖或者水庫 為了達(dá)到最優(yōu)的泄洪效果，并且費(fèi)用最低，我們采取如下措施: (1)對于因素?，當(dāng)天然河道過于曲折時，會造成拓深拓寬天然河道的成本增加。若在此段距離修建新的河道費(fèi)用小于拓深拓寬天然河道的花費(fèi)，則可以修

29、建新的河道繞過這段天然河道，那么此時的因該因素產(chǎn)生的費(fèi)用最小。 (2)對于因素?，不同地方土質(zhì)的不同造成修建新泄洪河道的成本不同，為此可以拓寬拓深該地區(qū)的天然河道，進(jìn)行泄洪，減少成本。則拓寬拓深天然河道的花費(fèi)小于修建新泄洪河道的花費(fèi)時，選擇拓寬拓深天然河道的因該因素產(chǎn)生的費(fèi)用是最小的。 (3)對于因素?，有的村可能沒有天然河道流過，對此，該地區(qū)只有修建新泄洪河道，進(jìn)行泄洪，為了減少花費(fèi)，可以結(jié)合附近的天然河道，把該村挖的新泄洪河道與附近的天然河道連接成河道網(wǎng)絡(luò)，這樣可以減少單獨(dú)挖新泄洪河道的工程量，進(jìn)而減小了資金花費(fèi)。那么，這時的因該因素產(chǎn)生的資金花費(fèi)是最小的。 (4)對于因素?，由于泥沙的沉

30、積，天然河道還要定期進(jìn)行清淤，以維持其泄洪量。則可以根據(jù)河流的泥沙年沉積速率和泄洪量的要求，通過計算，找出最優(yōu)的泥沙清理時間間隔，這樣能很好的減少平均年清淤花費(fèi)，則此時的因該因素產(chǎn)生的資金花費(fèi)也是最小的。 (5)對于因素?，考慮到該鄉(xiāng)處在山區(qū)，可以利用山區(qū)的地貌優(yōu)勢，在低洼的地段，選擇在河流交匯處建立人工湖或者水庫，這樣能達(dá)到很好的蓄水防洪效果，可以大大減小下游河流的泄洪工作量，即下游的河道可以適當(dāng)?shù)臏p小泄洪量要求，這樣綜合起來，可以減小總工程的資金花費(fèi)額。即可以根據(jù)地貌，找到節(jié)省資金最大的地方修建人工湖或者水庫，這樣總工程的花費(fèi)達(dá)到最小。 模型的評價及推廣： 1. 模型的評價 1.1模型的優(yōu)

31、點(diǎn)： （1）問題一中建立的線性規(guī)劃模型，先是在滿足前三年的情況下，算出最優(yōu)解，然后用第四、第五年的泄洪量進(jìn)行檢驗(yàn)是否滿足。如果仍要以第四、第五年的泄洪量建立約束函數(shù)，綜合求解，這樣使計算量增大。所以，用第四、第五年的泄洪量進(jìn)行檢驗(yàn)，簡化了計算過程。 （2）問題二中，先編寫MATLAB程序代碼，通過Kruskal算法法求出最小生成樹，使得泄洪量達(dá)到最小。然后根據(jù)最短路徑和從西向東流的要求，再得到最優(yōu)的河道網(wǎng)絡(luò)圖。這樣先簡單后復(fù)雜，在原來的基礎(chǔ)上，增加要考慮的因素，使結(jié)果更加完善。 （3）問題三中，河道網(wǎng)絡(luò)中的交匯點(diǎn)即為村莊，那么可以把河道簡化為線，把村莊簡化為交點(diǎn)，在建立的馬氏鏈模型中，維護(hù)人員

