2021年人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第6章《6.4.3第3課時(shí)課時(shí)精講》(含解析)

1、第3課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例知識(shí)點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中的相關(guān)概念1基線在測(cè)量過(guò)程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高2仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，把視線在水平線上方的角稱為仰角，視線在水平線下方的角稱為俯角如圖(1)3方向角從指定方向到目標(biāo)方向線所成的水平角如南偏西60，即以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn)60.如圖(2)4方位角指從正北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角如方位角是45，指北偏東45，即東北方向5視角觀察物體的兩端，視線張開(kāi)的夾角，如圖(3)1解三角形應(yīng)用題的步驟(1)讀懂題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量與量

2、之間的關(guān)系(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形的模型(3)選擇正弦定理或余弦定理求解(4)將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題的解，注意實(shí)際問(wèn)題中的單位、近似計(jì)算要求2解三角形在實(shí)際測(cè)量中的常見(jiàn)問(wèn)題(1)距離問(wèn)題(2)高度問(wèn)題(3)角度問(wèn)題測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要得出所求的角3解決問(wèn)題的策略(1)測(cè)量高度問(wèn)題策略“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測(cè)量高度問(wèn)題往往是空間中的問(wèn)題，因此先要選好所求線段所在的平面將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，利用“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思想(2)測(cè)量角度問(wèn)題策略測(cè)量角度問(wèn)題主要

3、指在海上或空中測(cè)量角度的問(wèn)題，如確定目標(biāo)的方位，觀察某一建筑物的視角等，解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形的有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需求哪些量，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得到所求量(3)測(cè)量距離問(wèn)題策略選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解1判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)仰角與俯角都是與鉛垂線所成的角()(2)方位角的范圍是(0，)()(3)兩個(gè)不能到達(dá)的點(diǎn)之間無(wú)法求兩點(diǎn)間的距離()答案(1)(2)(3)2做一做(1)如圖所示，OA，OB的方向角分別是_(2)A，

4、B兩點(diǎn)間有一小山，選定能直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)C，測(cè)得AC60 m，BC160 m，ACB60，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)(3)身高為1.70米的李明站在離旗桿20米的地方，目測(cè)該旗桿的高度，若李明此時(shí)的仰角為30，則該旗桿的高度約為_(kāi)米(精確到0.1)(4)如圖所示，A，B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測(cè)量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，測(cè)量者在A點(diǎn)所在的岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC60 m，BAC75，BCA45，則A，B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)答案(1)北偏東60，北偏西30(2)140 m(3)13.2(4)20 m題型一 兩點(diǎn)間有一點(diǎn)不可到達(dá)的距離問(wèn)題例1(1)如圖，A，B兩點(diǎn)之間隔著一座小山，現(xiàn)要測(cè)量A，B兩

5、點(diǎn)間的距離，選擇在同一水平面上且均能直線到達(dá)的C點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量AC50 m，BC40 m，B在C北偏東45方向上，A在C西偏北15方向上，求AB的長(zhǎng)；(2)如圖，某河岸的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A，B，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得CAB75，CBA45，且AB100米求該河段的寬度解(1)依題意知ACB120，AC50 m，BC40 m，應(yīng)用余弦定理得AB10，故AB的長(zhǎng)為10 m.(2)在CAB中，ACB180754560，由正弦定理得，于是BC(3)于是河段的寬度為dBCsinCBA(3)(米)條件探究把本例(1)中“經(jīng)測(cè)量AC50 m，BC40 m”改為“經(jīng)測(cè)量C

6、AB30，BC40 m”，又如何求A，B之間的距離？解解法一：ACB120，CAB30，CBA30，BC40 m，AC40 m.AB2AC2BC22ACBCcos120402402240404800，AB40(m)解法二：由正弦定理，得，AB40(m)三角形中與距離有關(guān)問(wèn)題的求解策略(1)解決三角形中與距離有關(guān)的問(wèn)題，若在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求?2)解決三角形中與距離有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來(lái)解決如圖所示，海

7、中小島A周?chē)?8海里內(nèi)有暗礁，一船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30，航行30海里后，在C處測(cè)得小島在船的南偏東45，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？解在ABC中，BC30海里，B30，ACB135，BAC15，由正弦定理，即，AC15()(海里)，A到直線BC的距離為dACsin4515(1)40.98海里38海里，所以繼續(xù)向南航行，沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).題型二 兩點(diǎn)都不能到達(dá)的兩點(diǎn)間距離問(wèn)題例2如圖所示，隔河看兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距千米的C，D兩點(diǎn)，并測(cè)得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的

