各類不等式的解法

1、各類不等式的解法一、不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)有：對(duì)稱性或反身性：ab bb，bc,則 ac；(3)可加性：aba+cb+c,此法則又稱為移項(xiàng)法則；可乘性：ab,當(dāng)c0時(shí)，acbc; 當(dāng) c0 時(shí)，acb, cd,貝U a+cb+d;正數(shù)同向相乘：若 ab0， cd0，貝U acbd。特例：(3)乘方法則：若ab0, n N+，貝y an bn ；i i開方法則：若 ab0, n N+，則an bn1 1倒數(shù)法則：若 ab0, ab，則一a b例1：1)、8、.6與、.7.5的大小關(guān)系為2)、設(shè) n1,且n1,則n3 1與n2 n的大小關(guān)系是1 13)已知，滿足，試求3的取值范圍12 0

2、(2) (-x-1)(x-1)(x-2) 1X 32（1）喬 V 0（2） 3 + X V 0例2解下列不等式：(3) x(x-1)2(x+1)3(x+2) w 0(4) ( x-3)(x+2)(x-1) 2(x-4)0(5)322x x15x 0(6)(x4)(x5)2(2 x)303 d22 x4x1(7)1(8)1x 2x 23x27x2四、無理不等式的解法1 2x解無理不等式的基本方法就是將其轉(zhuǎn)化為有理不等式組，在轉(zhuǎn)化過程中一定要注意等價(jià)變換題型川：.f (x) g(x)型f(x) 0g(x) 0f(x) 【g(x)例3解不等式,2x2 3x1 2x題型I:f (x),g(x)型(f(

3、x) g(x) f(x)0)0g(x)定義域例1解不等式,1 X.3X 20.52x . x 1題型n:. f (x)g(x)型f(x) g(x) f(x)00或2g(x)f(x) g(x)00例2解不等式.、2x2 3x 1不等式x a(a 0)的解集是xx a,或xa例4解不等式.2x 1,x 1 1例5解不等式9 x2 、. 6x x2 3五、絕對(duì)值不等式的解法般來說含有絕對(duì)值的不等式的解法關(guān)鍵就在于去掉絕對(duì)值，而去掉絕對(duì)值，則需要對(duì)絕對(duì)值中的零點(diǎn)進(jìn)行討論一個(gè)零點(diǎn)分兩個(gè)范圍，兩個(gè)零點(diǎn)分三個(gè)零點(diǎn)，依次類推(1)含有一個(gè)絕對(duì)值：不等式x a(a 0)的解集是x a x a ;ax bc(c

4、0)的解集為x | c ax b c (c 0);不等式ax bc(c0)的解集為x | axb c,或 ax bc (c0)(2)含有多個(gè)絕對(duì)值：零點(diǎn)分段法例1解不等式(1)x 5005.(2)2x 57(3)2 x:3(4) 1| 2x-1 | 2x+1不等式例 2 解不等式：(1) X-3|-|x+1| 1.例 3已知函數(shù) f(x)=|x-2|-|x-5|.(I)證明：-3詣(x) X8x+15的解集.六、指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式利用指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式例1解不等式0.22 x25x62x2 x 61.比較法之一(作差法)步驟：作差變形一一判斷與o的關(guān)系一一結(jié)論例2.

5、解不等式例3.解不等式:JOga x 13 log a X(0 a 1)2x x xx 1例4. a 1時(shí)解關(guān)于x的不等式logaa 2 (a 2)10七、基本不等式(也叫均值不等式)1.基本不等式基本不等式不等式成立的條件等號(hào)成立的條件a0, b0a= b2.常用的幾個(gè)重要不等式(1)a2+ b2絲ab(a, b R)(2)ab0,則下列不等式中，恒成立的是()A . a2+ b22abB . a b2abC：+ -寸話D.； + 2 若x 2y= 4,貝U 2x + 4y的最小值是()A. 4B. 8C. 2 .2D . 4 21 當(dāng)x1時(shí)，求函數(shù)f(x) = x + 的最小值.x 1 已

6、知x, y0，且滿足|+ = 1，則xy的最大值為 . 某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買 x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x=. 已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，且 a b + c= 1,111求證：(-1)( - 1)( -1) 8.a b c八、不等式的證明(一) 比較法： a bba(3)-M-y)2(a, b R)(4)-+ (a, b 同號(hào)且不為零)上述四個(gè)不等式等號(hào)成立的條件都是a= b.3 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a b設(shè)a0, b0，貝U a, b的算術(shù)平均數(shù)為 一計(jì)，幾何平均數(shù)為 ab，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的

7、算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2. 比較法之二（作商法）步驟：作商 變形判斷與1的關(guān)系結(jié)論例1 求證：x2 + 3 3xa b例 2 a ,b R+,且 a b，求證：aabb （ab） 2abba（二）綜合法1. 綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法2. 用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：A B! B2 L Bn B3. 綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法。例3已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：例 4 已知 a，b R，

8、證明：log2 （2a+ 2b） a b 2 .2（三）分析法1分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件 是否具備的問題。2 .用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：B B1 B2 LBn A3 .分析法的思維特點(diǎn)是： 執(zhí)果索因。4 .分析法的書寫格式：要證明命題B為真，只需要證明命題 B1為真，從而有 這只需要證明命題 B2為真，從而又有 這只需要證明命題 A為真而已知A為真，故命題B必為真。例5 求證- 3.72 5 例6若a,b,c是不全等的正數(shù)，求證lg _b Iglg _- Iga Igb Igc.2 2 2（四）反證法1. 定義：反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推 理,最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。2. 反證法證題的基本步驟：1 假