高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法課件

1、高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法1第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值52P定義定義的的某某鄰鄰域域在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)000yxPyxfz,:,)(如如果果都都適適合合內(nèi)內(nèi)的的點點對對于于內(nèi)內(nèi)有有定定義義yxPPUPU0000yxfyxf,;,0000yxfyx有有極極大大值值則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點點:如果都適合如果都適合00yxfyxf,.,0000yxfyx有有極極小小值值則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在點點.,極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為極極值值極極大大值值.為極值點為極值點使函數(shù)取得極值的點稱使函數(shù)取得極值

2、的點稱0P)(0PUP高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法2.),(.00043122zyxz點有極小值點有極小值在在例例)( 開口向上的橢圓拋物面開口向上的橢圓拋物面.),(.000222zyxz點點有有極極大大值值在在例例)( 頂點在上的圓錐面頂點在上的圓錐面,),(.不取極值不取極值在點在點例例003yxz ,),(0IIIIzyx象象限限時時落落在在因因為為當當,),(0IVIIzyx象限時象限時落在落在當當.),(000z點點而而在在馬鞍面之鞍點馬鞍面之鞍點 .高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法3,處處有有極極大大值值在在設(shè)設(shè)000yxPyxfz 內(nèi)內(nèi)恒恒有有則則在在)(0PU,

3、),(),(00yxfyxf,),(),(000yxfyxf特別有特別有,處處取取極極大大值值在在0 xx ;),(000yxfx),(0必為必為如果存在如果存在一元函數(shù)在極值點導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)在極值點導(dǎo)數(shù).),(000yxfy處處在在極極值值點點函函數(shù)數(shù)必必要要條條件件定定理理),(,)(.001yxyxfz 則必有則必有偏導(dǎo)數(shù)若存在偏導(dǎo)數(shù)若存在 ,.),(,),(000000yxfyxfyx.),(,的的駐駐點點為為則則稱稱如如果果fyxyxf00000),(0yx),(00yx0P.,),(,),(000000000yxfyxfyxfyx),(0yxf一一元元函函數(shù)數(shù)表明表明從而從而同理同理

4、高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法4:),(極值的方法極值的方法求二元函數(shù)求二元函數(shù)yxfz )( 與與一一元元函函數(shù)數(shù)相相類類似似, ),(, ),(:.2211yxyx找出可能的極值點找出可能的極值點一一,. 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點點1.),(,.的點的點即即駐點駐點02yxf?, ),(, ),(.極極大大還還是是極極小小是是否否極極值值點點判判定定二二2211yxyx. 按按定定義義1)(.見見下下頁頁定定理理 22. )(),(,)(),(.最小值最小值上的最大值上的最大值在在的函數(shù)值就是的函數(shù)值就是那么可以肯定該駐點處那么可以肯定該駐點處一個駐點一個駐點內(nèi)只有內(nèi)只有而函數(shù)

5、在而函數(shù)在的內(nèi)部取得的內(nèi)部取得一定在一定在最小值最小值的最大值的最大值由實際問題知道函數(shù)由實際問題知道函數(shù)按實際問題背景判定按實際問題背景判定DyxfDDyxf3高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法5,),(,),(.oyxfCyxfz0022設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定理理,),(),(000000yxfyxfyx且且即即,),(,),(,),(CyxfByxfAyxfyyxyxx000000記記:則有結(jié)論則有結(jié)論,),()(有有極極值值時時yxfCBBA01.),(.),(為極大值為極大值為極小值為極小值000000yxfAyxfA.),()(非極值非極值時時0002yxfCBBA.,)(不定不定時時

6、03CBBA)?!(非非極極值值異異號號 CA)( 充分條件充分條件高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法60104224222zyxzyx求求由由方方程程例例 .),(的的極極值值確確定定的的函函數(shù)數(shù)yxfz :. 對方程微分對方程微分解解0422222zdydxdzdzydyxdxydzyxdzxzd21212121zyyzzxxz,),(11 P駐駐點點21zxxzxx322212)()()(zxz2)2() 1()2(zxzxz21zxyzzxyyx221)(zxyz3211)()()(zyx2212)()()(zyzyz21zyyzyy322212)()()(zyz),(11 P駐駐點