32、是沿著線從一個點(diǎn)轉(zhuǎn)移到另一個點(diǎn)。所以建立的馬氏鏈模型跟現(xiàn)實(shí)很逼近，誤差很小。 （4）問題四中建立基于天然河道的最優(yōu)泄洪基本模型時，先是找出影響該 模型的主要因素，分析知這些影響因素都會對泄洪方案的花費(fèi)造成影響。再對這些影響因素進(jìn)行分別討論，層層分析，并以現(xiàn)實(shí)中的影響因素作為解決問題的出發(fā)點(diǎn)。這樣對實(shí)際有很好的指導(dǎo)作用，并且很合符現(xiàn)實(shí)要求。 1.2模型的缺點(diǎn)： 模型一中，假設(shè)新建的泄洪河道是在完工后才能進(jìn)行泄洪。在現(xiàn)實(shí)中，泄洪河道有邊挖邊用可能性。而在模型中并沒有分別討論，進(jìn)行求解，這樣使模型不完善。 2. 模型的推廣 本題雖然是以河道為研究對象，但是建立的模型有很好的代表性。因?yàn)樾藿ǖ男购楹拥?/p>

33、可以等效為現(xiàn)實(shí)生活中的公路、鐵路、輪船的航線、鋪設(shè)的管線等，泄洪河道經(jīng)過的村莊可以等效為城市、碼頭、工廠等。所以，本題中建立的模型可以推廣到現(xiàn)實(shí)生活中，用于指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐。 對于本題建立的模型，線性規(guī)劃模型、最小生成樹模型、馬氏鏈模型要考慮的因素不多，并且與實(shí)際很接近，誤差較小，可以直接推廣。 但是基于天然河道的最優(yōu)泄洪基本模型考慮的因素還不多，如有些地方可能因?yàn)榈孛膊荒芡谛购楹拥馈⒂械牡胤胶拥罌]法加寬、以及修建排洪溝這樣會使建立的模型對實(shí)際產(chǎn)生較大的誤差。因此，推廣前還要對模型進(jìn)行修訂，以減小誤差。 參考文獻(xiàn)： 1 周品，趙新芬，MATLAB數(shù)學(xué)建模與仿真，北京：國防工業(yè)出版社，2009 2

34、姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型(第三版)，北京：高等教育出版社，2003 3 謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，北京：清華大學(xué)出版社，2005 附錄： 附錄2 開挖各條排洪溝費(fèi)用（萬元）和預(yù)計當(dāng)年可泄洪量（萬立方米/小時） 附錄3 10個村的相對地理位置 附錄4 各村之間修建新泄洪河道的距離（單位：公里） x=1:9 y=32.2 31.3 29.7 28.6 27.5 26.1 25.3 23.7 22.7 plot(x,y ,b:) P=polyfit(x,y,1) Y=polyval(P,x) plot(x,y,:o,x,Y,-*) title(y=-1.2017x+3

35、3.4639) xlabel(年份) ylabel(泄洪量/萬立方米/小時) 附錄6 計算1號天然河道2010到2014的泄洪量的MATLAB源程序 x=10:14 y=-1.2017*x+33.4639 附錄7 擬合2號天然河道的可泄洪量與時間的關(guān)系的MATLAB源程序 x=1:9 y=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0 plot(x,y,r:) P=polyfit(x,y,3) Y=polyval(P,x) plot(x,y,:o,x,Y,-*) title(y=-0.0311x+0.7966x-7.5771+28.2357) 32 xlabel(

36、年份) ylabel(泄洪量/萬立方米/小時) 附錄8 計算2號天然河道2010到2014的泄洪量的MATLAB源程序 x=10:14 y=-0.0311*x.3+0.7966*x.2-7.5771*x+28.2357 附錄9 擬合3號天然河道的可泄洪量與時間的關(guān)系的MATLAB源程序 x=1:9 y=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2 plot(x,y,m*) P=polyfit(x,y,1) Y=polyval(P,x) plot(x,y,:o,x,Y,-*) title(y=-2.0850x+29.9806) xlabel(年份) y

37、label(泄洪量/萬立方米/小時) 附錄10 計算3號天然河道2010到2014的泄洪量的MATLAB源程序 x=10:14 y=-2.0850*x+29.9806 附錄11 擬合4號天然河道的可泄洪量與時間的關(guān)系的MATLAB源程序 x=2:9 y=42.6 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3 plot(x,y,m*) P=polyfit(x,y,3) Y=polyval(P,x) plot(x,y,:o,x,Y,-*) title(y=-0.1136x+2.5333x-19.9078x+73.0095) 32 xlabel(年份) ylabel(泄洪量/