8、距離解在ACD中，ADC30，ACD120，CAD30，ACCD.在BDC中，CBD180457560，由正弦定理，得BC.由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosBCAAB2()222cos755.AB(千米)故兩目標(biāo)A，B間的距離為千米求距離問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定所求量所在的三角形若其他量已知，則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理如圖，為了測(cè)量?jī)勺椒迳螾，Q兩點(diǎn)之間的距離，選擇山坡上一段長(zhǎng)度為300 m且和P，Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得PAB90，PAQP

9、BAPBQ60，則P，Q兩點(diǎn)間的距離為_(kāi) m.答案900解析PAB90，PAQ60，BAQ30，在ABQ中，PBAPBQ60，ABQ120，又BAQ30，AQB1801203030，由正弦定理，得，AQ900(m)在RtABP中，解得AP900(m)AQAP900(m)，又PAQ60，APQ是等邊三角形，PQ900(m)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為900 m.題型三 測(cè)量高度問(wèn)題例3如圖所示，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角為，在塔底C處測(cè)得A處的俯角為.已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD解在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.根據(jù)正弦定理，得，即，AC.在RtACD中，CDA

10、CsinCADACsin.即山的高度為.(1)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，先解夠條件的三角形，再利用所得結(jié)果解其他三角形(2)測(cè)量高度的方法對(duì)于底部不可到達(dá)的建筑物的高度測(cè)量問(wèn)題，由于不能直接通過(guò)解直角三角形解決，可通過(guò)構(gòu)造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解決如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D現(xiàn)測(cè)得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB解在BCD中，BCD，BDC，CBD，由正弦定理，得，BC，在RtABC中，ABBCtanACB.題型四 測(cè)量角度問(wèn)題例4如圖所示，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A

11、處(1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，從B處向北偏東30方向逃竄問(wèn)：緝私船應(yīng)沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD10t海里，BD10t海里在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA(1)2222(1)2cos1206，BC海里又，sinABC.ABC45，B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，CBD9030120.在BCD中，由正弦定理，得.sinBCD.BCD30，緝私船應(yīng)沿北偏東60

12、的方向行駛又在BCD中，CBD120，BCD30，D30.BDBC，即10t，t小時(shí)15分鐘緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘測(cè)量角度問(wèn)題的基本思路測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出求救信號(hào)，如圖，我海軍護(hù)航艦在A處獲悉后，立即測(cè)出該貨船在方位角為45，距離為10海里的C處，并測(cè)得貨船正沿方位角為105的方向，以10海里/小時(shí)的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦立即以10海里/小時(shí)的速度前去營(yíng)救，求護(hù)航艦

13、的航向和靠近貨船所需的時(shí)間解設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，在ABC中，根據(jù)余弦定理，有AB2AC2BC22ACBCcos120，可得(10t)2102(10t)221010tcos120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)故護(hù)航艦需1小時(shí)靠近貨船此時(shí)AB10，BC10，又AC10，所以CAB30，所以護(hù)航艦航行的方位角為75. 1在200 m高的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂A與塔底B的俯角分別是30，60，則塔高AB()A200 m B m C m D100 m答案C解析設(shè)ABx，則(200x)tan60200tan30，解得x.2某次測(cè)量中，A在B的北偏東55方向上，則B在A的()A北偏西35方向

14、上 B北偏東55方向上C南偏西35方向上 D南偏西55方向上答案D解析根據(jù)題意和方向角的概念畫(huà)出草圖，如圖所示已知55，則55.所以B在A的南偏西55方向上故選D3一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向有相距10 n mile的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60方向上，另一燈塔在船的南偏西75方向上，則這艘船的速度是每小時(shí)()A5 n mile B5 n mileC10 n mile D10 n mile答案C解析如圖，依題意有BAC60，BAD75，CADCDA15，從而CACD10.在RtABC中，求得AB5，這艘船的速度是10(n mile/h)4如圖所示，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對(duì)岸的標(biāo)記物點(diǎn)C，測(cè)得CAB30，CBA75，AB120 m，則河的寬度CD為_(kāi)答案60 m解析由三角形的內(nèi)角和定理知ACB75，即AB