7、點xxz.,),(621121zzP解解得得代代入入原原方方程程將將則則有有設(shè)設(shè),211100zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(為為極極小小值值2111zz則則有有設(shè)設(shè),611200zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(為為極極大大值值6111zz16211222)()()(zyx010422222zyxzyx橢球面高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法70104224222zyxzyx求求由由方方程程例例 .),(的的極極值值確確定定的的函函數(shù)數(shù)yxfz :. 對方程微分對方程微分解解0422222zdydxdzdzydyxdxydzyxdzxz

8、d21212121zyyzzxxz,),(11 P駐駐點點21zxxzxx322212)()()(zxz2)2() 1()2(zxzxz高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法8,2121zyyzzxxz,)()()(322212zxzzxx),(11 P駐點駐點21zxyzzxyyx221)(zxyz3211)()()(zyx2212)()()(zyzyz21zyyzyy322212)()()(zyz.,),(621121zzP解解得得代代入入原原方方程程將將010422222zyxzyx則則有有設(shè)設(shè),211100zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(為為極極小小值值211

9、1zz高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法9則則有有設(shè)設(shè),611200zyx,41A.41C,0B,0161CBBA,0A.),(為為極極大大值值6112zz,)()()(322212zxzzxx),(11 P駐點駐點,)()()(3211zyxzxy.)()()(322212zyzzyy010422222zyxzyx16211222)()()(zyx010422222zyxzyx橢球面高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法10立立方方米米的的有有蓋蓋長長方方體體水水體體積積為為某某廠廠要要用用鐵鐵板板做做成成一一個個例例25.,才才能能使使用用料料最最省省高高各各取取怎怎樣樣的的尺尺寸寸時時寬

10、寬問問當當長長箱箱.,.米米則則高高應(yīng)應(yīng)為為米米寬寬為為米米設(shè)設(shè)水水箱箱的的長長為為解解yxyx2水箱用料面積為水箱用料面積為yxxyxyyxA222yxyx222),(00yx:的的最最小小值值以以下下求求 A,0222令令xyAx.0222令令yxAy,:3322yx解解得得上上唯唯一一的的可可能能這這是是),(00yx,極值點極值點,定定存存在在此此實實際際問問題題的的最最小小值值一一3334622,A所所以以.就就是是最最小小值值.32于于此時水箱的長寬高都等此時水箱的長寬高都等.水箱為正方體水箱為正方體高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法11xyo6 yxD:求求最最大大值值最最小小

11、值值舉舉例例.上上的的最最大大值值與與最最小小值值在在求求函函數(shù)數(shù)Dz, )(.yxyxz462設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù)例例,軸軸所所圍圍成成軸軸和和由由直直線線閉閉區(qū)區(qū)域域YXyxD6內(nèi)的駐點內(nèi)的駐點先求函數(shù)在先求函數(shù)在解解D.12yxPD的的坐坐標標內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點點得得04042222yxyxxzyxyxyxzyx)()(由由412),()(zPz0zYX,軸上軸上軸與軸與在在高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法126424),(z,上上在在直直線線6 yxxy 6)(yxyxz42)()(262xx)(2362xx )(xxxdzd12322)(46xx0令令4 x26xyxyo6 yx

12、D.),(min6424 zz,的邊界上的邊界上所以在所以在 D,max0z:,),()(得得相相比比較較與與412 zPz.),(為為最最大大值值412z,),(為最小值為最小值6424z)(yxyxz42高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法13二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法:條件極值條件極值)(),(),(Azyxzyxfu0 設(shè)設(shè)條件.的極值的極值求求 u),(),(),(.yxuuzyxzyxfu確確定定隱隱函函數(shù)數(shù)解解0 0zdydxdzdfydfxdfudzyxzyx ydxdfydfxdfudzyzxzyx ),(yxzz 高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其

13、求法14.ydffxdffudzyzyzxzx 即即zxzxffxu zyzyffyu xxf yyf zzf 0zzf :),(),(滿滿足足的的駐駐點點坐坐標標000zyxyxuu )(),(Bzyxfffzzyyxx0000 )(),(),(Azyxzyxfu0 ),(yxuu 隱隱函函數(shù)數(shù)高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法15乘數(shù)法乘數(shù)法Lagrange),(),(),(zyxzyxfzyxL 作作輔輔助助函函數(shù)數(shù).),(),(的的極極值值求求設(shè)設(shè)uzyxzyxfu0 為待定常數(shù)為待定常數(shù) :),(),(得得的的駐駐點點注注意意到到求求0zyxzyxL 0000),(),(),(),