38、萬立方米/小時) 附錄12 計算4號天然河道2010到2014的泄洪量的MATLAB源程序 x=10:14 y=-0.1136*x.3+2.5333*x.2-19.9078*x+73.0095 附錄13 第一年的線性規(guī)劃的LINGO源程序及運(yùn)行結(jié)果 LINGO源程序： min=5*x1+7*x2+5*x3+4*x4+6*x5+5*x6+5*x7+3*x8; 25*x1+36*x2+32*x3+15*x4+31*x5+28*x6+22*x7+12*x8>=104.736; 5*x1+7*x2+5*x3+4*x4+6*x5+5*x6+5*x7+3*x8<=60; bin(x1); bi

39、n(x2); bin(x3); bin(x4); bin(x5); bin(x6); bin(x7); bin(x8); 運(yùn)行結(jié)果： Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 20.00000 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 5.000000 X2 0.000000 7.000000 X3 1.000000 5.000000 X4 0.000000 4.000000 X5 0.000000 6.000000 X6 1.000000 5.000000 X7 1.00

40、0000 5.000000 X8 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 20.00000 -1.000000 2 2.264000 0.000000 3 40.00000 0.000000 附錄14 第二年的線性規(guī)劃的LINGO源程序及運(yùn)行結(jié)果 LINGO源程序： min=7*x2+4*x4+6*x5+3*x8; 36*x2+15*x4+31*x5+12*x8>=27.058; 7*x2+4*x4+6*x5+3*x8<=60; bin(x2); bin(x4); bin(x5); bin(x8); 運(yùn)行結(jié)果： Glo

41、bal optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 6.000000 Variable Value Reduced Cost X2 0.000000 7.000000 X4 0.000000 4.000000 X5 1.000000 6.000000 X8 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 6.000000 -1.000000 2 3.942000 0.000000 3 54.00000 0.000000 附錄15 第三年的線性規(guī)劃的LINGO源程序及運(yùn)行結(jié)

42、果 LINGO源程序： min=7*x2+4*x4+3*x8; 36*x2+15*x4+12*x8>=170-107*0.81-0.9*31-26.614; 7*x2+4*x4+3*x8<=60; bin(x2); bin(x4); bin(x8); 運(yùn)行結(jié)果： Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: 7.000000 Variable Value Reduced Cost X2 1.000000 7.000000 X4 0.000000 4.000000 X8 0.000000 3.000000

43、 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7.000000 -1.000000 2 7.184000 0.000000 3 53.00000 0.000000 附錄16 檢驗(yàn)是否滿足第四年和第五年要求泄洪量的LINGO源程序及運(yùn)行結(jié)果 LINGO源程序： x4=100-(180-107*0.81*0.9-0.9*0.9*31-36*0.9-17.431); x5=100-(190-107*0.81*0.9*0.9-0.9*0.9*0.9*31-36*0.9*0.9); 運(yùn)行結(jié)果： Feasible solution found at iteration: 0 Var

44、iable Value X4 72.94400 X5 31.96170 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.000000 附錄17 最小生成樹源程序 function Wt,Pp=mintreek(n,W) %圖論中最小生成樹Kruskal算法 及畫圖程序 M-函數(shù) %格式 Wt,Pp=mintreek(n,W)：n為圖頂點(diǎn)數(shù),W為圖的帶權(quán)鄰接矩 % 陣，不構(gòu)成邊的兩頂點(diǎn)之間的權(quán)用inf表示。顯示最小生成樹的邊及 % 頂點(diǎn), Wt為最小生成樹的權(quán),Pp(:,1:2)為最小生成樹邊的兩頂點(diǎn), % Pp(:,3)為最小生成樹的邊權(quán),Pp(:,4)為最小生成樹邊的序號; %附圖,紅色連線為最小生成樹的圖; %例如 % n=6;w=inf*ones(6); % w(1,2,3,4)=6,1,5;w(2,3,5)=5,3; % w(3,4,5,6)=5,6,4;w(4,6)=2;w(5,6)=6; % a,b=mintreek(n,w) % By X.D. Ding June 2000 tmpa=find(W=inf);tmpb,tmpc=find(W=inf); w=W(tmpa);e=tmpb,tmp