14、(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxzyxfzyxzyxfzzyyxx 極值點極值點解此方程組得到可能的解此方程組得到可能的),(, ),(111000zyxzyx)( 條件極值條件極值.然后判定然后判定)(B此即方程組此即方程組ofL 高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法16),(),(),(yxyxfyxL 作作輔輔助助函函數(shù)數(shù).),(),(,的的極極值值求求設(shè)設(shè)類類似似地地uyxyxfu0 為待定常數(shù)為待定常數(shù) :),(),(得得的駐點注意到的駐點注意到求求0yxyxL 000),(),(),(),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 極值點極值點解此方程組得到可能的解此方

15、程組得到可能的),(, ),(1100yxyx)( 條件極值條件極值.然后判定然后判定ofL 高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法17.的體積的體積而體積為最大的長方體而體積為最大的長方體求表面積為求表面積為例例27a,.zyx設(shè)長方體的三棱長為設(shè)長方體的三棱長為解解zyxV 則則體體積積:歸結(jié)為求極值歸結(jié)為求極值02222axzzyyxzyxV , ),(yxzxzyV ),(yxzxzy222222 02222axzzyyxyxyxzxzxzyzy)(唯唯一一解解6azyx定存在定存在由實際問題本身可知一由實際問題本身可知一這是唯一的可能極值點這是唯一的可能極值點 ,最大值最大值.就是所求

16、最大值就是所求最大值所以所以66633aazyxV)( 正方體正方體 /VV0高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法18)()(zyxzxyzxxzyy02222axzzyyxyxyxzxzxzyzy附附頁頁xyzxzyxz 同理同理高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法19.),(為可能極值點為可能極值點由此解出由此解出tzyx.),(),(),(:的極值的極值求求設(shè)設(shè)推廣推廣utzyxtzyxtzyxfu00 ),(),(tzyxftzyxL設(shè)設(shè)),(),(tzyxtzyx 21:),(程程聯(lián)聯(lián)立立得得的的駐駐點點的的方方程程及及條條件件方方求求tzyxL00000021212121),(),

17、(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(tzyxtzyxtzyxtzyxtzyxftzyxtzyxtzyxftzyxtzyxtzyxftzyxtzyxtzyxftttzzzyyyxxx otzyxL),(高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法20 , ),(tzyxfffff截成一截成一被平面被平面拋物面拋物面例例1822zyxyxz.,與與最最短短距距離離求求原原點點到到這這橢橢圓圓的的最最長長橢橢圓圓的最大最小的最大最小歸結(jié)為下面的歸結(jié)為下面的解解2222zyxdu.:值問題值問題00),(),(),(tzyxtzyxtzyxfu 00),(),(tzyxt

18、zyx 0 f01022222zyxzyxzyxu高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法2101022222zyxzyxzyxu0100202202222zyxzyxzyyxx , ),(zyxu222, ),(122yx . ),(111 寫出前三個方程寫出前三個方程由由0 u:解解得得駐駐點點坐坐標標32213111zyx32213222zyx高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法22xz210100202202222zyxzyxzyyxx 附附頁頁022022 yx)()(代入后兩個方程代入后兩個方程yx 12022zxzx1222xx21xx,高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法23.,離離分分別別對對應(yīng)應(yīng)最最長長與與最最短短距距這這里里只只有有兩兩個個駐駐點點,長與最短距離一定存在長與最短距離一定存在原點到一空間橢圓的最原點到一空間橢圓的最3592222222zyxd3592121211zyxd.離離為原點到橢圓的最長距為原點到橢圓的最長距3592d.離離為原點到橢圓的最短距為原點到橢圓的最短距3591 d32213111zyx32213222zyx高等數(shù)學(xué)第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法24小結(jié)：小結(jié)：:),(極值的方法極值的方法求二元函數(shù)求二元函數(shù)yxfz , ),(, ),(:.2211yxyx找出可能的極值點找出可能的極值點一一,. 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在